晶體結(jié)構(gòu)教學(xué)中兩個(gè)易困惑處的研究與探討

楊 軍

(1. 中國科學(xué)院過程工程研究所，北京 100190；2. 中國科學(xué)院大學(xué) 材料與光電技術(shù)學(xué)院，北京 100049)

材料的晶體結(jié)構(gòu)(晶體中質(zhì)點(diǎn)在三維空間的具體排列方式)是“材料科學(xué)基礎(chǔ)”課程的重要內(nèi)容[1-8]. 不同的固體材料具有不同的晶體結(jié)構(gòu)，材料的性能也通常都與其晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)，因此研究和調(diào)控材料的晶體結(jié)構(gòu)，對材料的研發(fā)、制造和使用均具有重要的意義. 晶體結(jié)構(gòu)章節(jié)的內(nèi)容不僅是材料科學(xué)課程的要求，也是深入學(xué)習(xí)其它許多專業(yè)課程如“固體物理”“材料分析表征”和“材料加工技術(shù)”等不可或缺的基礎(chǔ).

人們假定理想晶體中的實(shí)際質(zhì)點(diǎn)都是固定不動的鋼球，則可認(rèn)為晶體是由這些鋼球遵循一定幾何規(guī)律堆積而成. 為研究方便，忽略構(gòu)成晶體的實(shí)際質(zhì)點(diǎn)的體積，將其抽象成為純粹的幾何點(diǎn)，并將質(zhì)點(diǎn)排列的周期性抽象成只有數(shù)學(xué)意義的周期性的圖形，稱為空間點(diǎn)陣. 早在1848年，法國物理學(xué)家奧古斯塔·布拉菲就已確定空間點(diǎn)陣只有14種形式，分成7個(gè)晶系，分別是三斜、單斜、正交、四方、立方、六方和菱方. 在通常使用的《材料科學(xué)基礎(chǔ)》教材中，限于課時(shí)和內(nèi)容，不會從數(shù)學(xué)角度嚴(yán)格的論證空間點(diǎn)陣的14種形式，而是向7個(gè)晶系晶胞的底心、體心和面心添加等同點(diǎn)，得到28種點(diǎn)陣形式，再通過點(diǎn)陣變換的方式論證只有14種形式. 這種方式簡單直接，易于理解和接受，但大多數(shù)教材都沒有討論變換適用的范圍或者邊界，教學(xué)實(shí)踐和學(xué)生的理解程度之間經(jīng)常會產(chǎn)生矛盾.

另外，針對六方晶系，人們通常使用四軸指數(shù)代替三軸指數(shù)對晶面進(jìn)行標(biāo)記，這樣晶系中的等價(jià)晶面具有相似的指數(shù)，很容易進(jìn)行識別.但根據(jù)幾何知識可知，三維空間獨(dú)立的坐標(biāo)軸最多不超過3個(gè).對六方晶系來講，確定了晶面在a1和a2軸上的截距，它在a3軸上的截距也就隨之而確定.因此四指數(shù)表示在a1、a2和a3軸上截距倒數(shù)的h、k和i3個(gè)指數(shù)之間并不是相互獨(dú)立的關(guān)系，其中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，它們之間存在一個(gè)等量關(guān)系，即i=-(h+k).但可能是限于課時(shí)的緣故，當(dāng)前的教材在這個(gè)地方都是一筆帶過[9-13]，有的甚至認(rèn)為這是一個(gè)人為附加的條件，有的教材中把這個(gè)等量關(guān)系聯(lián)系到a1、a2和a3軸的矢量關(guān)系，認(rèn)為可由a3=-(a1+a2)導(dǎo)出，但也沒有給出詳細(xì)說明[14].筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生很容易在這個(gè)地方產(chǎn)生困惑，面對很多刨根問底的學(xué)生，不得不在課堂上花大量時(shí)間講解這個(gè)知識點(diǎn)，授課進(jìn)度反而受到影響.因此，本文就這個(gè)知識點(diǎn)給出了三種證明方法，涉及從繁瑣的余弦定理到簡潔的初等幾何和矢量方法，供有興趣的學(xué)生自己閱讀，也彌補(bǔ)當(dāng)前一些教材的不足之處.

