微分形式動(dòng)量方程的形成和使用1)

黃樹(shù)新

(上海交通大學(xué)工程力學(xué)系,上海 200240)

(上海交通大學(xué)水動(dòng)力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240)

(上海交通大學(xué)海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240)

從2019 年春季學(xué)期的教學(xué)開(kāi)始,作者使用的課本是丁祖榮老師新修訂的《流體力學(xué)》第三版[1]。相比第二版[2],這本新修訂的書(shū)中修改量超過(guò)半頁(yè)紙的內(nèi)容不低于20 處,如渦動(dòng)力學(xué)方程、人類對(duì)機(jī)翼升力的認(rèn)識(shí)等?？紤]到教材有些變化,作者就對(duì)少量新修訂的內(nèi)容做了教學(xué)調(diào)整[3-4]。在調(diào)整教學(xué)內(nèi)容的過(guò)程中,作者注意到新版書(shū)中提到的微分形式動(dòng)量方程的歷史細(xì)節(jié),便查閱了一些資料。這里,介紹一下作者對(duì)這個(gè)方程的形成和使用的看法。

1 動(dòng)量方程的歷史

在講Navier–Stokes(NS)方程前,一般是先講微分形式的動(dòng)量方程[1,5-7]。然后,再結(jié)合Stokes 使用的應(yīng)力表達(dá)式[8],得到NS 方程。所以,微分形式的動(dòng)量方程是一個(gè)基本的方程,它一般寫(xiě)為

其中,ρ是流體的密度,v是速度矢量,t是時(shí)間,?是梯度算子,f是體積力矢量,p是壓強(qiáng),τ是應(yīng)力張量。這個(gè)方程在書(shū)上還常被稱為微分形式的運(yùn)動(dòng)方程[5],或黏性流體運(yùn)動(dòng)一般微分方程[1],或以應(yīng)力形式表示的黏性流體運(yùn)動(dòng)(微分) 方程[7,9],或以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程[10],或運(yùn)動(dòng)方程[11]。

在丁老師最近新修訂的《流體力學(xué)》第三版中[1],增加了這么一段話,“柯西(A.Cauchy)于1822 年引入了應(yīng)力張量概念,得到了連續(xù)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)方程的一般式,但也未解決黏性流體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題”。這個(gè)柯西的一般式應(yīng)該就是式(1)。也就是說(shuō),式(1) 還可以稱為柯西運(yùn)動(dòng)方程。

在作者的印象中,第1 次看到把式(1) 稱為柯西運(yùn)動(dòng)方程是在讀博士期間,當(dāng)時(shí)用的課本是江體乾老師的《工業(yè)流變學(xué)》[12],書(shū)中把式(1)稱為柯西應(yīng)力方程。后來(lái),雖然也閱讀了茅春浦老師、孫祥海老師等的課本[9-10],以及上課時(shí)用丁老師的《流體力學(xué)》第一版[13]和第二版[2],但書(shū)中都沒(méi)有將式(1)和柯西聯(lián)系起來(lái),也就沒(méi)再想這個(gè)方程怎么稱呼,上課時(shí)就說(shuō)這個(gè)方程是運(yùn)動(dòng)方程。近年來(lái),因看到丁老師在第三版中增加的內(nèi)容,就查了一下這個(gè)方程和柯西的關(guān)系。

在文獻(xiàn)[12,14-17] 中,均指出式(1) 是柯西給出的方程,而且文獻(xiàn)[14,16-17] 均把式(1) 稱為柯西運(yùn)動(dòng)方程。這樣看來(lái),式(1) 是柯西給出的。

在武際可老師的《力學(xué)史》[18]的附錄中,給出了1920 年以前力學(xué)發(fā)展史上的100 篇重要文獻(xiàn),其中2.5 節(jié)第10 篇文獻(xiàn)就是柯西的工作[19],里面有運(yùn)動(dòng)方程。查閱柯西1828 年的這篇文章,其中的運(yùn)動(dòng)方程為

