譚 堯, 趙 騫, 王文峰, 郭 波,*, 蔣 平

(1. 國防科技大學(xué)系統(tǒng)工程學(xué)院, 湖南 長沙 410005; 2. 國防科技大學(xué)信息通信學(xué)院,陜西 西安 710106; 3. 中國人民解放軍93209部隊, 北京 100085)

0 引 言

可靠性驗收試驗(reliability acceptance test, RAT)是檢驗產(chǎn)品可靠性是否達(dá)到要求水平的試驗。根據(jù)可靠性驗證試驗的結(jié)果可對參試產(chǎn)品做出接收或拒絕的結(jié)論。驗證試驗主要是根據(jù)以下假設(shè)檢驗的結(jié)果來做出判斷:

其中,是參數(shù)的可接受值,而是參數(shù)的拒絕值。如果根據(jù)試驗結(jié)果計算判斷是接受H,則接收該批產(chǎn)品;如果判斷是接受,則拒絕該批產(chǎn)品。在檢驗過程中,當(dāng)H成立而接受H,此類錯誤稱為第一類錯誤;當(dāng)H成立而接受H,此類錯誤稱為第二類錯誤。發(fā)生第一類錯誤和第二類錯誤的概率分別稱為“生產(chǎn)方風(fēng)險”和“使用方風(fēng)險”。只有當(dāng)這兩類風(fēng)險都是受控的情況下,才能讓試驗方案被生產(chǎn)方和使用方接受。

在工程應(yīng)用中,國內(nèi)外都有標(biāo)準(zhǔn)來指導(dǎo)RAT。MIL-HDBK-781給出了較為完整的可靠性驗收方案,為美軍進(jìn)行RAT提供了有力支持。GJB899A—2009《可靠性鑒定與驗收試驗》以定時截尾試驗為例,當(dāng)生產(chǎn)、接受雙方確認(rèn)驗收關(guān)鍵參數(shù),如壽命檢驗上下限、和生產(chǎn)方、使用方風(fēng)險、后,可確定試驗方案(,)。其中,為累計試驗時間,為接收故障數(shù)。在此試驗中對參加驗收試驗的產(chǎn)品進(jìn)行定時截尾試驗。當(dāng)累計試驗時間達(dá)到后試驗結(jié)束。如果試驗過程中故障數(shù)不大于,那么該批產(chǎn)品被接收,否則拒絕接收該批產(chǎn)品。

GJB899A給出的試驗方案是基于產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布的假設(shè)前提下得到的。但在實際應(yīng)用中,很多產(chǎn)品壽命并不服從指數(shù)分布。例如,雷達(dá)系統(tǒng)、汽車零部件的壽命往往服從威布爾分布。因此,本文基于威布爾分布,研究RAT設(shè)計問題。此外,GJB899A中定時截尾試驗方案的試驗時間都較長,短時試驗方案又存在兩類風(fēng)險較大的問題,實際應(yīng)用中頗受詬病。

對產(chǎn)品先驗信息的利用是通用且有效的。在工程實踐中,產(chǎn)品參加驗收前,生產(chǎn)方可能會提供一些產(chǎn)品信息,如參數(shù)統(tǒng)計信息。Jun等提出壽命服從威布爾分布且形狀參數(shù)已知條件下抽樣驗收方案。Tsai等提出了形狀參數(shù)已知,基于定時截尾缺失數(shù)據(jù),并且借助成本模型,完成了可靠性抽樣驗證方案的設(shè)計。Chen等利用貝葉斯決策理論和研制過程中產(chǎn)品壽命信息,制訂了基于定時截尾數(shù)據(jù)的鑒定方案。若產(chǎn)品狀態(tài)發(fā)生變化,驗收鑒定方案也會調(diào)整。Balamurali等提出多重遞延狀態(tài)重復(fù)群抽樣計劃。