1 關(guān)于點(diǎn)陣變換討論點(diǎn)陣類型

我們已經(jīng)知道，空間點(diǎn)陣可以劃分為7個(gè)晶系.那么，這7個(gè)晶系中包含多少種空間點(diǎn)陣呢？這就取決于每種晶系可以包含多少種點(diǎn)陣，或者說有多少種可能的陣點(diǎn)分布方式.法國物理學(xué)家奧古斯塔·布拉菲已經(jīng)于1848年用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法證明了空間點(diǎn)陣只能有14種.但區(qū)別于數(shù)學(xué)方法，不妨這樣考慮：空間點(diǎn)陣的陣點(diǎn)必須是等同點(diǎn)，而由于晶胞的8個(gè)角隅、6個(gè)外表面的中心(面心)以及晶胞的中心(體心)都是等同點(diǎn)，故乍看起來應(yīng)如圖1所描述的那樣，每種晶系都包括4種點(diǎn)陣，即簡單點(diǎn)陣(P)、體心點(diǎn)陣(I)、底心點(diǎn)陣(C)和面心點(diǎn)陣(F).這樣7個(gè)晶系總的點(diǎn)陣類型應(yīng)該是28種.然而，只要將這些點(diǎn)陣逐一畫出，通過簡單的變換就會發(fā)現(xiàn)，其中有些點(diǎn)陣是完全相同或等價(jià)的，真正不同的點(diǎn)陣如布拉菲已經(jīng)證明的那樣，只有14種，包括簡單三斜、簡單單斜、底心單斜、簡單六方、簡單正交、體心正交、底心正交、面心正交、簡單菱方、簡單四方、體心四方、簡單立方、面心立方和體心立方點(diǎn)陣.下面先看一些成功的例子.

圖1 從陣點(diǎn)為等同點(diǎn)角度理解每個(gè)晶系應(yīng)包含的點(diǎn)陣類型

例1：用點(diǎn)陣變換的方式解釋為什么底心三斜布拉菲點(diǎn)陣不是一個(gè)新點(diǎn)陣.如圖2所示，底心三斜布拉菲點(diǎn)陣可以變換成體積更小的簡單三斜布拉菲點(diǎn)陣，故它不是一個(gè)新點(diǎn)陣.這涉及晶胞的選擇標(biāo)準(zhǔn)，選取的晶胞在滿足反映點(diǎn)陣對稱性的前提下，應(yīng)具有最小的體積.

圖2 底心三斜布拉菲點(diǎn)陣可以連成簡單三斜布拉菲點(diǎn)陣

例2：用點(diǎn)陣變換的方式解釋為什么底心四方和面心四方布拉菲點(diǎn)陣不是新點(diǎn)陣.這個(gè)變換可以用圖3表示，底心四方點(diǎn)陣可以連成體積更小的簡單四方點(diǎn)陣(圖3右圖)，而面心四方點(diǎn)陣則可以連成體積更小的體心四方點(diǎn)陣(圖3左圖)，故它們都不是新的布拉菲點(diǎn)陣.

圖3 底心四方和面心四方布拉菲點(diǎn)陣可以分別連成簡單和體心四方布拉菲點(diǎn)陣

例3：用點(diǎn)陣變換的方式解釋一下為什么體心單斜和面心單斜布拉菲點(diǎn)陣不是新點(diǎn)陣.由圖4可以看出，2個(gè)體心單斜和2個(gè)面心單斜都可以連成一個(gè)底心單斜點(diǎn)陣，因而不是新的點(diǎn)陣.單斜布拉菲點(diǎn)陣中，體心和底心點(diǎn)陣雖然可以互相轉(zhuǎn)換，但據(jù)群論分析的結(jié)果，底心單斜是正確的布拉菲點(diǎn)陣選擇，能夠體現(xiàn)對稱元素在晶胞中的相應(yīng)方位.