其中,A,B,C是法向應(yīng)力；D,E,F是剪切應(yīng)力；x,y,z是空間坐標(biāo)；X,Y,Z分別是x,y,z三個(gè)方向上的重力；χ,δ,τ是加速度。這個(gè)τ和式(1) 中的τ是同一個(gè)希臘字符,但柯西的原文中就是用這個(gè)字符,所以這兒沒(méi)有改變這個(gè)字符。這個(gè)式子和式(1)是一致的,區(qū)別是形式上還沒(méi)有把壓強(qiáng)項(xiàng)獨(dú)立出來(lái)。

Stokes[8]在1845 年的工作中使用的以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程是

其中,P1是法向應(yīng)力,T2和T3是剪切應(yīng)力,u是x方向的速度,t是時(shí)間。這個(gè)方程是x方向的運(yùn)動(dòng)方程,和式(2a) 對(duì)應(yīng)。因此,Stokes 給出動(dòng)量方程的時(shí)間比柯西晚。

2 動(dòng)量方程的使用

Stokes 從式(3) 出發(fā)還給出了流體力學(xué)中的基本方程,即常說(shuō)的NS 方程。流體力學(xué)主要是研究水和空氣的宏觀運(yùn)動(dòng)的學(xué)科,因此NS 方程在航空、航海、環(huán)境以及工業(yè)等領(lǐng)域有著廣泛的用途。所以,式(1) 在流體力學(xué)上的使用和Stokes 這個(gè)人有關(guān),式(1) 或許還可以稱為斯托克斯運(yùn)動(dòng)方程。

隨著科技的發(fā)展,以高分子材料的合成、加工和應(yīng)用為代表的工業(yè)中,出現(xiàn)了大量高分子流體。這類黏彈性流體的流動(dòng)一般不能用NS 方程進(jìn)行描述,對(duì)其研究的出發(fā)點(diǎn)就是采用式(1)表達(dá)的運(yùn)動(dòng)方程,同時(shí),還要結(jié)合描述這類流體力學(xué)性質(zhì)的本構(gòu)方程[12,20]。因此,式(1)表達(dá)的運(yùn)動(dòng)方程,適用更多的流體流動(dòng)問(wèn)題。

第一次用運(yùn)動(dòng)方程結(jié)合流體的本構(gòu)方程研究黏彈性流體流動(dòng)的工作,是Rivlin[21]在1948 年發(fā)表的一個(gè)工作。這比Stokes 在1845 年用運(yùn)動(dòng)方程解決黏性流體的流動(dòng)問(wèn)題晚100 年。Rivlin 在這份工作中使用了一個(gè)現(xiàn)在被稱為Reiner–Rivlin 方程[12]的流體模型,這個(gè)模型為

其中,d為形變速率張量,μ為流體的黏度,Ψ2是第2 法向應(yīng)力差系數(shù)。Rivlin[21]在第15 和16 兩個(gè)小節(jié)分別求解了角速度不變的圓柱狀流體的旋轉(zhuǎn)流動(dòng)和角速度變化的無(wú)限長(zhǎng)同軸圓筒間的流動(dòng)。

近3 年,在課上講完NS 方程及其應(yīng)用后,作者又提了一下運(yùn)動(dòng)方程(1)。說(shuō)這個(gè)式子,還適用于描述既有黏性又有彈性的流體的流動(dòng),以表示這個(gè)式子的重要性。

3 結(jié)語(yǔ)

本文介紹了流體力學(xué)中運(yùn)動(dòng)方程的形成和使用情況。文獻(xiàn)表明,微分形式的運(yùn)動(dòng)方程是由斯托克斯第一次正確地用于實(shí)際流體的流動(dòng)問(wèn)題[8]。式(1)用途廣泛。

致謝

感謝中國(guó)高等教育數(shù)字圖書(shū)館上海市文獻(xiàn)信息服務(wù)中心和上海交通大學(xué)圖書(shū)館提供了Cauchy 和Stokes 的文獻(xiàn)。