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      在數(shù)學(xué)建模中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

      2022-04-16 14:51:20新疆石河子第一中學(xué)傅祖勇
      中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年13期
      關(guān)鍵詞:殘留物直覺球員

      ?新疆石河子第一中學(xué) 傅祖勇

      1 引言

      創(chuàng)新思維能力的發(fā)展,推動了人類社會的進(jìn)步.當(dāng)今社會、科學(xué)技術(shù)日新月異,靠的就是創(chuàng)新型人才.高中數(shù)學(xué)教學(xué)雖然屬于基礎(chǔ)教育,但同樣肩負(fù)著培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重任.那么,高中數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)的落腳點在何處呢?筆者認(rèn)為,教學(xué)中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生做到以下三點:一是發(fā)揮想象能力,培養(yǎng)直覺思維;二是構(gòu)建建模意識,培養(yǎng)轉(zhuǎn)換能力;三是以“構(gòu)造”為載體,培養(yǎng)創(chuàng)新能力.下面談?wù)劸唧w做法,不當(dāng)之處,敬請斧正.

      2 發(fā)揮想象能力,培養(yǎng)直覺思維

      追溯數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,我們可以發(fā)現(xiàn),不勝枚舉的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)往往來自于數(shù)學(xué)家的直覺思維.史上有名的有笛卡兒坐標(biāo)系、費爾馬大定理、歌德巴赫猜想以及歐拉定理等,這些非凡的“發(fā)現(xiàn)”不是數(shù)學(xué)家通過邏輯思維得到的,而是他們經(jīng)過細(xì)致觀察、反復(fù)對比、深刻參悟最終數(shù)學(xué)靈感勃然而出的.在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直覺思維和直觀想象,讓學(xué)生提出獨特的見解,通過建立數(shù)學(xué)模型來快捷地解決問題,從而實現(xiàn)溝通數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維,提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的目的.

      例1除錯位相減法之外,你能求S=1+2x+3x2+4x3+……+nxn-1(x≠0且x≠1)嗎?

      學(xué)生直覺:可以將S=1+2x+3x2+4x3+……+nxn-1(x≠0且x≠1)看作某函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),于是想到構(gòu)造一個新的函數(shù),借助導(dǎo)數(shù)巧妙地解決問題.

      由于本題解答要求避開“錯位相減法”,所以學(xué)生解答時必須另辟蹊徑.學(xué)生借助直覺思維,根據(jù)所求代數(shù)式的特點,想到通過構(gòu)造函數(shù)并妙用導(dǎo)數(shù)來解決,可謂新穎自然,巧奪天工,毫無斧鑿之跡,怎不令人拍案叫絕!反映出學(xué)生善于觀察又積極想象的思維品質(zhì).試想,假如教師在日常教學(xué)中沒有一定量的建模訓(xùn)練,他們能“創(chuàng)造”出如此“高大上”的優(yōu)美證明嗎?大數(shù)學(xué)家泰勒曾經(jīng)說過,豐富的知識和經(jīng)驗是產(chǎn)生新的聯(lián)想和獨創(chuàng)見解的源泉.

      高中數(shù)學(xué)內(nèi)容豐富,思想與方法也千姿百態(tài).從一個問題出發(fā),聯(lián)想到另一個問題,并建立新的數(shù)學(xué)模型,這種創(chuàng)造性思維的形成往往離不開直覺思維.因此,在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中,教師應(yīng)重視稍縱即逝的直覺思維的培養(yǎng).

      3 構(gòu)建建模意識,培養(yǎng)轉(zhuǎn)換能力

      恩格斯說過,數(shù)學(xué)形式的相互轉(zhuǎn)化,不是一種無聊的游戲,而是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的平衡關(guān)系,如同物理中的“杠桿原理”.一旦離開這個原理,數(shù)學(xué)就會“擱淺”.而數(shù)學(xué)建模從本質(zhì)上看,就是實現(xiàn)實際問題與數(shù)學(xué)問題之間的轉(zhuǎn)化,因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們要注重這種轉(zhuǎn)化,并用好這根“杠桿”,這對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維意義非凡,同時從應(yīng)試角度看,對提高學(xué)生的解題速度也大有益處.

      在函數(shù)模型的教學(xué)中,筆者給學(xué)生舉了一個“洗衣問題”的例子:現(xiàn)在有一桶水,需要洗一件衣服,是直接將衣服放入一桶水中洗呢,還是將一桶水一分為二,洗滌兩次?哪種洗法的效果好?答案自然是不言而喻的,你能從數(shù)學(xué)角度來分析并解決這個問題嗎?

      例2衣服洗滌甩干后需要多次漂洗,如果每次漂洗后衣服上的殘留物都是均勻分布的,而且每次漂洗并甩干后衣服中含有的水分和殘留物的重量也相同,也就是說每次漂洗前后的衣服上的殘留物的含量百分比一致.現(xiàn)有一臺全自動小天鵝洗衣機(jī),假定漂洗的用水總量為a,漂洗并甩干的次數(shù)定為3.為了讓漂洗后衣服中殘留物最少,請同學(xué)們想一想,如何確定每次漂洗的用水量?

