“獵犬追狐貍”的大學物理解法

李開瑋 李振華 劉順彭

（廣東理工學院智能制造學院 廣東 肇慶 526100）

1 問題描述

獵犬追狐貍是一個十分有趣的問題，深入研究可以延伸到如何攔截來襲導彈的問題，具有一定的啟發(fā)意義.獵犬的初始加速度可以通過觀察獵犬經(jīng)過極短時間后，對速度求導得到［1］.更感興趣的應該是獵犬追上狐貍需要的時間，以及軌跡問題.文獻［2］通過構造矢量的乘積并求導，使時間微分前面的系數(shù)為常數(shù)，再求積分的方法巧妙地求出了追上所需的時間；而文獻［3］另辟蹊徑通過構造虛力作功的方法，使虛力的功率恒定，虛力的功又能簡潔地求出來，這樣來得到追擊的時間.各有千秋.本文從大學物理的角度，利用運動分解結合定積分的知識探討獵犬追擊時間和軌跡.

如圖1所示，一只狐貍以不變速度u沿直線AB逃跑，一只獵犬以不變速率v追擊狐貍，運動方向始終對準狐貍，某時刻狐貍在F點，獵犬在D點，相距L，且FD⊥AB，問獵犬追上狐貍需要多長時間？

圖1 獵犬追狐貍示意圖

2 問題分析

如圖2所示，為獵犬運動的大致軌跡圖，運動中某時刻，獵犬運動方向與AB夾角為θ，根據(jù)圖像可知，獵犬與狐貍靠近的速度為v-ucosθ，初始時獵犬與狐貍相距L，當獵犬追上狐貍時，距離為零，設獵犬用時T，因此

圖2 獵犬運動軌跡

初始時獵犬與狐貍水平方向距離為零，獵犬追上狐貍時水平方向距離仍為零，獵犬水平方向分速度為vcosθ，因此可得

將式（1）兩邊乘以v，式（2）兩邊乘以u，相加可得

只要獵犬速率大于狐貍，就一定能追上狐貍.因此獵犬運動路程為

關于獵犬的運動軌跡，建立直角坐標系如圖3所示.

圖3 坐標系示意圖

根據(jù)幾何圖像可得

為方便處理，令cotθ=p，由式（5）可得

式（6）兩邊對x求導得

3 結束語

通過分析獵犬和狐貍的徑向和水平方向的相對速度、距離變化，作定積分，消去角度變量，能夠簡潔地求出獵犬追擊時間，與文獻［2，3］結果一致.該問題的中學和大學解法對比可以使學生對大學物理有一個更加深刻的認識，從中學過渡到大學學習階段.