馬舟陽，關(guān) 舟，趙述敏，方愛平,,4，趙 迪,,4

(1.西安交通大學(xué) 物理學(xué)院，陜西 西安 710049；2.西安交通大學(xué)電氣學(xué)院，陜西 西安 710049；3.西安交通大學(xué) 物理學(xué)院 物質(zhì)非平衡合成與調(diào)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710049；4.西安交通大學(xué) 物理學(xué)院陜西省量子信息與光電量子器件重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710049)

近幾個(gè)世紀(jì)以來，針對(duì)不同物質(zhì)的分離一直是一個(gè)很重要的研究和應(yīng)用方向.近年來物質(zhì)分離在很多方面都有重要的應(yīng)用，比如廢水處理、海水淡化[1].物質(zhì)分離中最常用的工具就是“選擇性透過膜”，它表現(xiàn)為能讓具有一些特性的物質(zhì)穿過而讓具有相反或其他特性的物質(zhì)停留在膜上.針對(duì)粒子體積進(jìn)行分離的過濾膜是最常見、最簡(jiǎn)單的一種分離技術(shù).傳統(tǒng)的過濾膜是多孔的，允許比孔徑小的顆粒通過，但比孔徑大的顆粒會(huì)保留并停留在膜上.然而，允許大顆粒通過而保留小顆粒的薄膜很難人工制造，卻常見于自然界中.例如，細(xì)胞膜是一種由磷脂雙分子層為基本骨架構(gòu)成的膜，它可以通過胞吞和胞吐等形式讓大分子透過.這種膜必須是動(dòng)態(tài)的、自愈合的才能夠長(zhǎng)期穩(wěn)定的存在.這種特性在液體中十分常見，然而這種動(dòng)態(tài)自愈合的過濾膜很難人工制造.受到液體自愈功能和細(xì)胞膜內(nèi)吞作用的啟發(fā)，Birgitt Boschitsch Stogin、Luke Gockowski等人[2]證明了完全由液體組成的液膜可以被設(shè)計(jì)成保留小于臨界尺寸粒子而透過大尺寸粒子的過濾膜.

本文基于液膜的懸鏈曲面模型解析討論了液膜臨界透過條件，在實(shí)驗(yàn)上通過調(diào)整由純液體(肥皂液)組成的液膜的濃度、成分等參量改變液膜的表面張力系數(shù)，實(shí)現(xiàn)了一種保留小于臨界透過半徑的粒子而透過大于臨界透過半徑粒子的選擇性透過膜，驗(yàn)證了液膜臨界透過條件，并實(shí)現(xiàn)了對(duì)同種粒子速度的篩選功能.這種液膜可以實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)過濾膜無法實(shí)現(xiàn)的粒子分離機(jī)制，這對(duì)未來新型液膜過濾技術(shù)的研制和開發(fā)具有啟發(fā)意義.

1 理論分析

為分析方便，我們假設(shè)：粒子為球形；當(dāng)沒有粒子穿透液膜/停留在液膜上時(shí)，液膜為無厚度的圓平面；當(dāng)粒子停留在液膜上，液膜被拉伸為兩個(gè)高度不同的同心圓構(gòu)成的曲面.在無外力影響下，液膜有收縮至最小面積的趨勢(shì).由三維空間的極小曲面定理可知，2個(gè)高度不同的同心圓構(gòu)成的極小曲面為懸鏈曲面.即，液膜只能以平面或懸鏈曲面的結(jié)構(gòu)存在才能保持穩(wěn)定.因此，對(duì)粒子穿透液膜過程的討論可簡(jiǎn)化為對(duì)小球停留使液膜形成懸鏈曲面過程的分析.

1.1 懸鏈曲面方程推導(dǎo)

我們引入Young-Laplace方程[3]推導(dǎo)液膜的懸鏈曲面模型.通過液面附加壓力、表面張力系數(shù)及曲率半徑之間的關(guān)系計(jì)算液面方程，得到Y(jié)oung-Laplace方程：

(1)

其中R1、R2為界面主曲率，γ為液膜表面張力系數(shù).由式(1)可得，小球停留在液膜上時(shí)液膜形狀的具體形式為[3]

(2)

對(duì)式(2)進(jìn)行兩次積分即可求得懸鏈方程：

(3)

至此，我們得到了液膜穩(wěn)定時(shí)的懸鏈曲面模型.其中C1和C2為液膜具體的形狀參量.