上述工作主要是對產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢驗以決定驗收方案。在實際操作中,由于經(jīng)費成本的限制,可投入的試驗樣本量往往較少,傳統(tǒng)試驗方法在解決小子樣問題上存在局限性。目前正在使用的驗收試驗方案是GJB899A中提出的,但由于只利用了系統(tǒng)級試驗數(shù)據(jù)來開展試驗,導(dǎo)致試驗時間過長,或者在短時間的試驗方案的兩類風(fēng)險較大,實際操作性不強(qiáng)。因此,有學(xué)者研究了利用先驗信息來開展可靠性試驗和評估。專家信息是一類基于專家長期經(jīng)驗的主觀信息,同時也是小子樣條件下裝備可靠性試驗中先驗信息的重要來源。專家信息的形式包括可靠度點估計、壽命點估計、可靠度置信下限等。明志茂等討論了利用先驗信息制定試驗方案的問題。Zhang等討論了專家評估是文本形式的情況,提出了四步結(jié)構(gòu)的可靠性評估框架。Zhao等將專家信息轉(zhuǎn)化為參數(shù)的分布,同時Zhao等還討論了不同形式專家數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為參數(shù)分布的方法。楊軍等在將專家信息轉(zhuǎn)化為概率分布的同時研究了對其進(jìn)行融合的問題。

上述研究討論了如何利用專家信息確定參數(shù)的分布,但對如何利用其進(jìn)行RAT的研究相對較少。為同時解決有效利用先驗信息、小子樣驗收方案設(shè)計兩個問題,本文提出了基于專家信息的威布爾型產(chǎn)品可靠性驗收方案。

1 威布爾分布與參數(shù)分布

威布爾分布在可靠性工程中被廣泛應(yīng)用,尤其適用于描述機(jī)電類產(chǎn)品壽命分布。因而,本文基于威布爾型產(chǎn)品,研究驗收試驗方案設(shè)計方法。

1.1 威布爾分布

威布爾分布的累積分布函數(shù)(cumulative distribution function, CDF)表示為

(1)

式中：為形狀參數(shù)；為尺度參數(shù)。

通常令=1,有

()=1-exp(-)

(2)

則威布爾分布時刻可靠度函數(shù)可表示為

()=1-()=exp(-)

(3)

1.2 參數(shù)的分布

當(dāng)前驗收試驗樣本量較小,傳統(tǒng)可靠性驗收方案由于未能利用先驗信息,導(dǎo)致試驗時間長、成本高?，F(xiàn)利用融合專家信息的方式對傳統(tǒng)方案進(jìn)行改進(jìn)。專家信息可用來確定參數(shù)的分布,在這之前,首先需要明確參數(shù)分布的形式。

可假設(shè)威布爾分布形狀參數(shù)的分布服從均勻分布,即

(4)

式中：參數(shù),可通過工程實踐經(jīng)驗來確定。

Zhao等從產(chǎn)品可靠度的分布出發(fā),推導(dǎo)壽命分布參數(shù)的分布函數(shù),該方法便于操作且取得了較好的效果。根據(jù)共軛先驗理論,系統(tǒng)在時刻可靠度先驗分布可認(rèn)為服從負(fù)對數(shù)伽馬(negative log Gamma, NLG)分布,具體表示為

(5)

式中：,是NLG分布的兩個參數(shù)。參數(shù)的分布已知,為了得到參數(shù)的分布,參考式(3),對關(guān)于求導(dǎo)可得

(6)

由式(6)可知,隨的增大而減小,故有

(7)

對式(7)關(guān)于求導(dǎo)，可得

(8)

因此,參數(shù)的分布可表示為

(9)

結(jié)合式(4)可得和聯(lián)合分布為

(10)

式中:∈[0,∞],∈[,]。由此可見,確定分布的核心便是根據(jù)先驗信息計算分布參數(shù)和。

2 基于專家信息的參數(shù)分布確定

本節(jié)研究如何利用不同類型專家信息確定參數(shù)的分布,為制定更加合理的驗收方案提供幫助。

2.1 基于可靠度點估計確定參數(shù)分布

當(dāng)專家信息為“產(chǎn)品時刻的可靠度為”時，有

(11)

