王輝堤，肖友剛，李蔚，韓錕

(1.中南大學(xué) 交通運輸工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；2.中南大學(xué) 軌道交通安全關(guān)鍵技術(shù)國際合作聯(lián)合實驗室，湖南 長沙 410075)

長期以來，起重機作業(yè)依賴于吊車司機的操作經(jīng)驗。操作不當(dāng)、加減速運動及外界干擾等因素都會造成負(fù)載擺動，不僅降低效率，也產(chǎn)生安全隱患。如何抑制起重機運行過程中的擺動問題，并高效、安全、準(zhǔn)確地將貨物搬運到目標(biāo)位置，是目前國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點問題[1-3]。現(xiàn)有的起重機防擺控制方法大多針對單級擺型起重機提出[2-7]。然而當(dāng)?shù)蹙哔|(zhì)量與負(fù)載質(zhì)量相近且距離較遠(yuǎn)時，二者不可視為同一整體，此時系統(tǒng)易呈現(xiàn)出復(fù)雜的雙擺現(xiàn)象。雙擺效應(yīng)使系統(tǒng)運動維數(shù)增加，欠驅(qū)動性和非線性更強，控制器設(shè)計難度增加。目前，已有學(xué)者針對雙擺起重機控制問題提出了一些行之有效的控制方法，如經(jīng)典無狀態(tài)反饋的開環(huán)控制法。其中，肖友剛等[8]利用擴張狀態(tài)觀測器估計負(fù)載擺動狀態(tài)，設(shè)計了雙擺型吊車滑模控制器，但沒有考慮擾動的影響。陳鶴等[9]考慮了系統(tǒng)物理約束，利用高斯偽譜法求解得到全局時間最優(yōu)、具有消擺功能的臺車運行軌跡。孫寧等[10]充分考慮了系統(tǒng)的物理約束和控制性能指標(biāo)，提出了帶有狀態(tài)約束的雙擺吊車最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法；需指出的是，開環(huán)控制方法雖易于實現(xiàn)，但對參數(shù)不確定性和外界干擾十分敏感，魯棒性較差，因此閉環(huán)控制法得到了更多學(xué)者的青睞。其中，MAR 等[11]提出了輸入整形和PID 控制相結(jié)合的方案，克服了輸入整形器抗干擾能力差的局限。QIAN 等[12]提出了一種基于單輸入規(guī)則模塊的模糊控制器，抑制了兩級擺角擺動。ZHANG 等[13]考慮了控制輸入約束，利用能量整形的思想，設(shè)計了一種帶有跟蹤誤差約束的自適應(yīng)跟蹤控制器；歐陽慧珉等[14]設(shè)計了一種變閉環(huán)阻尼比的非線性滑?？刂扑惴ǎ鉀Q了旋轉(zhuǎn)起重機的旋臂定位和兩級擺動抑制問題；SUN 等[15-16]設(shè)計了一種飽和非線性輸出反饋控制器和一種非線性PID控制器，解決了雙擺橋式吊車防擺定位問題。這些雙擺起重機閉環(huán)控制方法均需利用所有系統(tǒng)狀態(tài)的實時反饋信息進行控制，然而在實際中負(fù)載擺角不易通過安裝傳感器直接測量。此外起重機系統(tǒng)存在模型不確定和外部隨機擾動的影響。如何解決這些問題是本文研究的關(guān)鍵。光滑整形(Command Smooth‐ing)是一種簡單、高效的前饋控制技術(shù)，通過與輸入信號相卷積形成平滑的光滑整形指令，從而有利于抑制柔性系統(tǒng)的振蕩[17-18]。自抗擾控制(Active disturbance rejection control,ADRC)把作用于被控對象的所有不確定因素都?xì)w結(jié)為未知“總擾動”，利用擴張狀態(tài)觀測器(Extended state observer,ESO)進行實時估計并給予補償[19]。ADRC 不依賴于被控對象的精確模型，具有結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強的優(yōu)點，尤其適用于非線性控制系統(tǒng)。綜上所述，為在無負(fù)載擺角反饋的前提下，有效控制雙擺起重機的負(fù)載擺動，并進一步提升系統(tǒng)性能，本文提出了開環(huán)光滑整形技術(shù)和閉環(huán)自抗擾控制技術(shù)相結(jié)合的混合控制法(Smoothing ADRC,S-ADRC)。首先，基于系統(tǒng)的固有特性設(shè)計光滑整形器，對傳統(tǒng)的梯形軌跡進行光滑處理，以保障臺車平穩(wěn)安全運行；其次在起重機模型變換的基礎(chǔ)上，利用線性擴張狀態(tài)觀測器估計包含負(fù)載擺動信息的系統(tǒng)總擾動，并反饋到控制器進行補償，進而形成前饋加反饋的雙通道自抗擾復(fù)合控制方案，實現(xiàn)了對臺車位移和兩級擺角的有效控制。仿真結(jié)果驗證了所提方法的有效性。