1.2 小球臨界透過條件分析

實(shí)驗(yàn)中，我們從液膜上方不同高度處釋放小球使其下落，通過重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能對(duì)實(shí)現(xiàn)小球穿過液膜的速度控制.小球在打入液膜前的動(dòng)能Ek來源于小球從高處自由下落的重力勢(shì)能：

(4)

其中ρb、Rb分別為小球密度和半徑，H為小球初始高度，Ef為小球下落過程中與空氣摩擦造成的能量損失.小球下落過程中空氣阻力正比于速度的平方，即

(5)

其中阻力系數(shù)k取0.3，在我們后續(xù)的實(shí)驗(yàn)中，小球半徑取0.2 cm.在我們的實(shí)驗(yàn)條件下，即小球短距離自由下落，小球速度只能達(dá)到約0.1 m/s.在這種情況下，小球下落所受的摩擦力約為

Ff=3.76×18-8N

實(shí)驗(yàn)中小球的質(zhì)量為0.1 g.因此，空氣阻力遠(yuǎn)小于粒子自身的重力，在后續(xù)討論中可忽略不計(jì).

在小球打入液膜過程中，小球會(huì)受到液膜的“阻礙”作用，而液膜同樣會(huì)受到小球的“拉伸”作用.基于能量守恒，小球初打入液膜時(shí)的能量全部轉(zhuǎn)化為“試圖穿透液膜”這一過程中產(chǎn)生的摩擦損耗和最終液膜表面能的增加.

首先，我們計(jì)算液膜表面能的增量.由上節(jié)可知，小球在穿透膜這一過程中液膜始終保持懸鏈曲面.二維截面中，設(shè)小球質(zhì)心到液膜交點(diǎn)的連線與豎直方向夾角為α，如圖1所示.在小球穿透液膜過程中，隨著小球不斷拉伸液膜，液膜的表面張力逐漸增加，并始終沿液膜與小球交點(diǎn)處液膜的切線方向.隨著α的減小，小球受到的向上的表面張力逐漸增大，并在α=90°時(shí)達(dá)到最大值Fm，之后逐漸減小.若小球的重力小于Fm，則小球可以穩(wěn)定的停留在液膜上，且α<90°；若小球的重力大于Fm，則小球?qū)o法穩(wěn)定停留在膜上并最終下落；當(dāng)小球的重力恰好等于Fm時(shí)，小球恰好可以停留在液膜上，即臨界狀態(tài)，此時(shí)小球與液膜相切于兩者的交點(diǎn)處(α=90°)，如圖1所示.結(jié)合式(3)可得臨界狀態(tài)下液膜曲面滿足的方程為[2]：

圖1 能量小球邊界條件示意圖

(6)

其中Rf為膜的半徑，Rb為小球半徑，ymax為小球中心到膜的垂直距離.

解上述方程組(6)可得懸鏈曲面的最大擴(kuò)張條件以及最大垂直擴(kuò)張距離分別為：

(7)

將方程(7)繞y軸旋轉(zhuǎn)后，得到液膜的表面積為

(8)

(9)

然后，當(dāng)液膜和小球的交界線沿著小球下滑時(shí)，會(huì)有摩擦力造成的能量損失.根據(jù)楊式方程，摩擦力表現(xiàn)為液體移動(dòng)時(shí)浸濕和干燥固體做功[4]：

dW=γωdl(cosθR-cosθA)

(10)

其中ω=2πRbsinα，θA為前接觸角,θB為后接觸角，α為小球與肥皂膜交線在截面上與小球豎直軸線形成的夾角，如圖2所示.沿小球下滑曲線進(jìn)行積分，其中α從0變化到π，可得小球打入液膜后沿液膜下滑摩擦造成的能量損失為

圖2 楊式方程摩擦力接觸角示意圖

(11)

我們分別計(jì)算ln(ES/Ek)和ln(EP/Ek)隨小球下落高度的變化曲線.基于實(shí)際實(shí)驗(yàn)參數(shù)，計(jì)算中小球半徑取0.2 cm，膜半徑取20 cm.表面張力系數(shù)γ從0.035 N/m變至0.065 N/m.數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖3所示.摩擦耗能低于初打入能量和表面能增量3-4個(gè)數(shù)量級(jí).因此，摩擦耗能可以忽略不計(jì).

