鄭文海 蔡海濤

摘要：數(shù)學(xué)思維與素養(yǎng)的培養(yǎng)對(duì)學(xué)好初中數(shù)學(xué)大有裨益，因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要通過(guò)引導(dǎo)，著力培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、問(wèn)題思維、邏輯思維、批判思維.基于思維導(dǎo)向，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)在一定的情境中抽象問(wèn)題，分析問(wèn)題與解決問(wèn)題，再進(jìn)行有效反思，拓展新問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

關(guān)鍵詞：思維導(dǎo)向；關(guān)注過(guò)程；發(fā)展素養(yǎng)

初中數(shù)學(xué)具有承前啟后的特征，它比小學(xué)階段更注重邏輯思維的培養(yǎng)，而在理性思維深度方面略遜于高中數(shù)學(xué)教學(xué).初中數(shù)學(xué)教學(xué)是引導(dǎo)學(xué)生由形象思維為主逐漸轉(zhuǎn)為抽象思維為主的過(guò)渡時(shí)期，教師應(yīng)著力培養(yǎng)學(xué)生的思維，關(guān)注知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，引領(lǐng)學(xué)生深度思考，從而為學(xué)生高中階段數(shù)學(xué)素養(yǎng)的儲(chǔ)備奠定基礎(chǔ).下面筆者談?wù)勊季S導(dǎo)向下提升學(xué)生素養(yǎng)的實(shí)踐與思考，以期與同行交流.

1 激發(fā)抽象思維提升素養(yǎng)

進(jìn)入初中后，部分學(xué)生會(huì)覺(jué)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更難了，有的學(xué)生會(huì)遭遇數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的瓶頸，甚至逐漸喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心.經(jīng)與部分學(xué)生交流，發(fā)現(xiàn)主要是因?yàn)槌踔须A段的很多數(shù)學(xué)知識(shí)比較抽象，而小學(xué)數(shù)學(xué)的大部分知識(shí)都與現(xiàn)實(shí)生活有一定關(guān)聯(lián)，學(xué)習(xí)內(nèi)容的改變導(dǎo)致部分初中生在短期內(nèi)無(wú)法適應(yīng).因此初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師要設(shè)計(jì)一些從問(wèn)題情境中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，挖掘問(wèn)題中的數(shù)學(xué)元素，提煉其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性，積累解決抽象問(wèn)題的方法經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

例1觀察規(guī)律11×2=1－12，12×3=12－13，13×4=13－14，……，運(yùn)用你觀察到的規(guī)律解決以下問(wèn)題：如圖1，分別過(guò)點(diǎn)Pnn，0n=1，2，……作x軸的垂線，交y=ax2a>0的圖象于點(diǎn)An，交直線y=－ax于點(diǎn)Bn．則1A1B1+1A2B2+……+1AnBn的值為（）.

A．nan－1B．2an－1

C．2ann+1D．nan+1

解析：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)Pnn，0n=1，2，……的垂線交y=ax2a>0的圖象于點(diǎn)An，交直線y=－ax于點(diǎn)Bn，所以令x=n，可得An縱坐標(biāo)為an2，Bn縱坐標(biāo)為-an，則AnPn=an2，BnPn=an.

所以AnBn=an2+an，從而可得

1AnBn=1a（n2+n）=1a1n-1n+1.

所以1A1B1+1A2B2+……+1AnBn

=1a1-12+12-13+13-14+……+

1n-1n+1

=1a1-1n+1=na（n+1）．

故選：D．

評(píng)析：本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)與垂直于x軸的直線交點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是能夠抽象出要解決的問(wèn)題的一般特征AnBn=an2+an，再抽象出已知條件的一般規(guī)律，即1n（n+1）1n-1n+1，類比這個(gè)式子，對(duì)所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，得1AnBn=1a51n-1n+1.解題過(guò)程中體現(xiàn)了抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題，由特殊到一般的歸納總結(jié)，再形成類比遷移，破解難點(diǎn)．

2 驅(qū)動(dòng)問(wèn)題思維提升素養(yǎng)

問(wèn)題是思維的起點(diǎn)，是數(shù)學(xué)的“心臟”.創(chuàng)設(shè)一個(gè)個(gè)具體的問(wèn)題，學(xué)生才會(huì)更加積極主動(dòng)地思考、探索.教師要善于把知識(shí)傳授的課堂轉(zhuǎn)向問(wèn)題解決的課堂，教學(xué)中力求用問(wèn)題推動(dòng)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，即形成“提出問(wèn)題→解決問(wèn)題→再提出問(wèn)題→解決問(wèn)題”的模式.