1 雙擺型起重機系統(tǒng)分析

具有雙擺效應(yīng)的起重機模型如圖1所示，根據(jù)拉格朗日力學(xué)原理可得其動力學(xué)方程[10]：

圖1 具有雙擺效應(yīng)起重機系統(tǒng)模型Fig.1 Schematic diagram of double-pendulum overhead crane

其中：M，m1，m2分別為臺車、吊鉤、負(fù)載的質(zhì)量，θ1為吊鉤的垂向擺角，容易通過編碼器測得，θ2為負(fù)載的垂向擺角，實際中難測；l1為吊繩長度，l2為吊鉤與負(fù)載重心之間的距離，g為重力加速度，F(xiàn)為臺車驅(qū)動力，x為臺車位移，F(xiàn)r為臺車摩擦力，為與摩擦力相關(guān)的系數(shù)。

考慮到雙擺型橋式起重機系統(tǒng)只有一個輸入力作為控制量，但卻需同時控制臺車位移和2個擺角，將控制量F拆分為位移控制量u1，擺角控制量u2及臺車摩擦力補償量Fr，即：

考慮到實際作業(yè)中，應(yīng)避免產(chǎn)生大幅擺角，在小角度情況下cosθi≈1,cos(θ1-θ2)≈1,sinθi≈θi,sin(θ1-θ2)θi2≈0[10]，結(jié)合式(1)～(2)可得雙擺起重機的近似線性模型：

設(shè)計控制系統(tǒng)的目的是使得臺車精準(zhǔn)到達(dá)目標(biāo)位置xd，且實時消擺。本文著重研究無負(fù)載擺角傳感器下的控制器設(shè)計問題，在后續(xù)內(nèi)容中將設(shè)計一種光滑整形結(jié)合自抗擾的混合控制策略來實現(xiàn)控制目標(biāo)。

2 光滑整形器的設(shè)計

在實際應(yīng)用中，一般多采用梯形速度軌跡作為臺車速度曲線。由于這種軌跡的加速度具有與起重機系統(tǒng)的固有頻率相同的諧波成分，因此起重機加、減速過程中會引發(fā)負(fù)載強烈震蕩，對其安全與高效作業(yè)帶來不利影響。

光滑整形技術(shù)通過光滑函數(shù)與期望輸入相卷積，形成平滑的光滑整形指令作為系統(tǒng)的實際輸入，從而消除原信號中與系統(tǒng)固有頻率相同的諧波成分，以避免柔性系統(tǒng)的振動[17-18]。光滑整形器(Smoother)的設(shè)計僅需知道起重機系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比，因此具有簡單易實現(xiàn)的優(yōu)點。雙擺起重機的兩級擺角可看作2 個二階系統(tǒng)，由文獻[20]可知，雙擺起重機系統(tǒng)2個模態(tài)的振動頻率ω1，ω2可分別表示為：

其中，R，β為輔助參數(shù)，滿足：

雙擺起重機系統(tǒng)2 個固有頻率不僅與繩長有關(guān)，且與負(fù)載和吊鉤的質(zhì)量之比也有關(guān)系，系統(tǒng)振動為2種不同固有頻率振動的組合，因此需設(shè)計控制器進行消除。Smoother 可幫助消除多模態(tài)系統(tǒng)的高頻振動，且根據(jù)第一模態(tài)設(shè)計的Smoother也能消除第2 模態(tài)頻率的振動[18]。為簡化Smoother的設(shè)計，本文僅利用雙擺起重機系統(tǒng)的第1模態(tài)振動頻率信息。

