基于“生”動教學(xué)的數(shù)學(xué)建模實踐
——以“電磁爐燒開水如何節(jié)能”問題為例

?福建省莆田第二中學(xué) 黃少瑩 謝曉瓊

?福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所 蔡海濤

1 問題的提出

1.1 問題背景分析

電磁爐又名電磁灶，它無需明火或傳導(dǎo)式加熱而讓熱直接在鍋底產(chǎn)生，因此熱效率得到了極大的提高，是一種高效節(jié)能廚具.通常情況下，許多人都會認(rèn)為電磁爐自然是功率越小，耗能越小.也有部分人認(rèn)為電磁爐功率越大耗能越小，也有人認(rèn)為電磁爐的功率和耗能之間根本就不存在任何關(guān)系.為此，本文中以“電磁爐燒開水如何節(jié)能”展開研究.

1.2 問題的提出

(1)家用電磁爐怎樣才能燒水又快又省電？

(2)它與電磁爐的功率有關(guān)嗎？

(3)與使用的燒水壺的出水口有關(guān)嗎？與使用的燒水壺的底面積有關(guān)嗎？與使用的燒水壺的容積有關(guān)嗎？與燒水水量有關(guān)嗎？

2 問題的分析

2.1 對問題(1)的分析

本文研究的問題是“家用電磁爐怎樣燒水才能又快又省電？”由題目主干我們可以看出，我們的重心是“快”和“省電”.因此我們將“快”即水燒開所需時間，作為一個變量T，耗電量作為變量H，研究能否找到合適的條件，使得T與H同時達到最小.

2.2 對問題(2)的分析

家用電磁爐怎樣才能燒水又快又省電是否與電磁爐的功率有關(guān)？答案是必然的.無論是時間還是耗電量都與電磁爐存在著舉足輕重的關(guān)系.電磁爐的功率通常設(shè)有炒菜、燒水、燉湯、火鍋、蒸煮等5個檔次，究竟哪個檔次才是最適合快速將水燒開并且耗電量相對少？為了研究這一問題，我們不妨做出假設(shè)進行控制變量實驗，以得出結(jié)論.

2.3 對問題(3)的分析

家用電磁爐燒水又快又省電與使用的燒水壺的出水口有關(guān)嗎？與使用的燒水壺的底面積有關(guān)嗎？與使用的燒水壺容積有關(guān)嗎？與燒水水量有關(guān)嗎？此問題中存在多個變量，我們對其展開分析.五個變量中可以明顯看出容積變量與注水變量是重復(fù)變量，或者說，后者是前者范圍的縮小.于是，我們?nèi)ヒ涣粢?，從兩者所涉及范圍而言，可判定容積變量為無關(guān)變量，從而留下注水變量.其次，我們可觀察出水口變量，水汽從出水口出，從而穩(wěn)定氣壓.由此說明出水口的最大用處是穩(wěn)定內(nèi)外大氣壓和出水，與燒水的快慢并無太大關(guān)系.因此，我們可判定出水口也屬于無關(guān)變量之一.

綜上，我們可對問題(3)作出初步回答，家用電磁爐燒水又快又省電可能與使用的燒水壺的底面積有關(guān)，及燒水水量有關(guān).

3 模型假設(shè)與約定

3.1 模型假設(shè)

假設(shè)燒水壺的容積相同，出水口大小相同，壺的材質(zhì)相同，電磁爐的品牌材質(zhì)相同，并且這里只考慮一次性燒開一壺水(水量不定)的情況.

3.2 符號說明與名詞定義

電磁爐的功率P，相應(yīng)耗電量H，燒水壺的注水量Z，燒水壺的底面積S，水燒開需要的時間T.

4 模型的建立與求解

4.1 模型的構(gòu)建

根據(jù)之前對問題的解讀與分析，可以知道我們所研究的三大變量是：電磁爐的功率P、燒水壺的注水量Z、燒水壺的底面積S.電磁爐的功率為第一變量；而注水量決定了水量的多少，作為第二變量；燒水壺的底面積其實代表的是水與電熱絲(或熱源)的接觸面積，可作為第三變量.而燒開這些水的時間則就作為因變量了，而時間決定了耗電量的多少，所以耗電量作為第二因變量.由此，我們可以采取控制變量法和對比法來構(gòu)建模型.

4.2 數(shù)據(jù)收集與整理

將收集到的電磁爐、燒水壺的相關(guān)數(shù)據(jù)整理如下表1.通過實驗改變不同的變量得到的數(shù)據(jù)整理如下表2、表3、表4所示：

表1

表2

表3

表4

4.3 模型的求解

根據(jù)以上三組實驗數(shù)據(jù)分別作出相應(yīng)的圖象，如圖1、圖2、圖3所示.

圖1

圖2

圖3

4.4 模型的結(jié)果分析

由模型的結(jié)果我們可以知道，電磁爐燒開水又快又省電的兩個好處并不能很好地同時滿足，因此，為了得出良好的實驗結(jié)論，我們嘗試從又快又省電中尋求平均值，尋求二者中的平衡點.由此，得出了以下結(jié)論：在電磁爐的功率為1 500W，注水量為1.3L時燒水又快又省電，而燒水壺的底面積對燒水時間與用電量無太大影響.

4.5 模型的檢驗

為了證實我們這一猜想，我們運用家用電磁爐及家用燒水壺再次進行實驗驗證，最后得出結(jié)論與實驗結(jié)論大致相同，雖存在一定誤差，卻在誤差范圍內(nèi)可以接受，由此我們可以證明實驗成功.

5 模型的評價與應(yīng)用

5.1模型的優(yōu)勢

該模型從電磁爐的功率P、燒水壺的注水量Z、燒水壺的底面積S三個變量方面考慮，分析較為全面，模型具有靈活性，應(yīng)用較為便利，也可以推廣應(yīng)用至其他領(lǐng)域.雖然還存在不足，但也是一個有效的數(shù)學(xué)模型.

5.2 模型的劣勢

由于實驗器材非精密器材，實驗操作不嚴(yán)謹(jǐn)，所以存在的誤差較大，數(shù)據(jù)不嚴(yán)謹(jǐn)，仍有不少地方存在較大問題，僅可用于日常生活中的燒水問題，不可當(dāng)作實驗室的精準(zhǔn)數(shù)據(jù).

5.3 模型的應(yīng)用

該模型為初步研究電磁爐的耗電問題提出一定的解決方案，可應(yīng)用于生活中的燒水問題，減少用電量，也節(jié)約了時間，便利了人們的生活.模型還可以推廣到生活中的其他類似電子器械，甚至是其他領(lǐng)域.該模型勝在結(jié)構(gòu)簡單、易懂，便于之后對這方面的研究.

6 模型的改進

由于眾多家用電器同時使用電源，造成我們所測的耗電量存在一定誤差，我們可采用電壓36V嘗試實驗.若試驗無法進行，則嘗試將家用電器盡量減少，從而減少誤差.電磁爐使用年代久，壽命及功率可能會有一定影響，若想要減少誤差，可采取使用新的電磁爐.燒水壺的注水量無法準(zhǔn)確測量，這個問題我們可通過某些精密儀器來解決.由此，便可大大提高模型的精確性.同時模型的局限性，可以通過改進實驗來解決.我們可以將燒水問題推廣到炒菜問題，從電磁爐推廣到電熱自動燒水壺.原理是唯一的，可背后的潛能卻是無窮的，模型只有一個，但延伸卻是無盡的.