案例“線段的垂直平分線”引入

“線段的垂直平分線”是學(xué)生在學(xué)習(xí)了“三角形的有關(guān)知識(shí)”的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，是后續(xù)證明“線段相等”和“直線垂直”的依據(jù)，具有承上啟下的重要作用.對(duì)于這節(jié)課的引入做如下設(shè)計(jì)：

師問(wèn)1：為解決A，B，C三地用電難的問(wèn)題，區(qū)政府決定新建一個(gè)水電站，向A，B，C三地供電，要求該水電站到A，B，C三地的距離一樣，試確定所建水電站的位置.

生：先將A，B，C三地抽象成A，B，C三個(gè)點(diǎn)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何求作一點(diǎn)P使PA=PB=PC.

師問(wèn)2：P點(diǎn)怎么找？根據(jù)我們學(xué)過(guò)的知識(shí)，就是要構(gòu)造以P為頂點(diǎn)的三個(gè)等腰三角形.如何構(gòu)造？問(wèn)題能否簡(jiǎn)化？

生：可以先試著找與A，B兩個(gè)點(diǎn)距離相等的點(diǎn).

師問(wèn)3：各位同學(xué)拿出課前準(zhǔn)備好的A4紙，畫一條線段AB，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，動(dòng)手找到與A，B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡.

生：將紙折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，得到折痕l即為所求.

根據(jù)以上教學(xué)活動(dòng)，自然引出“線段垂直平分線”的定義.以上教學(xué)設(shè)計(jì)，教師借助問(wèn)題驅(qū)動(dòng)思維，讓學(xué)生積極自主探究線段垂直平分線的作法，體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法.教學(xué)中，基于以學(xué)生為主體的原則，以問(wèn)題式的數(shù)學(xué)活動(dòng)推動(dòng)學(xué)習(xí)進(jìn)程，鼓勵(lì)學(xué)生在“做中學(xué)”，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神與創(chuàng)新能力.

3 構(gòu)建邏輯思維提升素養(yǎng)

邏輯思維能力，指的是個(gè)體正確、合理思考的能力[1].初中數(shù)學(xué)很多題目都考查了邏輯推理，考查學(xué)生能夠基于已知條件，結(jié)合數(shù)學(xué)定律公式，邏輯層層遞進(jìn)，一步步推向最終的結(jié)論.所以，教師要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維習(xí)慣，這是學(xué)好初中數(shù)學(xué)的必備能力.

例2如圖2，∠MON=45°，已知正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，……，它們的頂點(diǎn)A，A1，A2，A3……在射線OM上，頂點(diǎn)B，B1，B2，B3，B4……在射線ON上，連接AB2交A1B1于點(diǎn)D，連接A1B3交A2B2于點(diǎn)D1，連接A2B4交A3B3于點(diǎn)D2，……，連接B1D1交AB2于點(diǎn)E，連接B2D2交A1B3于點(diǎn)E1，……，按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，設(shè)四邊形A1DED1的面積為S1，四邊形A2D1E1D2的面積為S2，四邊形A3D2E2D3的面積為S3，……，若AB=2，則Sn等于．（用含有正整數(shù)n的式子表示．）

解析：因?yàn)椤螹ON=45°，由正方形ABB1C與正方形A1B1B2C1，得△OAB和△OA1B1都是等腰直角三角形.所以O(shè)B=AB=BB1=2，A1B1=OB1=4.

同理A2B2=8.

于是正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2的邊長(zhǎng)分別為2，4， 8，

由AC∥B1B2，DB1∥D1B2，得CDDB1=ACB1B2=24，即DB1=2CD，從而CD=13CB1=23，DB1=43.