通過使用最大熵方法,可以將確定參數(shù)分布問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃:

(12)

對式(12)進(jìn)行化簡可得

(13)

2.2 基于壽命點估計確定參數(shù)分布

當(dāng)專家信息為“產(chǎn)品的壽命為”時,根據(jù)威布爾分布基本性質(zhì)可知壽命點估計為

(14)

參考時刻可靠度點估計形式專家信息的處理方法,同樣可利用極大熵方法確定參數(shù)分布,具體形式為

(15)

將式(10)和式(14)代入式(15),可化簡為

(16)

進(jìn)一步可得

(17)

2.3 基于可靠度置信下限確定參數(shù)分布

當(dāng)專家信息為“產(chǎn)品在時刻置信度為100(1-)%的可靠度置信下限為”時，有

(18)

利用極大熵方法可得

(19)

對式(19)進(jìn)一步簡化為

max=-ln+ln()+-s.t(,-ln)=1-

(20)

其中,

(21)

為下不完全伽馬函數(shù)。

3 兩類風(fēng)險計算與試驗方案的確定

第1節(jié)介紹了威布爾分布性質(zhì)以及參數(shù)分布的確定,本節(jié)將給出兩類風(fēng)險的計算過程。計算過程利用了第2節(jié)由專家信息確定的參數(shù)分布,并將其作為確定驗收方案的重要依據(jù)。

假設(shè)在產(chǎn)品驗收時,采用了試驗時間為的定時截尾驗收試驗方案。在時間(0,)內(nèi)發(fā)生次故障的概率可根據(jù)二項分布計算得到,即

(22)

式中：為參與試驗樣本數(shù);()，()分別為產(chǎn)品的壽命CDF和可靠度函數(shù)。

3.1 兩類風(fēng)險的計算

311 生產(chǎn)方風(fēng)險的計算

生產(chǎn)方風(fēng)險表征產(chǎn)品壽命符合標(biāo)準(zhǔn)時產(chǎn)品被拒收的概率。根據(jù)生產(chǎn)方風(fēng)險定義及威布爾分布假設(shè),生產(chǎn)方風(fēng)險可表示為

(23)

式中：為驗收試驗發(fā)生故障的產(chǎn)品個數(shù)；為接收產(chǎn)品的最大故障數(shù)；和分別為產(chǎn)品壽命檢驗的上限和下限。其中,當(dāng)>時,拒絕接收產(chǎn)品。

結(jié)合式(10)及式(14),式(23)分母部分可表示為

(24)

式中：=((1+1))；(,)為下不完全伽馬函數(shù),表達(dá)式同式(21)。求解分子部分即為求解

(25)

將式(10)及式(22)代入式(25)可得分子部分解析式。

312 使用方風(fēng)險的計算

使用方風(fēng)險表征產(chǎn)品壽命不符合標(biāo)準(zhǔn)時產(chǎn)品被接收的概率。使用方風(fēng)險的計算方式與生產(chǎn)方風(fēng)險的計算方式相同。根據(jù)使用方風(fēng)險的定義可知:

(26)

結(jié)合式(10)及式(14),式(26)分母部分可表示為

(27)

其中,

(28)

為上不完全伽馬函數(shù)。參考生產(chǎn)方風(fēng)險計算過程,式(26)分子部分可進(jìn)一步表示為

(29)

將式(10)及式(22)代入式(29)可得分子解析式。

3.2 基于抽樣的兩類風(fēng)險計算

由于上述計算兩類風(fēng)險的解析式比較復(fù)雜,本文擬使用基于抽樣的算法,確定參數(shù),的分布(,)以及仿真次數(shù),該算法具體步驟如下所示。

