劉世杰，馮平法，查慧婷?，馮 峰

1) 清華大學(xué)深圳國際研究生院先進制造學(xué)部, 深圳 518055 2) 清華大學(xué)機械工程系, 北京 100084

近年來，先進陶瓷材料、聚合物材料及其復(fù)合材料在航空航天、國防軍工、電子信息、醫(yī)療器械、軌道交通等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用[1]，尤其是具有優(yōu)異的機械、電氣和光學(xué)性能的硬脆材料，如晶體硅[2]、結(jié)構(gòu)陶瓷[3-4]、工程陶瓷[5]、光學(xué)玻璃[6]等. 但硬脆材料具有高硬度、高強度、載荷作用下容易脆斷等特點，在使用傳統(tǒng)加工方法進行機械加工時容易產(chǎn)生裂紋，形成表面和亞表面損傷，加工過程中刀具極易發(fā)生磨損、崩刃等現(xiàn)象[7-8]，研究結(jié)果表明，旋轉(zhuǎn)超聲加工技術(shù)能夠有效提高硬脆材料的加工質(zhì)量、降低切削力、改善刀具磨損，是一種硬脆材料有效的加工方法[9-11].

旋轉(zhuǎn)超聲加工系統(tǒng)一般由以下部分組成：超聲波發(fā)生器、無線電能傳輸系統(tǒng)、超聲換能器、變幅桿和刀具. 對于超聲換能器和變幅桿，常用的設(shè)計方法主要有解析法[12]、傳輸矩陣法[13]、四端網(wǎng)絡(luò)法[14-15]、有限元法[16-17]等. 其中四端網(wǎng)絡(luò)法是將超聲換能器和變幅桿各個直徑不同的部分分別等效成一個四端網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)機電相似理論和振動邊界條件求取待設(shè)計尺寸. 然而，采用四端網(wǎng)絡(luò)法設(shè)計換能器時，通常將規(guī)則的圓柱狀壓電片等效為等截面桿四端網(wǎng)絡(luò)，忽略了壓電片內(nèi)部的機電耦合過程，影響所設(shè)計換能器的輸出振幅.

本文在四端網(wǎng)絡(luò)設(shè)計法的基礎(chǔ)上，將壓電超聲換能器的前、后蓋板及連接螺栓等效成電學(xué)四端網(wǎng)絡(luò)，并且將壓電陶瓷晶堆等效成考慮了機電耦合的六端網(wǎng)絡(luò)，利用機械振動系統(tǒng)和電路系統(tǒng)的相似理論對壓電超聲換能器優(yōu)化設(shè)計，并進行了有限元分析和實驗驗證.

1 壓電超聲換能器等效電學(xué)網(wǎng)絡(luò)模型

四端網(wǎng)絡(luò)法的原理是力電類比，將具有輸入和輸出的力學(xué)振動系統(tǒng)看作電學(xué)四端網(wǎng)絡(luò)，其中機械波在振動系統(tǒng)中的波速等效為電路中的電流，振動系統(tǒng)兩端的力阻抗等效為電路兩端的電阻抗[18].

考慮一個由均勻、各向同性材料制造的單一變截面桿，如圖1(a)所示，設(shè)為桿中任一質(zhì)點隨平衡位置的位移，后文公式簡寫為，該位移變量是質(zhì)點軸向坐標(biāo)和 時間t 的函數(shù)，為桿的截面積函數(shù)，下述推導(dǎo)中簡寫為，和分別為和處桿的截面積，和分別為和處桿的振速，即位移對時間的導(dǎo)數(shù)，和分別為端和端桿所受外力，其中l(wèi)為變截面桿的長度.

圖1 單一變截面桿及等其效四端網(wǎng)絡(luò). （a）單一變截面桿；（b）等效四端網(wǎng)絡(luò)Fig.1 Single rod with a variable cross section and its equivalent fourterminal network: (a) the rod; (b) the equivalent four-terminal network

即機械四端網(wǎng)絡(luò)的等效電路圖可以表示為圖1(b)的形式.