圖3 ln(ES/Ek)和ln(EP/Ek)隨小球下落高度的變化曲線

綜上，在我們的實(shí)驗(yàn)條件下空氣摩擦、液膜摩擦耗能均可忽略不計(jì).表面能式(9)與動(dòng)能式(4)之比，可給出小球與液膜相互作用過程的能量關(guān)系判定函數(shù)[4]：

(12)

若比值大于1，表明液膜極限表面能增量大于小球動(dòng)能，小球能夠停留在肥皂膜上；若比值小于1，表明液膜極限表面能增量小于小球動(dòng)能，粒子將會(huì)穿透液膜；比值等于1即為液膜的臨界透過條件.

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)中我們配制不同表面張力系數(shù)的溶液(肥皂水)，測(cè)定配制溶液的YJ-JC-4A表面張力綜合實(shí)驗(yàn)儀如圖4所示.然后選取不同大小的塑料圈制備液膜.令不同規(guī)格、材質(zhì)的小球穿過液膜進(jìn)行實(shí)驗(yàn).小球規(guī)格參數(shù)如表1所示.由于實(shí)驗(yàn)使用的小球半徑、質(zhì)量較小，不易制作精密的發(fā)射裝置，因此實(shí)驗(yàn)中將套有不同表面張力系數(shù)的肥皂膜的塑料環(huán)固定在支架上，于肥皂膜上方不同高度處釋放小球使其下落，通過重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能對(duì)實(shí)現(xiàn)小球穿過液膜的速度控制.

表1 小球材料與規(guī)格參數(shù)

圖4 測(cè)量裝置

2.1 懸鏈曲面驗(yàn)證

由1.1理論分析可知，肥皂膜在小球穿透的過程中始終保持懸鏈曲面.由于難以在下落過程中拍攝并提取清晰準(zhǔn)確的幀，我們令鐵球透過由直徑為5.170 cm的塑料環(huán)形成的肥皂膜并將其置于桌上,如圖5所示.此時(shí)鐵球重力被桌子提供的支持力部分抵消，因此我們可將此時(shí)肥皂膜狀態(tài)等效為粒子穩(wěn)定停留在液膜上時(shí)的狀態(tài).使用Tracker對(duì)畫面建立坐標(biāo)系并進(jìn)行定格描點(diǎn).經(jīng)測(cè)量，選取的時(shí)間幀中膜與鐵球接觸的圓環(huán)直徑為2.273 cm.通過Tracker建立的坐標(biāo)系記錄膜上的5個(gè)點(diǎn)，獲取坐標(biāo)并帶入Matlab中進(jìn)行懸鏈曲面的擬合.

圖5 實(shí)際Tracker幀分析采樣示意圖

為保證擬合的精度與合理性，我們分別在靠近塑料環(huán)、小球與肥皂膜交線的位置各進(jìn)行了1個(gè)點(diǎn)的采樣，并在中間高度進(jìn)行了3個(gè)點(diǎn)的采樣.圖6為經(jīng)Tracker幀分析導(dǎo)出的5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)在Matlab中的圖像，其中上端虛線對(duì)應(yīng)塑料環(huán)所處高度，其與實(shí)線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為塑料環(huán)半徑；下端虛線對(duì)應(yīng)肥皂膜與小球交線(一個(gè)圓環(huán))所處高度，其與實(shí)線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為交線環(huán)半徑.菱形點(diǎn)為幀分析采樣的5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，實(shí)線為Matlab擬合的懸鏈曲線.由圖可知，小球穿透過程中液膜形狀符合懸鏈曲面模型，驗(yàn)證了1.1節(jié)的理論分析結(jié)果.

圖6 懸鏈曲面模型驗(yàn)證圖

2.2 臨界透過條件驗(yàn)證

我們使用蠟和聚甲基丙烯酸甲脂(PMMA)兩種材質(zhì)的不同規(guī)格小球，通過調(diào)節(jié)小球初始釋放高度驗(yàn)證臨界透過條件，即式(12).圖7—圖9分別為液膜直徑為5.170 cm、17.510 cm和25.215 cm條件下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖.圖中橫坐標(biāo)為實(shí)驗(yàn)小球半徑，縱坐標(biāo)為實(shí)驗(yàn)小球的密度×初始釋放高度.實(shí)驗(yàn)中，若小球最終穿透肥皂膜，則在圖中相應(yīng)坐標(biāo)用實(shí)心圓點(diǎn)標(biāo)記；若小球不能穿透肥皂膜，最終穩(wěn)定停留在肥皂膜上，則在圖中相應(yīng)坐標(biāo)處用空心菱形標(biāo)記.同時(shí)，圖中實(shí)線為滿足臨界透過條件，即ES/Ek=1，的對(duì)應(yīng)曲線.在實(shí)線以下的部分，ES/Ek>1，即穿透過程中表面能大于動(dòng)能，小球不能穿透肥皂膜并最終停留在肥皂膜上；實(shí)線以上的部分，ES/Ek<1，即穿透過程中動(dòng)能大于表面能，小球最終能穿透肥皂膜.