圖4 體心單斜和面心單斜布拉菲點(diǎn)陣都可以連成底心單斜布拉菲點(diǎn)陣

上面的幾個(gè)例子說明一些點(diǎn)陣可以通過簡單變換連成體積更小的簡單點(diǎn)陣或其它更能體現(xiàn)晶體對稱元素的等價(jià)點(diǎn)陣，因而不是新點(diǎn)陣.但學(xué)生易于困惑的問題隨即涌現(xiàn)出來，即底心點(diǎn)陣似乎都可以連成體積更小的簡單點(diǎn)陣(參考例1和例2)，那為什么還會有底心單斜和底心正交點(diǎn)陣呢？針對這個(gè)困惑可以看看變換后的結(jié)果.

如圖5(a)和圖5(b)所示，底心單斜點(diǎn)陣經(jīng)過類似例1或例2的變換處理后，變成了簡單三斜點(diǎn)陣，而底心正交點(diǎn)陣經(jīng)過類似變換處理后則變成了簡單單斜點(diǎn)陣(同學(xué)們可根據(jù)教科書上的晶系參數(shù)特征自行確證)，已經(jīng)和原來的點(diǎn)陣不屬于同一個(gè)晶系.事實(shí)上，所有14種空間點(diǎn)陣都可以用簡單點(diǎn)陣來描述，如圖5(c)和圖5(d)所示的體心立方和面心立方點(diǎn)陣.分別可以用簡單單斜和簡單菱方點(diǎn)陣來表示，這種表示方法實(shí)際是在尋找非初級晶胞(含兩個(gè)或兩個(gè)以上陣點(diǎn)的晶胞)的原胞(只含一個(gè)陣點(diǎn)的晶胞)，但如此獲得的簡單點(diǎn)陣和原來的點(diǎn)陣不屬于同一個(gè)晶系，它們具有不同的對稱元素，當(dāng)然不能從這些變換否定體心立方和面心立方點(diǎn)陣的存在，實(shí)際上它們確實(shí)存在，而且在金屬晶體中非常常見.因此需要明確指出，通過點(diǎn)陣變換來說明某個(gè)點(diǎn)陣不是新的布拉菲點(diǎn)陣需要在同一晶系內(nèi)進(jìn)行，變換后成為另一晶系的點(diǎn)陣則不能否定該點(diǎn)陣的存在.例如，在有的教科書中，通過將底心六方(向垂直于c棱邊的面添加陣點(diǎn))、體心六方和面心六方點(diǎn)陣變換成簡單正交、面心正交和體心正交點(diǎn)陣的方式，說明這些點(diǎn)陣不是新點(diǎn)陣(變換的方式如圖6所示)，這是不正確的，而是添加這些陣點(diǎn)后構(gòu)成的點(diǎn)陣違背了六方晶系所特有的旋轉(zhuǎn)對稱特性.再如底心立方點(diǎn)陣，當(dāng)然可以通過例1或例2的變換方式說明它不是一個(gè)新點(diǎn)陣，但從晶系的特征上看，立方晶胞的6個(gè)面是等價(jià)面，具有完全相同的性質(zhì)，而底心立方點(diǎn)陣則違背了這一性質(zhì)，故不存在底心立方點(diǎn)陣.

底心單斜點(diǎn)陣可以連成簡單三斜點(diǎn)陣 底心正交點(diǎn)陣可以連成簡單單斜點(diǎn)陣

底心六方

2 關(guān)于四軸指數(shù)的附加條件

四指數(shù)表示是基于4個(gè)坐標(biāo)軸：a1、a2、a3和c軸，其中，a1、a2和c軸就是六方晶體原胞的a、b和c軸，如圖7所示.六方晶系晶面四指數(shù)標(biāo)注原理和方法同其它晶系中晶面三指數(shù)標(biāo)注過程一樣，步驟如下：① 先找出待標(biāo)注晶面在4個(gè)坐標(biāo)軸上的截距長度(以晶胞的點(diǎn)陣常數(shù)a、c為單位長度)；② 求其倒數(shù)并化為互質(zhì)的最小整數(shù)，即得到四指數(shù)表示，標(biāo)記為(hkil).從圖7所示的幾何關(guān)系，確定了待標(biāo)注晶面在a1和a2軸上的截距，它在a3軸上的截距也就隨之而確定.由此而知四指數(shù)表示中，h、k和i三個(gè)指數(shù)并不相互獨(dú)立，其中只有兩個(gè)是獨(dú)立的.根據(jù)幾何關(guān)系或向量分析，可確定它們之間存在一個(gè)等量關(guān)系，即i=-(h+k)，下面給出幾個(gè)證明方法.