在壓電換能器中，壓電陶瓷晶堆是由中間開孔的壓電陶瓷片和電極片相互間隔粘結(jié)而成的，設(shè)計壓電超聲換能器時可將壓電陶瓷晶堆等效成等截面桿，將其材料參數(shù)直接代入式(4)中得到壓電陶瓷晶堆的等效四端網(wǎng)絡(luò)[19]，這種方法簡化了設(shè)計和計算過程，但忽略了壓電陶瓷晶堆中的機電耦合，增加了換能器的設(shè)計誤差.

壓電陶瓷薄圓片只有軸向（x向）施加了電場，只有軸向存在應(yīng)力，壓電陶瓷片應(yīng)變、電場強度e與其所受應(yīng)力T和電位移D之間的關(guān)系可由g型壓電方程確定[20-21]：

根據(jù)牛頓第二定律，壓電陶瓷圓片簡諧振動時的波動方程的解為：

其中，下標(biāo)33均表示二階張量的軸向分量，上標(biāo)D與式(5)中下標(biāo)D含義相同，均表示在恒電位移條件下的參數(shù)，在壓電陶瓷圓片兩個端面處內(nèi)力和外力平衡的邊界條件下，壓電片在和處的受力和及電壓可表示為矩陣形式：

圖2 壓電陶瓷晶堆的等效六端網(wǎng)絡(luò)Fig.2 Equivalent six-terminal network of the SPCs

從式(4)中可以看出，桿件受力和振速之間的連接只涉及材料參數(shù)，因此用四端網(wǎng)絡(luò)等效壓電陶瓷晶堆時，只是將其看作等截面桿，輸入?yún)⒘繛闄C械量. 而式（9）由壓電陶瓷圓片的壓電方程、電路狀態(tài)方程和波動方程推導(dǎo)而來，其中機電轉(zhuǎn)換系數(shù)n體現(xiàn)了機電轉(zhuǎn)換過程，因此采用六端網(wǎng)絡(luò)等效壓電陶瓷晶堆時，將機電能量轉(zhuǎn)換過程耦合到等截面桿中，輸入量為電學(xué)量，更加符合壓電超聲換能器的工作原理. 本文將六端網(wǎng)絡(luò)運用到壓電超聲換能器的設(shè)計中，以提高換能器的設(shè)計的準(zhǔn)確性.

若將壓電陶瓷晶堆等效為六端網(wǎng)絡(luò)，可以計算其輸入端或者輸出端的等效阻抗，填充在相應(yīng)端口，將六端網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為可以與其他部分傳輸矩陣相乘的形式. 設(shè)壓電陶瓷晶堆某一端所連桿件的等效阻抗為，用填充壓電陶瓷晶堆的六端網(wǎng)絡(luò)中相對應(yīng)的兩個端口可將六端網(wǎng)絡(luò)變?yōu)樗亩司W(wǎng)絡(luò)的形式，且傳輸矩陣C=(c11,c12;c21,c22)可以根據(jù)圖2得出，其中各元素分別為：

若壓電陶瓷晶堆另一端由i段單一等截面桿組成，則各段桿的傳輸矩陣為：

將式(11)和(12)相乘得到系統(tǒng)的總傳輸矩陣為：

2 壓電超聲換能器設(shè)計計算

圖3設(shè)計的壓電超聲換能器的組成部分包括前蓋板、壓電陶瓷堆棧、后蓋板和連接螺栓，其中為壓電片單片厚度，、、和分別為前蓋板、后蓋板圓柱段、后蓋板圓臺段和連接螺栓的軸向長度，和為前蓋板端振速和受力，和為連接螺栓端振速和受力. 預(yù)設(shè)工作頻率為20 kHz，前后蓋板的材料均為6061鋁合金，壓電陶瓷片為PZT-8型，沿軸向極化，連接螺栓的材料為45鋼，各材料參數(shù)如表1所示，其中各向異性的PZT-8列出其x、y、z三個方向的楊氏模量及對應(yīng)泊松比. 壓電超聲換能器的直徑可根據(jù)實際需求來選擇合適的尺寸，下文將以直徑50 mm為例進行分析，需要設(shè)計計算的關(guān)鍵尺寸為前蓋板長度和后蓋板圓柱段長度.