同理C1D1=13C1B2=43，D1B2=83；C2D2=13C2B3=83，D2B3=163.

因?yàn)镈B1∥D1B2，所以△DEB1∽△EB2D1.

設(shè)△EDB1和△EB2D1的邊DB1和B2D1上的高分別為h1和h′1，則h1h′1=DB1D1B2=4383=12.

因?yàn)閔1+h′1=B1B2=4，所以h1=43，h′1=83.

設(shè)△DEB1，△E1D1B2，△E2D2B3的邊DB1，D1B2，D2B3上的高分別為h1，h2，h3，則有

h1=43，h2=83，h3=163.

所以S1=S△A1B1D1－S△DB1E=12×42－12×DB1·h1=12×42－12×43×43=649.

同理S2=S△A2B2D2－S△D1B2E1=12×82－12×D1B2·h2=12×82－12×83×83=4×649；

S3=S△A3B3D3－S△D2B3E2=12×162－12×D2B3×h3=128－12×163×163=42×649；

…………

Sn=649×4n－1=4n+29=22n+49．

故答案為：22n+49．

評(píng)析：本題以規(guī)律型問(wèn)題為載體，有一定的難度.解決本題的難點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合并善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，而具備一定的邏輯思維能力是解題的關(guān)鍵．需要根據(jù)已知條件結(jié)合圖形特征，證得△ADC∽△B2DB1，推出CD=23，DB1=43，同理得到C1D1=43，D1B2=83；由△EDB1∽△EB2D1，推出△EDB1邊DB1上的高為43，計(jì)算得S1=649，同理得S2=649×4，S3=649×42.找到規(guī)律，即可求解.

4 培養(yǎng)批判思維提升素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無(wú)論是運(yùn)算，還是證明，都必需做到有理有據(jù)，任何一個(gè)步驟的不嚴(yán)謹(jǐn)，都可能會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

例3若關(guān)于x的方程x+ax－1=a無(wú)解，求a的值．

本題在實(shí)測(cè)中，很多學(xué)生出現(xiàn)如下錯(cuò)解.

錯(cuò)解：由x+ax－1=a，得x+a=ax－1，即

x+a－ax+a=0．

所以1－ax=－2a，則x=2aa－1.

當(dāng)x=1時(shí)，原方程產(chǎn)生增根，無(wú)解，即2aa－1=1，解得a=－1.

所以a的值為－1．

正解：由x+ax－1=a，得1－ax=－2a．

當(dāng)1－a=0時(shí)，原方程無(wú)解，此時(shí)a=1．

當(dāng)1－a≠0時(shí)，x=2aa－1，解得a=－1．

綜上，a的值為1或－1．

評(píng)析：本題的錯(cuò)因主要是學(xué)生的批判性思維淡薄，在等式兩邊同時(shí)除以其數(shù)（整式）的基本運(yùn)算中，未能對(duì)除數(shù)是否為0進(jìn)行分類討論．

例4在半徑為10 cm的圓內(nèi)有兩條相互平行的弦，它們的長(zhǎng)度分別為12 cm和16 cm，求這兩條弦之間的距離.

評(píng)析：本題大部分學(xué)生利用“垂徑定理”和“勾股定理”，求出答案為2 cm，忽視了還有另外一個(gè)解為14 cm.造成這個(gè)錯(cuò)誤的原因，是學(xué)生缺乏批判思維，在分析題意時(shí)未能分析好圖形特征，畫圖時(shí)對(duì)兩條相互平行的弦與圓心的位置關(guān)系的情況考慮不周.解題教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化批判思維的意識(shí)，敢于質(zhì)疑，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砗蛿?shù)學(xué)運(yùn)算的習(xí)慣，深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵和問(wèn)題的本質(zhì).

總之，初中數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)尤為重要.教學(xué)中，教師應(yīng)在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”上，合理應(yīng)用問(wèn)題情境，以學(xué)生為主體，構(gòu)建數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考、活躍思維，循序漸進(jìn)地完善學(xué)生的思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)好高中數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]馬曉芹.談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（16）：77-78.