圖7 六方晶體的四軸坐標(biāo)系統(tǒng)

證法1 (余弦定理法)：如圖8所示，暫不考慮正負(fù)號，實(shí)際是要證明OP長度的倒數(shù)等于OM長度和ON長度的倒數(shù)和，即要證明1/p=1/m+1/n.

圖8 余弦定理法證明四指數(shù)表示中h、k和i三個(gè)指數(shù)等量關(guān)系示意圖

基于余弦定理，有

(1)

(2)

2mncos 120°=m2+n2+mn

(3)

將l1和l2代入式(3)，可得

m2+p2-mp+n2+p2-np+

(4)

化簡式(4)并移項(xiàng)處理，可得

mn+mp+np-2p2

(5)

將上式兩邊取平方，可得

4(m2+n2-mp)(n2+p2-np)=

(mn+mp+np-2p2)2

(6)

將式(6)展開并合并同類項(xiàng)，可得

3m2n2+3m2p2-6m2np+3n2p2-6mn2p+6mnp2=0

(7)

即

m2n2+m2p2+n2p2-2m2np-2mn2p+2mnp2=0

(8)

也即

(-mn+mp+np)2=0

(9)

故mn=mp+np，兩邊同除以mnp，最終得

(10)

再考慮到圖8中坐標(biāo)軸的方向，p實(shí)際取負(fù)值，故可得1/p=-(1/m+1/n)，根據(jù)晶面指數(shù)的定義即可得證i=-(h+k).

證法2 (初等幾何法)：如圖9所示，過N點(diǎn)作平行于OP的直線，交a1軸與A點(diǎn)；過M點(diǎn)作平行于OP的直線，交a2軸于B點(diǎn)，則根據(jù)相似三角形特性可得到

圖9 初等幾何法證明四指數(shù)表示中h、k和i三個(gè)指數(shù)等量關(guān)系示意圖

(11)

所以有

(12)

圖10 向量法證明四指數(shù)表示中h、k和i三個(gè)指數(shù)等量關(guān)系示意圖

(13)

(14)

需要注意的是，當(dāng)用4個(gè)指數(shù)如[uvtw]來表示六方晶系的某一空間一個(gè)矢量時(shí)，一樣需要添加一個(gè)約束條件.類似于晶面指數(shù)的約束條件，四指數(shù)表示空間晶向時(shí)的約束條件是t=-(u+v)，但需要說明，這個(gè)約束條件是人為添加的，不像晶面指數(shù)中的約束條件具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這是因?yàn)榫蛑笖?shù)表示中的數(shù)是由晶向在平面3個(gè)軸上的截距整理而來，沒有取倒數(shù)，雖然3個(gè)數(shù)不全都獨(dú)立，但卻不是數(shù)學(xué)上的等量關(guān)系.

3 結(jié)束語

利用點(diǎn)陣變換可簡潔有效地判斷一個(gè)點(diǎn)陣是否為新的布拉菲點(diǎn)陣，但需要明確，這些變換需要在同一晶系內(nèi)進(jìn)行，對稱性不能改變，變換后成為另一晶系的點(diǎn)陣不能說明初始點(diǎn)陣不是一個(gè)新點(diǎn)陣；針對四軸指數(shù)標(biāo)記晶面時(shí)的附件條件，本文給出了3種證明方法，表明這一附加條件具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，有助于學(xué)生對這一知識點(diǎn)的理解，適合在教學(xué)實(shí)踐中采用.