      生1:設(shè)每次漂洗并甩干后衣服中的殘留水分(含殘留物)的重量為m,洗滌并甩干后(漂洗前)衣服中殘留物(不含水分)為n0.3次漂洗并甩干后衣服中的殘留物(不含水分)分別為y1,y2,y3,3次用水量分別為x1,x2,x3(以上各量單位相同),則由每次漂洗前后殘留物的重量百分比濃度相等可知:

      師:本問題的關(guān)鍵是利用每次漂洗前后殘留物重量的百分比濃度相等來建立關(guān)系式,請同學(xué)們思考這是為什么?

      通過大家的集思廣益,得到了本題的推廣結(jié)論:

      通過實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,利用數(shù)學(xué)手段,問題似乎已經(jīng)解決.從理論上講,定量的水漂洗次數(shù)越多,殘留物就越少.但全自動洗衣機(jī)通常設(shè)定為3次漂洗,這是為什么?這又是一個日常生活中的問題,再次激發(fā)出學(xué)生探究數(shù)學(xué)的熱情,顯然這個問題是剛解決的問題的進(jìn)一步深化,筆者讓學(xué)生課后進(jìn)一步研究,于是把學(xué)生數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力向更高的層次推進(jìn).

      4 以“構(gòu)造”為載體,培養(yǎng)創(chuàng)新能力

      所謂“建模”,顧名思義就是構(gòu)造模型,說來簡單,但模型如何構(gòu)造并非一蹴而就的容易事,這需要學(xué)生有足夠強(qiáng)的構(gòu)造能力.而這種能力同樣離不開教師在課堂教學(xué)中的著力培養(yǎng),教師應(yīng)該精選教學(xué)素材,以“構(gòu)造”為載體,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

      足球運動深受高中生喜愛,于是筆者提出了如下關(guān)于足球的問題:

      例3如圖1所示,甲方球員A把球傳給甲方球員B,乙方的球員C出擊阻斷該球.球員C斷球是否成功,主要由以下因素確定:△ABC的形狀、傳球的速度、傳球的軌跡,還有球員奔跑的速度、球員C的出擊角度、球員們反應(yīng)的時間、比賽時的天氣等.我們?yōu)榱撕喕瘑栴},提出如下幾個假設(shè):首先不考慮客觀因素;其次把球員反應(yīng)時間當(dāng)成零,并且球員奔跑速度都相等,且他們與球在同一個平面上作勻速直線運動.在這樣的假設(shè)下,球員C可否成功斷球的主要因素,一受△ABC的大小與形狀的影響;二受該球員奔跑速度的制約;三還得看傳球速度;最后還要看球員C出擊的角度.于是,我們可以把球員斷球問題,通過數(shù)學(xué)建模,轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學(xué)問題:

      圖1 圖2

      問題1:如圖2所示,甲方球員A把球傳給本隊同伴B,而乙方球員C想搶斷傳球,在∠A與θ(θ=∠ACD)滿足何種條件的時候,球員C才可能實現(xiàn)斷球目的?假設(shè)A=28°,B=40°,球的速度是16 m/s,球員C的速度是8 m/s,試求球員C出擊的方向.

      問題2:若依然假設(shè)∠A=28°,∠B=40°,球的速度是16 m/s,球員的奔跑速度是8 m/s,試問:

      (1)假如球員B積極回?fù)?,那么他能否成功反斷球?/p>

      (2)球員C由哪個方向出擊,他肯定能成功阻斷球?

      本問題完全數(shù)學(xué)化后,就是一個解三角形和平面幾何問題.由此可見,要把一個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,首先應(yīng)該從題目的實際出發(fā),確定選擇何種數(shù)學(xué)模型,依據(jù)刪繁就簡原則,通過主觀“構(gòu)造”,讓其顯出數(shù)學(xué)的本質(zhì).我們還可以改變假設(shè)的條件,如本例中球員對球作出反應(yīng)的時間,讓球員們奔跑的速度各不相同,由于受空氣阻力的影響,還可以將球的速度變?yōu)闇p速運動等,于是球員成功斷球的條件就變得異常復(fù)雜了,這樣對學(xué)生的創(chuàng)新思維提出了更高的要求.但只有循序漸進(jìn),學(xué)生的創(chuàng)新性思維能力才能提高.

      以上幾個例子告訴我們,觀察能力的培養(yǎng)與思維能力的培養(yǎng),在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中同樣重要.教師只有在數(shù)學(xué)建模中引導(dǎo)學(xué)生眼、手、腦三者聯(lián)動,創(chuàng)新思維的培養(yǎng)才能落地生根.

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