算法 1 基于抽樣的兩類風(fēng)險計算方法1. 根據(jù)先驗分布π(λ,m)抽出容量為S的樣本組(λi,mi)。2. 將步驟1中的樣本代入式(14),根據(jù)判斷條件θ>θ0,θ<θ1選出符合條件的兩個樣本組。3. 將兩個樣本組代入式(22)并分別求均值,可得式(23)和式(26),即生產(chǎn)方、接收方風(fēng)險分子的估計值[19]。4. 將步驟2中篩選出的符合判斷條件θ>θ0,θ<θ1的樣本組分別除以總樣本數(shù),可得式(24)和式(27),即生產(chǎn)方、接收方風(fēng)險分母的估計值。5. 根據(jù)步驟3和步驟4求得結(jié)果可計算兩類風(fēng)險值。

顯然,算法1的核心問題在于如何從參數(shù)的分布中抽取隨機(jī)樣本。

參考式(10),從先驗分布(,)中抽樣得到隨機(jī)樣本組(,),具體過程如下:

(,)∝(|)()

(30)

式中：()參考式(4)；(|)參考式(9),同時

(31)

由式(31)可知,(|)服從伽馬分布。故在算法1步驟1求得(,)后,可以從式(4)中隨機(jī)抽樣得到樣本。將代入式(31)中可以對進(jìn)行抽樣,這樣就得到了一組樣本(,)。

3.3 試驗方案(T,n,C)的確定

在GJB899A中,產(chǎn)品驗收方案由兩類風(fēng)險,以及壽命檢驗上限、下限4個參數(shù)共同確定。本文基本思路與GJB899A相似,產(chǎn)品驗收試驗方式采取定時截尾試驗。同時,由于所接受產(chǎn)品工作時長小于是不可接受的,故將截尾時間設(shè)為壽命檢驗下限。檢驗上限為產(chǎn)品壽命期望值。具體步驟參考算法2。

算法 2 產(chǎn)品驗收試驗方案(t0,n,C)的確定1. 根據(jù)產(chǎn)品設(shè)計參數(shù)及驗收方案鑒別比確定壽命檢驗上下限θ0,θ1及截尾試驗時間t0。2. 確定生產(chǎn)方提供的參與試驗樣本數(shù)n。3. C從1開始取值,逐一遞增,到n為止。結(jié)合專家信息計算并記錄C取不同值時的兩類風(fēng)險值。(實現(xiàn)過程可參考第4.1節(jié),圖1展示了仿真結(jié)果)4. 生產(chǎn)方、接收方協(xié)商選擇合適的驗收方案并實施,若故障數(shù)超過C則拒收產(chǎn)品。

4 案例分析

案例中產(chǎn)品驗收試驗采用定時截尾試驗方案。假設(shè)產(chǎn)品壽命分布參數(shù)為=800,=15。檢驗上限為產(chǎn)品壽命期望值722 h。以GJB899A中方案12為例,其鑒別比為2,故檢驗下限為361 h,同時截尾時間為361 h。假設(shè)得到的專家信息為產(chǎn)品工作100 h時的可靠度=0.956 8。根據(jù)文獻(xiàn)[20],對威布爾分布型產(chǎn)品進(jìn)行定時截尾試驗,若截尾時間較短(<05),可用指數(shù)分布代替威布爾分布。又361<05,故本文試驗方案可與GJB899A試驗方案進(jìn)行對比。仿真試驗步驟可參考算法2。

4.1 給定參加試驗產(chǎn)品數(shù)n確定驗收方案

當(dāng)截尾時間及試驗產(chǎn)品數(shù)確定后,兩類風(fēng)險值隨的變化如圖1所示。

圖1 鑒別比d=2,測試產(chǎn)品數(shù)n=20,驗收方案兩類 風(fēng)險值隨故障數(shù)變化情況Fig.1 Variation of two types of risks given different settings of fault numbers with d=2, n=20

由圖1可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)投入試驗產(chǎn)品數(shù)不變時,對兩類風(fēng)險計算的影響很大。同時,當(dāng)取8時兩類風(fēng)險值最為接近。但是具體選擇拒接收數(shù)可以根據(jù)實際情況由生產(chǎn)方、使用方專家共同決定。如要更加傾向于降低使用方風(fēng)險,可選=7的方案。

