四邊形易混點(diǎn)例析

文／王云峰

四邊形是“圖形與幾何”的重要內(nèi)容之一，它包含平行四邊形、矩形、菱形、正方形等特殊四邊形。下面舉例說(shuō)明四邊形中一些常見(jiàn)混淆點(diǎn)并加以剖析，供同學(xué)們參考。

易錯(cuò)點(diǎn)一 特殊四邊形判定方法混淆

例1 下列命題是真命題的是（ ）。

A.對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是平行四邊形

B.對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等的四邊形是矩形

C.對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形

D.對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形是正方形

【錯(cuò)解】D。

【剖析】選項(xiàng)A中，由“對(duì)角線(xiàn)相等”不能得到四邊形是平行四邊形，選項(xiàng)A不正確；選項(xiàng)B中，由“對(duì)角線(xiàn)互相平分”可知四邊形是平行四邊形，進(jìn)而由“對(duì)角線(xiàn)相等”可知該四邊形是矩形，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C中，由“對(duì)角線(xiàn)互相垂直”不能得到四邊形是平行四邊形，因而不能得到該四邊形是菱形，選項(xiàng)C不正確；選項(xiàng)D中，由“對(duì)角線(xiàn)互相平分”可知該四邊形是平行四邊形，進(jìn)而由“對(duì)角線(xiàn)互相垂直”可知該四邊形是菱形，選項(xiàng)D不正確。故選B。

【點(diǎn)評(píng)】特殊四邊形的判定主要從邊、角、對(duì)角線(xiàn)三個(gè)角度來(lái)判斷，這些判定方法極易混淆，一般可采用“過(guò)關(guān)法”來(lái)求解，即四邊形過(guò)了“平行四邊形”這一關(guān)，才有可能成為矩形、菱形或正方形，平行四邊形同時(shí)過(guò)“矩形”“菱形”兩關(guān)才能成為正方形。需要注意的是，四邊形具備的條件較多，但不一定就能成為特殊四邊形。

易錯(cuò)點(diǎn)二 多結(jié)論判斷題判斷有誤

例2如圖1，在?ABCD中，E是BD的中點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①AM=CN；②若MD=AM，∠A=90°，則BM=CM；③若MD=2AM，則S△MNC=S△BNE；④若AB=MN，則△MFN與△DFC全等。其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）。

圖1

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

【錯(cuò)解】不能正確判斷結(jié)論而導(dǎo)致錯(cuò)選。

【剖析】結(jié)論①，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD。

∵E是BD的中點(diǎn)，∴BE=DE。

又∵∠MED=∠BEN，

∴△MDE≌△NBE（ASA），

∴DM=BN，∴AD-DM=BC-BN，即AM=CN。故①正確。

結(jié)論②，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A=90°，∴?ABCD是矩形，AB=DC，

∴∠ADC=∠A=90°。

又∵AM=DM，

∴△BAM≌△CDM（SAS），

∴BM=CM。故②正確。

圖2

∴△NEH∽△NMG，∴

∵△MDE≌△NBE，∴EM=EN，

∴

∵M(jìn)D=2AM，MD=BN，AM=CN，

∴BN=2CN，

∴=BN·EH=S△BNE。故③正確。

（3）巖石與蝕變標(biāo)志：區(qū)內(nèi)含礦偉晶巖具有良好的分帶，鈮鉭礦主要賦存于中間帶鈉長(zhǎng)石化較強(qiáng)的中粗粒鈉長(zhǎng)石、白云母?jìng)ゾr中，鈉長(zhǎng)石化、白云母化越強(qiáng)，鈮鉭礦化越好。因此鈉長(zhǎng)石化、白云母化較強(qiáng)的偉晶巖是非常有效的間接找礦標(biāo)志。

結(jié)論④，當(dāng)MN∥CD時(shí)，∵AD∥BC，

∴四邊形MNCD是平行四邊形，

∴MN=CD，MF=CF，NF=DF，

∴△MFN≌△DFC（SSS）。

當(dāng)MN與CD不平行時(shí)，如圖3，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥BC于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，則MP∥DQ。

圖3

又∵AD∥BC，∴四邊形DMPQ是平行四邊形，∴MP=DQ。

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD。

∵AB=MN，∴MN=DC，

∴Rt△MNP≌Rt△DCQ（HL），

∴∠MNP=∠DCQ，∴∠MNC=∠DCN。

又∵M(jìn)N=DC，NC=NC，

∴△MNC≌△DCN（SAS），

∴∠NMC=∠CDN。

又∵∠MFN=∠DFC，MN=DC，

∴△MNF≌△DCF（AAS）。

綜合知，④正確。

故選D。

【點(diǎn)評(píng)】多結(jié)論判斷題所涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，同學(xué)們解答時(shí)要對(duì)每個(gè)結(jié)論逐一判斷，如果其中某個(gè)結(jié)論判斷有誤，就會(huì)導(dǎo)致答案出錯(cuò)。