圖3 壓電超聲換能器結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of PUT

表1 壓電超聲換能器各部分材料參數(shù)Table 1 Material parameters of each part of the PUT

壓電超聲換能器的前蓋板是圓柱截面桿，截面積是常數(shù)，即 ?S/?x≡ 0，設(shè)計直徑尺寸 φ =50 mm，前蓋板長度為待求解尺寸，將前蓋板的材料參數(shù)和直徑代入式(4)中，可得前蓋板輸入端和輸出端之間的關(guān)系（以前蓋板靠近節(jié)面的一端為輸入端）：和分別為圖3中①面處的力和振速，為鋁合金的密度，為鋁合金中的聲速，為前蓋板的橫截面積，為前蓋板的波數(shù). 前蓋板輸入端為節(jié)面位置，振速為0，輸出端為自由端，受力為0，將該邊界條件代入式(14)，需滿足，進而求出前蓋板長度計算所得前蓋板長度接近1/4波長，節(jié)面位于波節(jié)處，前蓋板輸出端面為波腹，這種分布方式便于換能器的安裝固定，同時有利于在輸出端激發(fā)出最大的振幅，這與超聲加工過程對超聲振幅的需求相符. 換能器的后蓋板圓柱段和連接螺栓為等截面桿，設(shè)計方法與前蓋板相同，其傳輸矩陣分別為X=(χ11,χ12;χ21,χ22)和Ψ =(ψ11,ψ12;ψ21,ψ22).

對于后蓋板圓臺段，以圖3中面③為輸入端，傳輸方程可表示為：

對于壓電陶瓷晶堆，如果不考慮壓電片中的機電耦合作用，其等效四端網(wǎng)絡(luò)與前蓋板的等效四端網(wǎng)絡(luò)相似，這種方法計算得L2=9.95 mm. 如第1節(jié)所述，考慮壓電片中的機電耦合作用，壓電陶瓷晶堆可等效為圖2所示六端網(wǎng)絡(luò)，用后蓋板和螺栓的等效阻抗填充壓電陶瓷晶堆等效六端網(wǎng)絡(luò)的兩個端口，則后蓋板、螺栓和壓電陶瓷晶堆整體形成一個四端網(wǎng)絡(luò)，后蓋板和螺栓的等效阻抗可以由式(16)求出：

將式(16)代入式(10)中得到壓電陶瓷晶堆、后蓋板和連接螺栓共同組成系統(tǒng)的等效網(wǎng)絡(luò)傳輸方程：

Q=(q11,q12;q21,q22)為系統(tǒng)傳輸矩陣，根據(jù)超聲加工所需輸出功率大小，選擇4片壓電陶瓷片，每片厚度為6.5 mm，直徑為50 mm. 根據(jù)以上設(shè)計過程，式(17)的傳輸矩陣中只隱含一個未知參數(shù)，邊界條件為：,即要求，求得L2=15.78 mm. 經(jīng)過以上設(shè)計和計算，設(shè)計出的壓電超聲換能器的各部分關(guān)鍵尺寸如下表2所示.

表2 壓電超聲換能器設(shè)計尺寸Table 2 Designed dimensions of each part of the PUTs

3 壓電超聲換能器有限元分析

在第2節(jié)中分別采用四端網(wǎng)絡(luò)法和六端網(wǎng)絡(luò)法設(shè)計了兩個不同尺寸的壓電超聲換能器，分別記作換能器A（四端網(wǎng)絡(luò)法）和換能器B（六端網(wǎng)絡(luò)法），利用有限元分析方法得到換能器最接近設(shè)計頻率（20 kHz）的縱振固有頻率如表3所示.

表3 壓電超聲換能器縱振固有頻率仿真分析Table 3 Natural frequency of the longitudinal vibration of the PUTs by FEM

可見兩種換能器均能在20 kHz附近產(chǎn)生縱振模態(tài)的諧振，且誤差較小，在節(jié)面位置幅值最小，可用于換能器主體與機床的連接固定，前蓋板前端輸出振幅最大，可與變幅桿相連，提供足夠大的振幅.瞬態(tài)分析模型設(shè)置如圖4所示，在圖4(a)所示平面2和4施加電壓激勵，電壓表達(dá)式為50cos(2π×fV×t)，單位，其中激勵電壓頻率取表3中換能器的縱振固有頻率，平面1、3和5接地，在每一個激勵周期內(nèi)計算10個點，計算足夠長的時間，分析換能器前蓋板前端面點1處的輸出振幅，如圖4(b)所示.

