龐學(xué)亮，江鵬飛，楊 慧

(武漢工程大學(xué)，湖北 武漢 430205)

0 引言

三軸磁傳感器用于測量外部磁場的三分量，在地磁導(dǎo)航、航空磁探、空間磁場測量方面具有廣泛的應(yīng)用。在傳感器設(shè)計生產(chǎn)中，由于工藝等原因，三軸很難做到完全正交，同時三軸也存在一定差異，接收器電路存在漂移、噪聲，接收器鐵芯存在剩磁，數(shù)據(jù)采集存在截斷誤差等，這就給測量帶來兩方面影響：1) 由于地磁場的存在，當(dāng)傳感器姿態(tài)發(fā)生變化時，在相對穩(wěn)定的地磁場下，其標(biāo)量輸出不是一個穩(wěn)定的值，會產(chǎn)生很大干擾信號；2) 由于三軸已經(jīng)偏離了正交，致使按照理想情況進(jìn)行計算的標(biāo)量值也產(chǎn)生了偏差[1]，這就需要對三軸磁傳感器進(jìn)行校準(zhǔn)。目前校準(zhǔn)的思路是先建立三軸磁傳感器信號輸出模型，通過在穩(wěn)定地磁場下測量的數(shù)據(jù)求解模型系數(shù)，然后再根據(jù)模型系數(shù)進(jìn)行輸出信號校準(zhǔn)。三軸磁傳感器校準(zhǔn)的關(guān)鍵是校準(zhǔn)模型精度和模型系數(shù)的求解，對于校準(zhǔn)模型通常考慮三軸正交性、靈敏度一致性和剩磁三個因素，而模型系數(shù)求解的方法有很多種，比如文獻(xiàn)[2]提出極大似然方法校準(zhǔn)方法，文獻(xiàn)[3]采用支持向量回歸(support vector regression)方法進(jìn)行校準(zhǔn)，文獻(xiàn)[4]提出非線性最小二乘法參數(shù)估計，文獻(xiàn)[1]提出共軛梯度法進(jìn)行系數(shù)求解，文獻(xiàn)[5]提出模型系數(shù)自動搜索方法，文獻(xiàn)[6]提出自適應(yīng)系數(shù)求解法，本文作者之前也提出了基于遺傳算法參數(shù)求解方法[7]。歸納起來這些方法對模型參數(shù)求解都是在樣本空間分布比較均勻的情況下，具有很好的效果[8-10]，但是當(dāng)求解的樣本為局部樣本時，其求解的精度大幅度下降。本文針對在局部樣本下，三軸磁傳感器校正橢球模型參數(shù)求解精度差的問題，提出基于局部樣本三軸磁傳感器校準(zhǔn)參數(shù)求解方法。

1 三軸磁傳感器校準(zhǔn)橢球體模型

(1)

B0=K-1(B-b)。

(2)

當(dāng)空間校準(zhǔn)磁傳感器時，B0的變化軌跡為一球面，其半徑為常量，令L=K-1，可以得到

(3)

該式子展開可以整理成如下形式：

(4)

該方程為橢球體模型，對于泊松模型12個參數(shù)，L矩陣非對角元將按對稱關(guān)系兩兩合并，模型的參數(shù)簡化為9個；通過對測量的磁傳感器數(shù)據(jù)進(jìn)行橢球體擬合，采用最小二乘法就可求解出9個參數(shù)a1到a9，將式(3)展開，和式(4)對比，可以得到

(5)

式(5)中，k為橢球擬合過程求得的半徑，為一常數(shù)因子；根據(jù)橢球擬合求得的a1到a9和k。根據(jù)式(5)，可以得到L矩陣和b，再利用B0=L(B-b)對三軸磁傳感器進(jìn)行校正。

2 局部樣本下橢球體模型求解

三軸磁傳感器的校準(zhǔn)核心為橢球體模型參數(shù)的求解，在校準(zhǔn)過程中，采集的磁場數(shù)據(jù)空間遍歷性越好，其參數(shù)求解的精度越高，校準(zhǔn)效果越好；但在實際應(yīng)用過程中，受設(shè)備空間體積限制等，往往只能得到局部的一些數(shù)據(jù)樣本，其擬合的結(jié)果往往不是橢球體，而變成二次拋物面，其偏差非常大，導(dǎo)致三軸磁傳感器的校準(zhǔn)失效。為了保證局部樣本情況下，擬合的模型為橢球體，將式(4)寫成

(6)

如果保證擬合的為一橢球體，擬合過程中需要增加約束條件，根據(jù)橢球方程的性質(zhì)，當(dāng)4J-I2>0，可以保證擬合的二次曲面為橢球面，這是擬合方程為橢球面的一個充分條件，這里我們?nèi)≡摋l件為橢球擬合的約束條件[12]。

對于校準(zhǔn)測量的磁場數(shù)據(jù)，令

滿足4J-I2>0約束條件下式(6)最小二乘法參數(shù)求解等價為：

min‖DV‖24J-I2=1。

(7)