4.2 給定拒絕接受產(chǎn)品故障數(shù)C確定驗收方案

若確定,兩類風(fēng)險值會隨參加驗收試驗產(chǎn)品數(shù)的變化而變化,如圖2所示。假設(shè)=5,可以看出兩類風(fēng)險值在測試產(chǎn)品數(shù)=9時最為接近。

圖2 鑒別比d=2,拒收數(shù)C=5,驗收方案兩類風(fēng)險值隨參與 試驗產(chǎn)品數(shù)變化情況Fig.2 Variation of two types of risks given different settings of component numbers with d=2, C=5

取鑒別比=2,生產(chǎn)方、接收方商定要求兩類風(fēng)險,<01的情況下,在投入試驗產(chǎn)品數(shù)取不同值時,可通過算法2依次進(jìn)行仿真試驗。表1展示了當(dāng)試驗產(chǎn)品數(shù)取4～20情況下的最佳試驗方案。

表1 鑒別比d=2，兩類風(fēng)險α, β<0.1時RAT方案Table 1 Plan of the RAT when discrimination ratio d=2 and two types of risks α, β<0.1

表1中代表總試驗時間。由表1可知,當(dāng)融合專家信息的驗收方案在試驗時間與GJB899A對比方案接近時,可以明顯降低兩類風(fēng)險。同時,在本文提出的驗收方案下,兩類風(fēng)險值之和隨試驗樣本數(shù)和總試驗時間的減少而增加。此時,需要生產(chǎn)方及接收方根據(jù)實際情況決定采取何種方案:如果傾向于降低風(fēng)險,可以考慮提高試驗產(chǎn)品數(shù),降低兩類風(fēng)險;如果傾向于控制成本,可以考慮在兩類風(fēng)險不超過要求的前提下減少試驗樣本數(shù)。

對于鑒別比=3,生產(chǎn)方、接收方商定要求兩類風(fēng)險,<0.1時,類比上述計算步驟,可以得到表2。由表2結(jié)果可知,融合專家信息的產(chǎn)品驗收試驗方案顯著降低了兩類風(fēng)險及試驗時間,進(jìn)一步驗證了所提方案的有效性。

表2 鑒別比d=3，兩類風(fēng)險α,β<0.1時RAT方案Table 2 Plan of the RAT when discrimination ratio d=3 and two types of risks α, β<0.1

4.3 專家信息與產(chǎn)品實際狀態(tài)有出入時對驗收方案設(shè)計的影響及解決

在工程應(yīng)用中,專家信息由于存在一定的主觀性,并不絕對可靠。本節(jié)討論了當(dāng)專家信息與產(chǎn)品實際情況有出入時對驗收方案設(shè)計的影響。

4.3.1 專家信息變化對方案的影響

在第4節(jié)案例分析中,給出的專家信息為產(chǎn)品工作100 h時的可靠度=0.956 8。此為結(jié)合式(3)仿真計算產(chǎn)生的精確專家信息。但實際專家可能難以給出如此精確的數(shù)據(jù)。為驗證專家信息與實際產(chǎn)品狀態(tài)有偏差時對可靠性驗收方案的影響,本節(jié)進(jìn)行對比試驗,分別計算專家信息為產(chǎn)品工作100 h時=097,09,085,08,07情況對可靠性驗收方案的影響情況。

根據(jù)圖1所示,當(dāng)投入樣本數(shù)=20,鑒別比=2時。若專家信息為=0956 8,驗收試驗方案選擇標(biāo)準(zhǔn)為生產(chǎn)方、使用方風(fēng)險盡量接近,使用方風(fēng)險略小,那么應(yīng)該選擇=8的驗收方案。在保持=20,=2不變的情況下,對上述提到不同可靠度取值對應(yīng)的兩類風(fēng)險進(jìn)行計算,結(jié)果如表3所示。

