程 蒙,王冰潔
(太原理工大學(xué) 新型傳感器與智能控制教育部重點(diǎn)實驗室,山西 太原 030024)
超寬帶雷達(dá)具有較高的距離分辨率,現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于近距離傳感領(lǐng)域中,超寬帶噪聲雷達(dá)由于其信號源的噪聲特性,因此具有較低的可截獲性和較強(qiáng)的抗電磁干擾能力,近年來受到重視。在目標(biāo)定位和目標(biāo)測速中,超寬帶噪聲雷達(dá)的有效性已經(jīng)得到證實,其距離向分辨率與信號帶寬有關(guān),速度分辨率與觀測累計時間有關(guān)。在合成孔徑雷達(dá)(Synthetic Aperture Radar,SAR)成像方面超寬帶噪聲雷達(dá)也備受關(guān)注,其成像算法與傳統(tǒng)線性調(diào)頻信號基本相同,不同之處在于快時間域的脈沖壓縮,以及在慢時間域超寬帶隨機(jī)信號雷達(dá)的多普勒相位歷程具有隨機(jī)性,而線性調(diào)頻信號則是固定變化的。
壓縮感知(Compressive Sensing,CS)理論正式提出于2006 年,后被廣泛應(yīng)用于信號處理各領(lǐng)域。壓縮感知采樣打破了傳統(tǒng)奈圭斯特采樣定律,可以顯著地降低信號的采樣速率和樣本集的數(shù)量,極大地減少了硬件系統(tǒng)的代價,因此人們嘗試將CS 理論應(yīng)用到超寬帶噪聲雷達(dá)中以解決其高帶寬帶來的硬件負(fù)擔(dān)。在SAR 成像方面,近年來提出了基于CS 的不同成像算法,可以用于提高成像分辨率或降低需要采集的數(shù)據(jù)量,并且引入自聚焦方法用于消除不確定相位誤差。而基于CS 的超寬帶SAR 在降低信號采集帶寬的同時,具有很好的抗電磁干擾能力。
大量工作表明,CS 理論在超寬帶噪聲雷達(dá)應(yīng)用中,在系統(tǒng)硬件和處理效果上均具有優(yōu)點(diǎn),然而對于SAR成像,隨著成像尺寸的增加,CS 重構(gòu)算法的復(fù)雜性將會凸顯,通常遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)線性成像算法,這為成像算法的設(shè)計帶來一定的困難。
文獻(xiàn)[20]利用正則化方法完成了基于CS的聚束模式SAR 成像,本文在此基礎(chǔ)上,提出了一種采用超寬帶噪聲信號源的聚束模式SAR成像算法。與傳統(tǒng)信號源雷達(dá)不同,首先它需要利用方程組求逆,獲得一維距離向信息,然后通過CS方法對二維場景進(jìn)行重建。該方法相對于傳統(tǒng)線性成像算法的優(yōu)點(diǎn)在于,它可以避免因使用噪聲信號源,導(dǎo)致的在慢時間域中非一致多普勒相位產(chǎn)生的成像誤差。同時考慮到算法復(fù)雜性,本文提出了零延拓近似算法,通過在重建算法的迭代中利用二維FFT和快速小波變換,實現(xiàn)快速計算矩陣和向量的乘法。仿真結(jié)果表明,這種近似算法在極大地降低運(yùn)算量和內(nèi)存消耗的同時,保持著較好的運(yùn)算精度,可以完成對大尺度場景的成像任務(wù)。
CS 理論主要研究稀疏信號的重建及其可重建條件,稀疏信號可以通過較少的非自適應(yīng)測量集準(zhǔn)確重建。其數(shù)學(xué)描述為:∈R為觀測向量,它與未知稀疏信號∈R有如下關(guān)系:
式中,∈R,為感知矩陣,是對未知信號進(jìn)行的線性測量。當(dāng)<時,上述方程組是欠定的,CS 理論指出,當(dāng)滿足約束等距(RIP)條件時,仍然可以準(zhǔn)確通過下式進(jìn)行重建:
式中為施加的一正則化約束參量。上述優(yōu)化問題是凸的,可以將其轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃進(jìn)行求解,如基追蹤算法,也可通過貪婪算法如匹配追蹤算法等。本文采用內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行求解,它是解凸優(yōu)化問題的一種常用方法,具有較高的精度和運(yùn)算性能。
1.2.1 一維距離向重建
假定()為雷達(dá)的發(fā)射信號序列,信號回波為(),由于聚束模式雷達(dá)距離向波束照射寬度是一定的,因此()可看作()通過某個階的滑動平均(MA)模型的響應(yīng):