雙擺起重機系統(tǒng)為二階振蕩系統(tǒng)，其對光滑整形函數(shù)u(τ)的響應(yīng)為[18]：

其中，ξ為系統(tǒng)阻尼比。

系統(tǒng)的振幅響應(yīng)為：

為保證經(jīng)光滑整形后的信號與原始信號具有相同的增益，將光滑整形函數(shù)的積分值設(shè)定為1，因此u(τ)需滿足約束方程：

根據(jù)式(9)～(11)解出起重機系統(tǒng)光滑整形器的表達(dá)式：

若光滑整形器的模型頻率和阻尼比沒有誤差，則可完全消除系統(tǒng)振蕩，由于光滑整形器的指令平滑具有很好的魯棒性，因此模型頻率參數(shù)可在一定范圍內(nèi)變動。

3 自抗擾控制器設(shè)計

3.1 擴張狀態(tài)觀測器的設(shè)計

由于吊鉤和負(fù)載間的耦合關(guān)系，負(fù)載擺動勢必對吊鉤擺動造成影響，對吊鉤擺動的抑制，也能減少負(fù)載擺動幅度，從而抑制兩級擺動。由于負(fù)載擺角信息無法獲取，且式(6)～(7)中的f1，f2結(jié)構(gòu)復(fù)雜，并包含未建模部分，因此將負(fù)載擺動對系統(tǒng)產(chǎn)生的動態(tài)影響及f1，f2歸并為總和擾動進行估計。

另一方面，上文雖已將控制量進行了拆分，但位移回路和擺動回路的控制量仍相互包含，任一回路控制量的變化都會對另一回路的狀態(tài)產(chǎn)生影響。為解決上述問題，將位移回路中負(fù)載擺動的控制量歸入位移回路的總和擾動中予以估計，將擺動回路中的位移控制量歸入擺動回路的總和擾動中予以估計，以實現(xiàn)位移回路和擺動回路間的解耦。綜上，式(6)～(7)重新表示為：

其中：R1=f1+b1u2為臺車位移回路的總和擾動，R2=f2+b2u1為擺動回路的不確定項，R3為擺角2對擺角1回路造成的外擾，R3=。

設(shè)計臺車位移回路的擴張狀態(tài)觀測器，將R1視為該通道的擴張狀態(tài)變量，令x1=x,x2=,x3=R1，則式(13)可表示為：

對臺車位移回路設(shè)計如下包含模型輔助信息的擴張狀態(tài)觀測器ESO1：

接下來設(shè)計擺動回路的擴張狀態(tài)觀測器，對R3和R2進行實時估計。注意到R3與θ2間的聯(lián)系，若能對R3進行準(zhǔn)確估計，不僅能消除未知負(fù)載擺動狀態(tài)對系統(tǒng)的影響，也可對負(fù)載擺角進行“軟測 量”。對式(14)進行擴張，令φ1=θ1,φ2=,φ3=R2，則系統(tǒng)(14)可重新表示為：

因此，對擺動回路設(shè)計擴張狀態(tài)觀測器ESO2：

將臺車加速度視為欠驅(qū)動方程的輸入量，根據(jù)式(19)定義系統(tǒng)的狀態(tài)變量為：

則式(20)可表示為如下二階系統(tǒng)：

根據(jù)狀態(tài)變量之間關(guān)系，可設(shè)計如下擴張狀態(tài)觀測器ESO3，估計R3和θ2：

通過擴張狀態(tài)觀測器ESO3 和式(23)可在一定程度上估計出負(fù)載擺角信息。為簡化調(diào)參，采用帶寬法，將ESO1 和ESO2 的觀測器增益分別配置為：

其中：ωox和ωoθ分別為ESO1 和ESO2 的觀測器帶寬。帶寬的大小決定了ESO 觀測誤差大小及收斂速度的快慢。

3.2 誤差反饋控制律的設(shè)計

針對式(15)，可對位移通道設(shè)計如下控制律：

式中：k1,k2∈R+為位移通道的控制增益；v1為經(jīng)光滑整形后的輸入命令。

針對式(17)可對擺角通道設(shè)計如下控制律：

其中：k3,k4∈R+為擺角通道的比例增益和微分增益。

對2 個通道控制量進行線性疊加得到總控制量，由式(25)和式(26)可得：

3.3 穩(wěn)定性分析

首先證明所設(shè)計的擴張狀態(tài)觀測器的穩(wěn)定性，由于ESO1，ESO2 和ESO3 具有相似的結(jié)構(gòu)，因此下文將僅證明ESO1 的穩(wěn)定性，根據(jù)式(16)所設(shè)計的線性擴張狀態(tài)觀測器，作如下定義：

