從矛盾到統(tǒng)一 應(yīng)用力學(xué)3種觀點綜合分析“提繩”模型*

余 潘 葉晟波

（浙江省慈溪中學(xué) 浙江 寧波 315300）

【原題】如圖1所示，一長為L密度均勻的柔軟繩，其單位長度的密度為λ.將其卷成一堆放在地面上.若手握繩的一端，以勻速v將其上提.當(dāng)繩端提離地面的高度為x時，求手的提力F.

圖1 原題題圖

學(xué)生在處理分析問題時通常采用沖量與動量變化觀點和做功與能量轉(zhuǎn)化觀點，卻得到不一樣的結(jié)果.

1 沖量與動量變化觀點I=Δp

如圖2所示，將物體看作兩部分進行研究，第一部分：在空中長為x的繩做勻速運動；第二部分：長為Δx微元上端與第一部分下端發(fā)生作用，Δx微元下端恰好未與桌面上的繩子發(fā)生作用，經(jīng)Δt時間第二部分微元Δx與第一部分共速.分別對第一、第二部分列式.因空中部分受力平衡有

圖2 兩部分繩受力示意圖

對微元部分由動量定理

由于作用力與反作用力

兩部分的重力分別為

由于Δxλg為小量［1，2］，可忽略

2 做功與能量轉(zhuǎn)化觀點W=ΔE

如圖3所示，同樣將研究對象分成兩部分，同上.在提力F作用下繩子向上勻速提升了一微元Δx，在此過程中可認(rèn)為F為恒力.從能量變化的角度，整體重力勢能增加量等效為底部的第二部分微元Δx移至頂部所增加的重力勢能，整體的動能增加量為第二部分微元Δx增加的動能.

圖3 功能轉(zhuǎn)化等效圖

結(jié)果不一樣，問題出在哪？

分析比較兩種不同觀點得到的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用做功與能量轉(zhuǎn)化觀點計算得到的提力F比應(yīng)用沖量與動量變化得到的力要小一些.

我們的猜想：是否有機械能的損失沒有計入，而導(dǎo)致計算結(jié)果偏小？

類比的思路：一個質(zhì)量為xλ的物體速度為v，與另一個靜止的質(zhì)量為Δxλ的物體發(fā)生碰撞，達(dá)到共同速度，在此過程中存在機械能損失［3］，“提繩”模型是否正是因為該部分的機械能損失而導(dǎo)致計算結(jié)果的不一致？

驗證猜想：將“提繩”過程分成3個狀態(tài).狀態(tài)1，空中x長段繩有速度v，受力平衡；狀態(tài)2，x+Δx長段繩有速度v共；狀態(tài)3，x+Δx長段繩有速度v.

從狀態(tài)1到狀態(tài)2過程中，x長段繩與Δx長段繩發(fā)生完全非彈性碰撞，速度變?yōu)関共，存在機械能損失E損.

狀態(tài)1到狀態(tài)2動量守恒

狀態(tài)1到狀態(tài)2損失的機械能

從狀態(tài)2到狀態(tài)3過程中，x+Δx長段繩在外力作用下速度從v共變化到v，考慮整個過程：從狀態(tài)1到狀態(tài)3，根據(jù)功能轉(zhuǎn)化的關(guān)系

與沖量與動量變化觀點得到的結(jié)果一致，驗證了猜想.

3 力與運動觀點F=ma

前面兩種模型都是將研究對象分成兩部分：空中x長段繩與將要與之發(fā)生作用的微元Δx長段繩，需要考慮兩部分之間的作用.現(xiàn)把整根繩子作為一個整體，不需要考慮內(nèi)力，從受外力與質(zhì)心運動的角度分析“提繩”模型［3］.如圖4建立一維坐標(biāo)，空中x段繩質(zhì)心坐標(biāo)yC1=，桌面L-x段繩質(zhì)心坐標(biāo)yC2=0，整根繩子的質(zhì)心坐標(biāo)為yC，有

圖4 整體受力示意圖

質(zhì)心位置坐標(biāo)對時間求二階導(dǎo)數(shù)為質(zhì)心加速度aC

發(fā)現(xiàn)質(zhì)心沿豎直方向做勻加速運動［4］.

在豎直方向以整體為研究對象，根據(jù)

其中空中部分段繩子重力

對于靜止在桌面上的L-x段繩子

得F=xλg+λv2，與前兩種觀點得到的結(jié)果一致，再次驗證結(jié)果的自洽.

教學(xué)反思：力學(xué)3種觀點是力學(xué)體系中的核心組成部分，平時教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多角度綜合分析問題，經(jīng)歷從矛盾到統(tǒng)一的探究過程，激發(fā)學(xué)生的質(zhì)疑與探索精神，使學(xué)生對知識的理解更深刻，對方法的選擇與應(yīng)用更嫻熟與合理.