式中:()=[(),(-1),…,(-)];為系統(tǒng)的傳遞函數(shù),對應(yīng)傳統(tǒng)的脈沖壓縮結(jié)果,因此一維距離向重建為系統(tǒng)辨識問題。
通過采集個樣本點(diǎn){(),()},{(),()},…,{(i),(i)},式(3)可以構(gòu)成一線性方程組:=(4)式中:[(),(),…,(i)];=[(),(),…,(i)]。對于每個樣本點(diǎn){(i),(i)},其采集是相互獨(dú)立的。當(dāng)()為確定序列時,如信號源采用偽隨機(jī)數(shù),()的采集可省略,這時只需要記錄采樣時間和()即可。通過這種方法,信號的采樣頻率可以降至很低。當(dāng)成像區(qū)域只含有少量的點(diǎn)目標(biāo)時,式(4)可以采用CS重建算法求解,它可以減少采集的樣本集{,}的個數(shù)。需要指出的是,當(dāng)每個樣本點(diǎn)之間采樣間隔大于+1 時,將近似為隨機(jī)矩陣,它可以很好地滿足RIP條件。
使用線性方程組求解的方法,相對于傳統(tǒng)互相關(guān)的方法,不存在旁瓣掩蔽效應(yīng),如圖1b)所示,采用互相關(guān)法,除了在目標(biāo)處出現(xiàn)反射尖峰外,其他位置仍有信號波動,而圖1c)為隨機(jī)抽取一半的數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)采用CS的方法得到的結(jié)果,它可以準(zhǔn)確重建出場景的一維反射信息。
圖1 互相關(guān)與CS 方法結(jié)果對比
1.2.2 基于CS 的成像原理
設(shè)超寬帶隨機(jī)信號雷達(dá)在觀測角處經(jīng)過一維重建后的記為p(),其傅里葉變換與成像場景(,)的空間(頻域空間)有如下關(guān)系:
因此通過變化可以得到一系列極坐標(biāo)下的場景空間采樣。由于空間采樣是極坐標(biāo)下的,因此無法直接通過二維快速傅里葉變換對場景成像,通常需要做插值處理。
二維直角坐標(biāo)系下,傅里葉變換[,]可以表示為如下形式:
式(7)包含有復(fù)數(shù)運(yùn)算,將不利于優(yōu)化算法的計算,因此采用IFFT 獲取式(7)的等價形式:
通常雷達(dá)圖像在某些基下可以稀疏表示,因此有:
式中為稀疏表示基。因此超寬帶噪聲雷達(dá)成像可以轉(zhuǎn)化為求解下式優(yōu)化問題:
1.2.3 零延拓近似算法
在文獻(xiàn)[22]中,內(nèi)點(diǎn)法的每個中心點(diǎn)是通過牛頓法迭代獲得的,它利用預(yù)處理共軛梯度算法計算海森矩陣的逆。其中海森矩陣和某一向量的乘法需要被反復(fù)運(yùn)算,該乘法最終通過計算和的矩陣向量乘法實現(xiàn)。本文利用矩陣的特殊性,提出一種近似計算矩陣向量乘法的方法,它在極大地降低運(yùn)算量的同時保持較好的計算精度,并且該方法在運(yùn)算過程中不需要存儲矩陣,因此可以節(jié)省大量的運(yùn)算內(nèi)存。
如式(9),當(dāng)采用小波基作為稀疏表示基時,矩陣的乘法需要一次逆小波變換、一次的矩陣向量乘法和N次IFFT;矩陣的乘法需要N次FFT、一次的矩陣向量乘法和一次小波變換。其中最耗時的計算為和的乘法,本文采用二維快速傅里葉變換做近似計算,其方法如下。
如圖2 所示,將矩陣劃分為分塊矩陣形式:
式中:采用精確計算;采用近似計算。由于可以看作向量對空間映射的變換基,因此它可以使用直角坐標(biāo)系下的2D?FFT 基近似計算,其中近似計算的部分記作′。為了保證這種近似的精度,首先需要對[,]作零延拓處理。如圖2 所示,每個P在空間中有16 個采樣點(diǎn),其中少量的低頻部分采用計算,剩余的高頻部分采用近似′計算。在′的近似計算中,首先對[,]作一倍零延拓處理,然后計算其2D?FFT,得到分別沿軸和軸為32 點(diǎn)的頻域點(diǎn),如圖2c)中圓點(diǎn)所示。最后,選取最靠近精確解(三角點(diǎn))的近似解(圓點(diǎn))作為計算結(jié)果。對于的近似計算見式(11),可以由此類比得到。
圖2 零延拓近似方法示意圖
當(dāng)成像場景維度大于128×128 時,通?,F(xiàn)有的計算硬件仍然無法滿足部分的精確計算,將全部劃分到的處理方法依然可以得到較好的結(jié)果。