定理1：假設(shè)擾動|d|≤δ,δ∈R+，則存在常數(shù)σi＞0 (i=1,2,3)與一有限時間T＞0，對于任意t≥T及ωox＞0，可得

證明：對式(29)求解，可得：

由于|d|≤δ則：

由于Aξ是Hurwitz 的，因此存在一個有限時間T＞0，使得對于任意的t≥T下式成立：

結(jié)合式(32)～(33)可得：

結(jié)合式(31)～(34)可得：

設(shè)初始觀測誤差：

則對于任意t≥T下式成立：

因此ESO1 的觀測誤差是收斂且有界的，定理1 得證。式(38)可以看出提高帶寬，可減小觀測誤差，但同時也越容易引入噪聲信號，因此選取帶寬時，需綜合考慮系統(tǒng)控制指標(biāo)和抗干擾性能。同理可知ESO2，ESO3的觀測誤差也是有界的。

定義起重機系統(tǒng)跟蹤誤差ψ1=x1-xd,ψ2=,ψ3=θ,ψ4=，定義擾動估計誤差：則系統(tǒng)誤差微分方程可表示為：

通過帶寬法，可進一步簡化參數(shù)個數(shù)，將k1,k2,k3,k4配置為如下形式：

易知矩陣E是Hurwitz 穩(wěn)定的，因此存在一正定矩陣P，使矩陣E滿足ETP+PE=-Q，其中Q為正定矩陣，構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

其中：λmin(Q)和λmax(P)分別表示矩陣Q的最小特征值和矩陣P的最大特征值。

由上式可得(x) ＜0的充分條件為：

因此可通過配置矩陣E的特征值，使條件(42)滿足，從而保證閉環(huán)系統(tǒng)在有外擾下的穩(wěn)定性。

4 仿真結(jié)果

雙擺起重機系統(tǒng)的參數(shù)選取為M=20 kg,m1=1 kg,m2=2 kg,l1=0.6 m,l2=0.3 m,g=9.8 m/s2采樣周期為50 ms。臺車的初始位置設(shè)置為0，即x(0)=0，臺車的目標(biāo)位置設(shè)置為xd=10 m。摩擦力參數(shù)設(shè)為：frx=8,krx=-1.2,εx=0.01。本文所提算法的參數(shù)為：=5,ωox=ωoθ=12,ωo=20。

為給臺車安排運動參考軌跡，首先構(gòu)造了經(jīng)典梯形速度軌跡，其加速度和速度參數(shù)分別設(shè)置為：am=0.5 m/s2，vm=1 m/s。為保證軌跡的平滑性，對梯形軌跡進行光滑整形，所得結(jié)果如圖2 所示。可見相較于原梯形速度軌跡的線性變化，光滑整形后的速度和加速度軌跡變化更為平滑，更有利于起重機系統(tǒng)運動狀態(tài)的平滑切換，保障系統(tǒng)平穩(wěn)安全運行。

圖2 光滑整形前后的臺車運動參考軌跡對比Fig.2 Comparison of the reference trajectory of the trolley before and after smooth shaping

4.1 控制器對比分析

為驗證本文所提方法的有效性，將光滑整形自抗擾控制器(S-ADRC)與文獻[20]所提基于無源性控制Passivity Based Control (PBC)，文獻[21]所提基于能量耦合控制Energy Coupling Based Con‐trol(ECBC)進行仿真對比，結(jié)果如圖3 所示。圖3中從上到下曲線依次為臺車位移、吊具擺角、負(fù)載擺角和臺車控制量，負(fù)載擺角的估計結(jié)果如圖4所示。其中ECBC 數(shù)學(xué)表達(dá)式為：Fx=Fr-kptanh(ξx)-，對應(yīng)的參數(shù)充分整定為kp=20，kd=30，λ1=-6，λ2=-1。PBC 控制律如式(43)所示，對應(yīng)的參數(shù)充分整定為kE=1，kd=20，kp=30，kD=0。為保證臺車平穩(wěn)高效運行，PBC和S-ADRC法采用光滑整形后的軌跡作為臺車的跟蹤軌跡，且參數(shù)和上文均保持一致。ECBC 法因其自身控制律所含tanh函數(shù)具有光滑特性，可不必安排參考軌跡。