圖7 膜直徑5.170 cm條件下的臨界透過條件驗(yàn)證圖

圖8 膜直徑17.510 cm條件下的臨界透過條件驗(yàn)證圖

圖9 膜直徑25.215 cm條件下的臨界透過條件驗(yàn)證圖

圖7—圖9表明，實(shí)驗(yàn)結(jié)果較好的驗(yàn)證了理論上解析推導(dǎo)得到的小球臨界透過條件，式(12)，的有效性.當(dāng)小球半徑較大(大于2 mm)時(shí)理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好；而小球半徑小于2 mm時(shí)，理論值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在一定誤差.這是由于當(dāng)小球半徑較小時(shí)，半徑較小的小球在釋放及下落過程中更容易受到阻力、氣流擾動(dòng)帶來的影響；半徑較大的小球在釋放和下落過程中則表現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性.同時(shí)，我們可以看到，當(dāng)從相同高度釋放不同半徑的小球時(shí)，大于臨界透過半徑的小球會(huì)穿過肥皂膜，而小于臨界透過半徑的小球會(huì)被留在肥皂膜上，實(shí)現(xiàn)了選擇性透過功能.

2.3 小球速度篩選

對(duì)應(yīng)臨界透過條件，即ES/Ek=1，存在臨界高度Hc，即小球從該高度下落時(shí)恰好停留在液膜上.式(12)表明，在小球參數(shù)確定的情況下，臨界高度Hc與液膜表面張力系數(shù)γ成正比.將套有不同表面張力系數(shù)的肥皂膜的塑料環(huán)固定在支架上，于肥皂膜上方不同高度處釋放小球使其下落，并記錄小球的臨界高度Hc.上一節(jié)中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，小球半徑小于2 mm時(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果有一定偏差.因此，我們采用半徑2.301 mm的石蠟小球進(jìn)行實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)測(cè)得的小球臨界高度與表明張力系數(shù)的關(guān)系如圖10所示.其中，菱形標(biāo)注為不同表面張力系數(shù)下的小球臨界高度，直線為理論計(jì)算結(jié)果.

圖10 表面張力系數(shù)與臨界高度關(guān)系圖

理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，臨界高度Hc與表面張力系數(shù)γ成線性關(guān)系.由實(shí)驗(yàn)設(shè)置可知，臨界高度對(duì)應(yīng)著小球的臨界穿透速度.因此，當(dāng)小球參數(shù)確定時(shí)，可以通過調(diào)節(jié)肥皂膜的表面張力系數(shù)，讓速度大于臨界穿透速度的小球透過肥皂膜，而保留速度小于臨界穿透速度的小球，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)小球速度的篩選.

3 總結(jié)

本文討論了一種用肥皂膜制作的液膜過濾器，其特性是重粒子可以透過而輕粒子可以停留.本文從極小曲面定理入手，通過求解楊-拉普拉斯方程得到肥皂膜穩(wěn)定時(shí)的懸鏈曲面模型；通過對(duì)粒子打入過程的動(dòng)能、液膜表面能及摩擦耗能的分析與比較，得到了粒子打入過程的臨界透過判定函數(shù)；實(shí)驗(yàn)上，首先通過粒子打入過程分析驗(yàn)證了懸鏈曲面模型的合理性，通過調(diào)節(jié)釋放高度和小球半徑對(duì)小球的臨界透過條件進(jìn)行驗(yàn)證.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在小球半徑大于1.5 mm時(shí)與理論吻合較好.另外，基于小球臨界穿透速度(高度)與液膜表面張力系數(shù)的線性關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了對(duì)小球速度的篩選.為進(jìn)一步深入細(xì)致研究液膜過濾器性質(zhì)及應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)和實(shí)驗(yàn)參考.

4 致謝

致謝：感謝西安交通大學(xué)物理學(xué)院實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心王雪冬老師對(duì)本實(shí)驗(yàn)的支持.