為了研究噪聲對一維距離向重建算法的影響,通過仿真對兩種欠采樣率下使用CS 進(jìn)行重建,結(jié)果如圖3所示。信號源為仿真生成的帶限隨機(jī)過程,其中采樣率和信號帶寬之比為10,()的反射目標(biāo)位置隨機(jī)選取,大小隨機(jī)設(shè)置+1 或-1,信號欠采樣率定義為=,其中為總的回波信號點(diǎn)數(shù),為從中隨機(jī)選取的點(diǎn)數(shù),并在回波中加入不同大小的白噪聲得到不同信噪比(SNR)的重構(gòu)結(jié)果。從結(jié)果中可看出即使噪聲功率和回波功率相同時(0 dB),仍然可以得到較好結(jié)果。對比=0.5 和0.9 的結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)通過增加樣本數(shù)量,算法的抗噪聲性能會有所改善。
圖3 欠采樣率與信噪比對重建的影響
首先對點(diǎn)反射目標(biāo)場景的成像進(jìn)行仿真,其中采用和文獻(xiàn)[25]相同的濾波后向投影算法(FBP)作為經(jīng)典成像算法,與本文提出的零延拓近似算法做對比。首先仿真獲取場景不同觀測角的一維重建數(shù)據(jù)p,然后隨機(jī)抽取數(shù)量為N組的數(shù)據(jù)。對于二維數(shù)據(jù),采用=N N作為數(shù)據(jù)的欠采樣率,其中為圖像橫向(或縱向)的維度設(shè)為128。由于目標(biāo)場景具有稀疏性,因此不需要考慮稀疏表示基。結(jié)果如圖4 所示,可以看出FBP 算法在較少的數(shù)據(jù)樣本下存在嚴(yán)重的偽影,而采用CS 的零延拓近似算法則不存在。
圖4 直接稀疏場景成像對比
MSTAR 公共數(shù)據(jù)廣泛應(yīng)用于雷達(dá)成像算法研究中,因此對于非直接稀疏的情況,選用其中一張圖片,采用上述點(diǎn)反射目標(biāo)場景的方法進(jìn)行仿真。其中零延拓近似算法中的圖像稀疏表示基采用Daubechies 2 小波,結(jié)果如圖5所示??梢钥闯霾捎昧阊油亟扑惴梢缘玫捷^好的效果。由于原始圖片點(diǎn)數(shù)為512×512,當(dāng)p選取512組時,成像算法需要對2×512≈5×10個變量進(jìn)行優(yōu)化(其中一半是在計算中引入的),矩陣包含512×512>10個元素,現(xiàn)有計算硬件內(nèi)存已很難滿足原始的精確重建算法,而采用零延拓近似算法大約花費(fèi)15 min。
圖5 非直接稀疏場景成像對比
零延拓近似算法的精確性分析,可以直觀地通過分別采用精確法、直接近似法和零延拓近似算法計算矩陣·與某一向量,及其共軛轉(zhuǎn)置·與的投影向量··(記為)的乘法結(jié)果進(jìn)行比較。結(jié)果如圖6所示,可以看出,直接使用2D?FFT 的近似方法和精確解法存在較大差異,經(jīng)過零延拓后差異將明顯縮小。
圖6 精確解、直接近似和零延拓近似算法結(jié)果差異對比
內(nèi)點(diǎn)算法在計算中需要多次計算矩陣向量乘法·和·,統(tǒng)計分析,對于不同維度場景成像,·和·的計算所消耗時間通常占據(jù)90%以上,如表1所示,因此重建算法的時間復(fù)雜性分析可通過對和的乘法進(jìn)行分析。本文硬件平臺采用AMD Ryzen 5,內(nèi)存為8 GB。
表1 零延拓近似算法的不同維度重建矩陣向量乘法運(yùn)算時間占比
二維小波變換和2D?FFT 的算法復(fù)雜性均為(log),然而兩者在矩陣乘法的時間消耗上通常占比小于10%,大部分消耗在矩陣元素的查找中(大于70%),其復(fù)雜性為()。因此圖7 中,軸全部采用真實值的開方繪制。從圖7a)中可看出,矩陣乘法的算法復(fù)雜性近似為(),與此同時,采用零延拓的方法計算量有少量增長,其中和的乘法分別大約增長1.5 倍和1.3 倍。圖7b)為采用零延拓近似算法的成像總消耗時間曲線和內(nèi)存消耗曲線,可以看出兩者的增長趨勢大于平方增長,最終在該硬件平臺上實現(xiàn)了場景點(diǎn)數(shù)為2 048×2 048 的重建。
圖7 零延拓近似算法性能分析
本文提出了一種基于CS的超寬帶隨機(jī)噪聲SAR成像算法,該算法可以充分利用信號源的超寬帶特性對場景高分辨率成像,它可以在欠奈圭斯特采樣率下對信號進(jìn)行采集處理,極大地減少了系統(tǒng)成本??紤]到大尺度場景成像的算法復(fù)雜性,本文提出零延拓近似算法,仿真結(jié)果表明,它在保持著較好精度的同時極大地降低了算法運(yùn)算量。例如對點(diǎn)數(shù)為2 048×2 048 的場景重建,大約需要9 h,內(nèi)存消耗約1.9 GB(普通PC 處理),而采用精確運(yùn)算是無法實施的。