圖4 瞬態(tài)分析模型設(shè)置. （a）激勵施加方式；（b）前蓋板振動輸出點1Fig.4 Model setup of the transient analysis: (a) application of the excitation voltage; (b) schematic illustration of point 1

圖5為兩種壓電超聲換能器在簡諧激勵下達(dá)到穩(wěn)定振動狀態(tài)時前蓋板點1處的輸出振幅隨時間t的變化曲線. 由圖5可知，采用六端網(wǎng)絡(luò)法設(shè)計的換能器B可以輸出更大的振幅，振幅平均值約為7 μm，換能器A輸出振幅平均值4.5 μm. 換能器A設(shè)計過程中將壓電陶瓷晶堆當(dāng)作無源器件，忽略了機電耦合過程對壓電陶瓷晶堆中機械波傳播的影響，導(dǎo)致機械波到達(dá)后蓋板自由端面與空氣交界面時并不處于波腹位置，機械波經(jīng)過后蓋板反射之后在換能器內(nèi)形成駐波，反射波與原生波振動幅值不同導(dǎo)致兩者重合度低，不利于換能器整體的諧振，輸出振幅較小[23].

圖5 換能器A和B端面點1處的輸出振幅仿真結(jié)果Fig.5 Output amplitudes of transducer A and B at point 1 by FEM

4 壓電超聲換能器振動實驗測試

根據(jù)第2節(jié)中設(shè)計的壓電超聲換能器的尺寸，制作了圖6所示的兩個換能器，兩者前蓋板長度均為60 mm，換能器A后蓋板圓柱段長度為10 mm，總長為116 mm，換能器B后蓋板圓柱段長度為16 mm，總長為122 mm. 使用阻抗分析儀測試換能器的固有頻率，得到換能器A和B的固有頻率分別為19860 Hz和19474 Hz，與第3節(jié)中仿真計算結(jié)果之間的誤差小于1%.

圖6 壓電超聲換能器Fig.6 Designed PUTs

圖7為給壓電片施加50 V激勵電壓，調(diào)整電源輸出信號頻率，使得換能器輸出振幅最大，使用激光位移傳感器測量換能器穩(wěn)定工作時前蓋板輸出振幅隨時間的變化曲線，換能器A前蓋板端面上輸出振幅約為3.4 μm，工作頻率為20350 Hz，換能器B前蓋板端面上輸出振幅約為5 μm，工作頻率為19680 Hz，采用六端網(wǎng)絡(luò)法設(shè)計的換能器在相同激勵作用下可以輸出更大振幅，如圖8所示. 換能器最佳工作頻率大于有限元分析和阻抗分析儀所測諧振頻率的原因在于裝配過程中連接螺栓的預(yù)緊力會導(dǎo)致?lián)Q能器諧振頻率的增加[24-25].換能器在實際使用過程中，會在前蓋板前端加裝用于放大振幅的變幅桿，對于簡單階梯型、圓錐形、指數(shù)型變幅桿，通常其振幅放大系數(shù)，因此這種換能器用于超聲加工時可以保證刀尖處輸出振幅大于10 μm的超聲振動，能夠滿足旋轉(zhuǎn)超聲加工的需求.

圖7 壓電超聲換能器輸出位移測試Fig.7 Experimental setup for measuring the displacement of the PUTs

圖8 換能器A和B端面輸出振幅實驗結(jié)果Fig.8 Experimental results of the output amplitudes of transducer A and B

5 結(jié)論

本文將考慮壓電陶瓷晶堆中機電耦合作用的六端網(wǎng)絡(luò)引入到壓電超聲換能器的設(shè)計中，并分別采用考慮機電耦合作用的電學(xué)六端網(wǎng)絡(luò)法和不考慮機電耦合作用的傳統(tǒng)四端網(wǎng)絡(luò)法設(shè)計了兩個不同尺寸的壓電超聲換能器. 有限元分析和實驗結(jié)果表明：相比于傳統(tǒng)的四端網(wǎng)絡(luò)，將壓電陶瓷晶堆等效為考慮機電耦合作用的六端網(wǎng)絡(luò)更適用于超聲壓電換能器的設(shè)計. 在相同激勵條件下，根據(jù)六端網(wǎng)絡(luò)法設(shè)計得到的換能器可以輸出更大的振幅.