表3 d=2,n=20時,驗收方案隨專家信息變化情況Table 3 Variation of RAT with the changes of expert information while d=2, n=20

在表3中,當(dāng)專家信息為=0.956 8,故障數(shù)取8～11時，計算所得兩類風(fēng)險最為準(zhǔn)確,且風(fēng)險都在可控范圍內(nèi),可作為參考。其中，=8由于滿足驗收方案選擇條件,是最合適的方案。當(dāng)專家信息為=097,09,08,07,06時,根據(jù)兩類風(fēng)險計算結(jié)果,取9,10,偏離實際最優(yōu)方案=8,但依然可接受。當(dāng)專家信息為=055時取11,此時雖未超過<01,<01的限制,但生產(chǎn)方、使用方風(fēng)險較懸殊,不宜采納。

由上述結(jié)果可知,當(dāng)專家信息與實際情況偏差在一定范圍內(nèi)(Δ=0356 8)時,對驗收方案的設(shè)計有影響,但影響在可接受范圍內(nèi)。這也間接證明了本文所提出方法的穩(wěn)定性。

4.3.2 利用融合的先驗分布優(yōu)化驗收方案

專家信息是根據(jù)專家長期經(jīng)驗進(jìn)行總結(jié)而得到的信息?？赡軙霈F(xiàn)個別專家信息置信度不高,或與實際出入過大的情況。第4.3.1節(jié)證明了專家信息存在偏差時,驗收方案兩類風(fēng)險值依然可以保持在限定范圍內(nèi)。若個別專家信息偏差較大,對多個專家信息進(jìn)行融合較為合理。這樣可以降低置信度較低的專家信息帶來的影響。融合的先驗分布形式為

(32)

式中：為通過第2節(jié)方法確定的先驗分布；為其對應(yīng)的權(quán)重。由此可知融合的核心為確定先驗分布權(quán)重。具體方法可參考于春雨等應(yīng)用基于D-S證據(jù)推理理論的權(quán)重求解方法。

以生產(chǎn)方風(fēng)險為例,通過推導(dǎo)可知融合的先驗分布條件下有

(33)

式中：為先驗分布通過第311節(jié)所提出的算法計算的生產(chǎn)方風(fēng)險,使用方風(fēng)險同理。故融合先驗分布兩類風(fēng)險計算相當(dāng)于各先驗分布獨立計算兩類風(fēng)險后再進(jìn)行加權(quán)。在利用第3.2節(jié)提出的算法1進(jìn)行兩類風(fēng)險計算后,結(jié)合式(33)可得融合的兩類風(fēng)險。利用第3.3節(jié)提出的試驗方案確定法可得到融合多專家信息的試驗方案。

5 結(jié) 論

由于GJB899A的定時截尾試驗方案的制訂僅考慮產(chǎn)品壽命分布類型(如指數(shù)分布)信息,導(dǎo)致驗收試驗時間長、風(fēng)險大,已經(jīng)難以適用于大型復(fù)雜裝備的可靠性鑒定驗收。本文基于不同類型專家信息,對產(chǎn)品RAT方法進(jìn)行了改進(jìn)。通過將本文提出的驗收方案與GJB899A中的方案對比,可以發(fā)現(xiàn)有效利用專家信息可以顯著降低兩類風(fēng)險值、縮短試驗時間。案例分析中列舉的兩種試驗條件下進(jìn)行的試驗方案充分證明了所提出理論的有效性。

下一步準(zhǔn)備在現(xiàn)有基礎(chǔ)上繼續(xù)深入,針對不同分布類型的產(chǎn)品,如正態(tài)分布型產(chǎn)品等,開展試驗鑒定方案制定方法研究。

此外,為降低單個專家信息置信度不高所帶來的不確定性,后續(xù)研究將對第4.3.2節(jié)進(jìn)行更加細(xì)致的研究,提出更準(zhǔn)確、更合理的融合多個專家信息的可靠性驗收方案制訂法,充分挖掘?qū)＜倚畔?，以達(dá)到最大化利用的目的。