高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題技巧

劉 鵬

(安徽省利辛縣第一中學(xué) 236700)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，習(xí)題情境復(fù)雜多變，部分習(xí)題技巧性較強(qiáng).為提高解答數(shù)列試題的能力，既要總結(jié)常見的數(shù)列習(xí)題類型，又要注重深入研究經(jīng)典例題，掌握題型特點(diǎn)，總結(jié)相關(guān)解題技巧.

1 數(shù)列試題解題技巧之公式法的應(yīng)用

例1在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1，數(shù)列{bn}滿足bn=2log2(an+1-n)，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn為( ).

A.n2B.n2-nC.n2+nD.n2+n+1

解題技巧高中數(shù)學(xué)數(shù)列部分涉及很多公式，解題時直接套用公式可大大提高解題效率.解答該題需要從給出的已知條件出發(fā)通過構(gòu)造新的數(shù)列求解出數(shù)列{an}，通過計(jì)算得出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，而后直接套用等差數(shù)列前n項(xiàng)和計(jì)算公式.

因?yàn)閍n+1=an+2n+1，

所以an+1-2n+1=an+2n+1-2n+1=an-2n+1.

所以(an+1-2n+1)-(an-2n)=1.

因?yàn)閍1=2，所以a1-2=2-2=0.

則數(shù)列{an-2n}是以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.所以an-2n=n-1，即an=n-1+2n.

因?yàn)閎n=2log2(an+1-n)，

所以bn=2log2(n-1+2n+1-n)=2n.

2 數(shù)列試題解題技巧之?dāng)?shù)列分組法的應(yīng)用

解題技巧解答數(shù)列與三角函數(shù)相結(jié)合的試題不僅要運(yùn)用數(shù)列相關(guān)知識，而且需要運(yùn)用相關(guān)的誘導(dǎo)公式.該題中需根據(jù)已知條件求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，得出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，結(jié)合三角函數(shù)，找到數(shù)列{bn}中不同項(xiàng)數(shù)的通項(xiàng)公式.

因?yàn)閚an+1=(n+1)an+n(n+1)，

b3k=3kcos2kπ=3k；

因?yàn)?020=3×674-2，

又因?yàn)?020=3×673+1，

3 數(shù)列試題解題技巧之裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用

A.{0，1，2} B.{0，1，2，3} C.{2} D.{0，2}

解題技巧部分?jǐn)?shù)列習(xí)題，需要運(yùn)用遞推關(guān)系研究相關(guān)項(xiàng)數(shù)之間的聯(lián)系，對分析以及推理能力要求較高.該題中需根據(jù)已知條件尋找相關(guān)的遞推關(guān)系，采用裂項(xiàng)相消法求出Sn.根據(jù)已知條件判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性，而后通過分類討論進(jìn)行解答.

因?yàn)閍n+1-1=an(an-1)，兩邊取倒數(shù)，得

又因?yàn)閍n+1-1=an(an-1)，

所以an+1-an=(an-1)2.

因?yàn)閍n≠1，所以(an-1)2>0，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.

綜上可知，Sn的整數(shù)部分可能構(gòu)成的集合是{0，1，2}，故選A.

4 數(shù)列試題解題技巧之累加、累乘法的應(yīng)用

例4對于數(shù)列{an}，若存在常數(shù)M，使得對任意的n∈N*，都有|an|

解題技巧解答數(shù)列新定義類問題的關(guān)鍵在于能夠構(gòu)建新定義與所學(xué)知識的聯(lián)系，對要求解的問題進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化，化陌生為熟悉，尤其需要靈活運(yùn)用多種解題方法進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评?

對于A,C兩項(xiàng)，設(shè)數(shù)列{an}有界，根據(jù)定義可知，an

而1+n→+∞，1+2n→+∞，因此，兩項(xiàng)均錯誤.

因?yàn)閍2-a1=0，所以a1=a2=1.

所以an<4成立.故選D.

5 數(shù)列解題技巧之錯位相減法的應(yīng)用

例5已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列，已知a1=1，且a1,a2,a4成等比數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，b1=2，bn=Sn-1+2(n≥2，n∈N*)，設(shè)an=bncn.

(1)求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；

(2)記Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，若對于任意的n∈N*，不等式bn·Tn>(-2)np-n恒成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；

解題技巧遇到數(shù)列求和時應(yīng)注重先觀察求和數(shù)列的通項(xiàng)公式，尤其當(dāng)通項(xiàng)公式為等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)合形式時常采用錯位相減法.該題中首先根據(jù)已知條件求出數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式，而后借助“an=bncn”求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.求{cn}的前n項(xiàng)和Tn時需要運(yùn)用錯位相減法.

問題(1)因?yàn)閧an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1=1，且a1，a2，a4成等比數(shù)列.所以a22=a1a4.

設(shè)公差為d，則(1+d)2=1×(1+3d).

整理,得d(d-1)=0.則d=1，an=n.

因?yàn)楫?dāng)n≥2時，bn=Sn-1+2，則bn+1=Sn+2.兩式相減,得bn+1-bn=Sn-Sn-1=bn.

所以bn+1=2bn.

當(dāng)n=2時，b2=S1+2=b1+2=4，故b2=2b1.

所以數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.所以bn=2×2n-1=2n.

①

②

因?yàn)椴坏仁絙n·Tn>(-2)np-n恒成立，