圖4 負(fù)載擺角理論值和估計值對比Fig.4 Comparison of actual and estimated load swing angle

從圖3可以看出，3種控制器定位都非常精準(zhǔn)，同時在不同程度上抑制兩級擺動。具體來講，采用本文設(shè)計的軌跡進行跟蹤控制的S-ADRC和PBC法能夠同時無超調(diào)到達(dá)目標(biāo)位置，兩級最大擺角均在3°以內(nèi)，PBC法僅有微小的殘擺，而S-ADRC法幾乎無殘擺。ECBC 法在臺車定位時間、運行過程的最大擺角、消擺性能及控制力等指標(biāo)均會略差于其他2種算法。因此在暫態(tài)性能上，本方法優(yōu)于其他2種方法。

圖3 3個控制器控制效果對比Fig.3 Comparison of control effects of three controllers

值得注意的是，本算法并未利用負(fù)載擺角反饋信息。PBC 法無需任何角度和角速度反饋，導(dǎo)致控制器無抗擺角干擾的能力。ECBC 法需利用兩級擺角和位移信息進行全狀態(tài)反饋，因此需安裝負(fù)載擺角傳感器。因此，綜合硬件條件和控制效果來說本算法具有良好的可靠性和實際的應(yīng)用性。從圖4可以看出，本文設(shè)計的觀測器，其觀測值和理論值非常接近，可有效地對負(fù)載擺角進行觀測，因此能夠起到替代傳感器進行擺角“軟測量”的作用。

4.2 魯棒性分析

為驗證S-ADRC控制器對模型參數(shù)變化的魯棒性，將負(fù)載質(zhì)量和吊繩長度進行成倍變化，即令m2=2 kg，l1=1.2 m，而控制器增益不變，所得仿真曲線如圖5所示?？梢姡?dāng)模型參數(shù)發(fā)生較大變化時，S-ADRC控制器具有與原始參數(shù)不變時幾近相同的控制效果，表明所提控制器對負(fù)載質(zhì)量和繩長變化不敏感，表現(xiàn)出很好的魯棒性。

圖5 模型參數(shù)發(fā)生變化下所提方法控制效果Fig.5 Control effect of the proposed method under the change of model parameters

4.3 抗干擾分析

為驗證本算法的抗外擾能力，在吊運過程中對負(fù)載施加3 種不同類型的干擾，具體來說在5～6 s 時加入隨機擾動，在10～11 s 時加入強度為3°的脈沖擾動，在20～21 s時加入強度為3°的正弦擾動，仿真結(jié)果如圖6 所示。S-ADRC 法雖未用到負(fù)載擺角反饋信息，但在本算法作用下，雙擺起重機系統(tǒng)也能夠快速地抑制并消除這些外擾，使兩級擺角有效消擺，因此本算法具有較強的抗干擾能力。另一方面，即便在擾動作用下，本文設(shè)計的觀測器也能夠準(zhǔn)確估計擺角信息，進一步表明了其有效性。

圖6 不同干擾下所提方法控制效果Fig.6 Control results for the proposed method with different disturbances

5 結(jié)論

1) 通過對傳統(tǒng)的梯形軌跡進行光滑整形，在前饋端構(gòu)造了具有防擺功能的跟蹤軌跡，保障了系統(tǒng)的平穩(wěn)運行，并且簡單易實現(xiàn)。

2) 將非線性、強耦合造成的系統(tǒng)不確定項和外擾視為總擾動，設(shè)計ESO 進行估計和補償；將無法測量的負(fù)載擺角動態(tài)進行估計，不僅消除了未知擺角動態(tài)對系統(tǒng)的影響，同時可對負(fù)載擺角準(zhǔn)確“軟測量”，進而構(gòu)造了雙通道的自抗擾反饋控制器，并對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了嚴(yán)格的理論證明。

3) 仿真結(jié)果表明，所提前饋加反饋的混合控制方案可在模型參數(shù)發(fā)生攝動及外擾作用的情況下，全過程平穩(wěn)將吊重搬運到目標(biāo)位置，有效地抑制了兩級擺角擺動，并較大程度提高了系統(tǒng)的控制性能。