這里D=[X1,X2,…,Xn]，n為采樣數(shù)據(jù)點數(shù)。令

4J-I2=1可以表示為VTCV=1，這樣式(7)求解采用拉格朗日因子方法變?yōu)椋?/p>

DDTV=λCV，

(8)

VTCV=1，

(9)

式(8)、式(9)的唯一解為正特征值所對應(yīng)的特征向量；對于矩陣C，當(dāng)行或列大于6時，元素都為零[13]，令

(10)

式(10)中，S11、S12、S22分別為6×6、6×4、4×4矩陣，V1、V2分別為6×1、4×1向量。式(10)可以寫成

(S11-λC1)V1+S12V2=0，

(11)

(12)

可以求得

(13)

將式(13)代入式(11)得

(14)

(15)

3 數(shù)值仿真

表1 參數(shù)假設(shè)值Tab.1 Hypothetical parameters

仿真樣本分別選取全橢球面、半橢球面、1/3橢球面，如圖1—圖3所示。根據(jù)文獻(xiàn)[12]分析，當(dāng)樣本取橢球體頂端端面，其最容易擬合成非橢球二次曲面，為了算法性能，這里選取的方法為頂端橢球面。

圖1 全橢球面圖Fig.1 Total ellipsoid

圖2 半橢球面Fig.2 Half ellipsoid

圖3 1/3橢球面Fig.3 1/3 ellipsoid

通過數(shù)值仿真，當(dāng)選取全球面和半球面時，進(jìn)行20次仿真計算，兩種方法均可以準(zhǔn)確求解參數(shù)，且具有較高的求解精度；當(dāng)樣本選取1/3橢球面時，進(jìn)行20次仿真，傳統(tǒng)最小二乘法出現(xiàn)3次誤差異常大情況，計算4J-I2值，發(fā)現(xiàn)其盡管還為正值，但已經(jīng)非常接近零值；而采用帶約束最小二乘，盡管其精度下降，但不會出現(xiàn)誤差異常大情況，4J-I2值都大于3.1；這說明帶約束最小二乘在局部小樣本情況下，求解橢球體模型參數(shù)的有效性。表2列出了其中一次參數(shù)求解結(jié)果。

表2 參數(shù)求解結(jié)果Tab.2 Parameter solution results

4 實測數(shù)據(jù)

三軸磁傳感器校準(zhǔn)選取的樣本空間遍歷性越好，校準(zhǔn)效果越好，但為了簡化校準(zhǔn)程序，也不能選取過多的樣本。一般在整個橢球面選取遍歷性好的有代表性的20個左右樣本點，結(jié)合工程實際，選取的方法為X、Y和Z平面各每間隔90°取4個點，X平面傾斜60°下，在Y和Z平面間隔90°各再取4個點，總共20個點。該選取方法經(jīng)過驗證可以保證求解精度，如圖4所示。為了驗證局部樣本下，提出方法的有效性，選取水平樣本12點，傾斜30°情況下樣本12點，如圖5所示。該選取方法便于實際設(shè)備校準(zhǔn)取樣，需要設(shè)備俯仰的角度又不大，屬于局部樣本情況，相對于仿真取的1/3橢球面，更滿足實際需求。分別采用傳統(tǒng)二乘和帶約束最小二乘方法進(jìn)行橢球體模型參數(shù)求解，結(jié)果如表3所示。

圖4 20點全空間樣本Fig.4 20 Point sample

圖5 24點局部樣本Fig.5 24 Point sample

表3 不同樣本下參數(shù)求解結(jié)果

通過實測數(shù)據(jù)對橢球體模型參數(shù)進(jìn)行求解，當(dāng)樣本為全空間情況，兩種方法均可準(zhǔn)確求解出模型參數(shù)；但當(dāng)采用局部樣本是最小二乘法求解的參數(shù)誤差非常大，而帶約束最小二乘仍然可以準(zhǔn)確求解出橢球體參數(shù)，說明了該方法的有效性。

5 結(jié)論

本文提出基于局部樣本三軸磁傳感器校準(zhǔn)參數(shù)求解方法。該方法能準(zhǔn)確求解局部樣本下橢球體參數(shù)，當(dāng)參數(shù)求解的樣本為整個橢球面取樣時，最小二乘方法可以準(zhǔn)確求解出參數(shù)。在實際應(yīng)用中，會存在只有局部樣本取樣情況，這時最小二乘法參數(shù)求解精度就會很差，可能擬合的是拋物線方程，為此利用帶約束的最小二乘法，以保證求解的方程為橢球體方程。數(shù)值仿真和實測數(shù)據(jù)計算結(jié)果表明，該方法驗證了在局部樣本情況下橢球體參數(shù)求解的有效性。該方法不僅適用最小二乘，還可以推廣到橢球體模型參數(shù)求解的其他方法,例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等最優(yōu)參數(shù)估計的方法，通過增加約束條件，理論上可以保證在局部樣本情況下，參數(shù)估計還具有較高的精度。