普通高中人教A版新舊教材統(tǒng)計內(nèi)容的對比
——以“正態(tài)分布”為例

?西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 梁 馨 馮長煥

1 引言

21世紀(jì)以來，我國開啟了新一輪中小學(xué)課程的改革.在新課改中，作為課程的重要載體，課堂教學(xué)的基礎(chǔ)和教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的材料，教材也在根據(jù)課程改革的思想及其對應(yīng)課程標(biāo)準(zhǔn)的變化而不斷改進(jìn).當(dāng)前全國高中數(shù)學(xué)中普遍使用的兩版教材分別是由人民教育出版社出版的2004年版和2019年版，分別對應(yīng)2001年[1]和2017年[2]頒布的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).

新課標(biāo)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年)》自發(fā)行以來就在數(shù)學(xué)教育界引起了轟動，是每一位數(shù)學(xué)師范生、一線數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)教育研究者共同關(guān)注和學(xué)習(xí)的內(nèi)容.其中正態(tài)分布作為現(xiàn)實生活中最常見的統(tǒng)計分布.也是與學(xué)生的實際生活最接近的統(tǒng)計分布，更是高中階段統(tǒng)計內(nèi)容的重要組成部分.

2017年新課程標(biāo)準(zhǔn)改革后的新教材，相較于前一版的教材，在正態(tài)分布這一節(jié)的內(nèi)容上有了較大的改變，包括教材所處的位置、教材知識的引入、教材概念的定義以及教材習(xí)題的給定上都有所不同.

新課程標(biāo)準(zhǔn)與現(xiàn)行的課堂教材之間的脫節(jié)，對一些地區(qū)的師范生和教師而言，在沒有經(jīng)歷專門培訓(xùn)的前提下，教師很難把握新課標(biāo)要求與舊教材使用之間的平衡.因此筆者希望以對比普通高中人教A版教材中的正態(tài)分布內(nèi)容為例，明晰教材變化的原因、新教材的特點，幫助教師如何使用新教材開展新課堂.

2 新舊課程標(biāo)準(zhǔn)的對比

每個學(xué)科的課程標(biāo)準(zhǔn)，是制定課程的規(guī)范、是教材編訂的依據(jù)，也是最先準(zhǔn)確反應(yīng)學(xué)科課程的改革.數(shù)學(xué)學(xué)科也是如此，每一版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)確地反應(yīng)了當(dāng)時的新課程改革需要，也為新教材的編制提供指南[3].因此，在對比教材內(nèi)容之前，可以從課程標(biāo)準(zhǔn)中的對應(yīng)內(nèi)容進(jìn)行分析.

新舊兩版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對于“正態(tài)分布”一節(jié)內(nèi)容所處的位置的安排如下表1：

表1

從上表中可以看出，2017年版的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“正態(tài)分布”內(nèi)容在所處位置、標(biāo)準(zhǔn)要求和詳細(xì)說明上都有一定的區(qū)別.首先，新版課標(biāo)將“正態(tài)分布”內(nèi)容歸于選擇性必修部分，意味著不論學(xué)生未來的發(fā)展是偏人文學(xué)科還是理工科，只要參加高考進(jìn)入高校學(xué)習(xí)，都需要對這個常見的連續(xù)概率分布有一定的認(rèn)識和理解.其次，新版課標(biāo)對于“正態(tài)分布”的教學(xué)內(nèi)容的標(biāo)準(zhǔn)有了更加詳細(xì)和深入的要求.要求從現(xiàn)實實踐出發(fā)，抽象出數(shù)學(xué)模型，在對模型進(jìn)行分析過程中了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量；在此基礎(chǔ)上還希望學(xué)生了解連續(xù)型隨機(jī)變量的均值、方差等.再者，新版課標(biāo)對“正態(tài)分布”標(biāo)準(zhǔn)要求的說明，也進(jìn)行了細(xì)化，分別從教師和學(xué)生兩方面闡明了“正態(tài)分布”的教與學(xué)需要達(dá)到的層次.新舊兩版課程標(biāo)準(zhǔn)對“正態(tài)分布”這一節(jié)的要求不同，自然對于教材的編寫要求與建議就有所不同.對比新舊兩版課程標(biāo)準(zhǔn)的教材編寫建議如下表2：

表2

從上表我們可以看出，新版的課程標(biāo)準(zhǔn)更加注重“以人為本”精神，將學(xué)生的發(fā)展放在首位.同時，兼顧數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部邏輯發(fā)展的規(guī)律，要求數(shù)學(xué)知識應(yīng)遵循整體性的特點.由于多年以來數(shù)學(xué)教育界的各種理論發(fā)展較為成熟，多種理念和方式方法涌現(xiàn)，教材在處理知識的時候遵循“教與學(xué)”規(guī)律的前提下，應(yīng)豐富呈現(xiàn)方式和體現(xiàn)特色.

在此基礎(chǔ)上，不難看出在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》對于“正態(tài)分布”內(nèi)容更加重視，其中不僅反應(yīng)了統(tǒng)計與概率內(nèi)容需要成為大眾基礎(chǔ)知識的社會需要，更是一個社會公民所需要掌握的儲備知識，是認(rèn)識世界上諸多現(xiàn)象的規(guī)律之一.在此課標(biāo)指導(dǎo)下的新版教材，相較于前一版本也必然有所不同.

3 新舊教材內(nèi)容對比

3.1 教材結(jié)構(gòu)對比

新版教材的選修內(nèi)容將不再區(qū)分文科和理科，所有的內(nèi)容都囊括入選擇性必修教材當(dāng)中.“正態(tài)分布”一節(jié)的內(nèi)容區(qū)別于之前的舊版教材位于理科選修2-3的第二章第四節(jié)，新版教材的選修第三冊第七章“隨機(jī)變量及其分布”的第五節(jié).章節(jié)內(nèi)部的順序除了“正態(tài)分布”位于最后一節(jié)之外，都有些許不同，如下表3所示：

表3

章節(jié)順序的調(diào)整源于課程標(biāo)準(zhǔn)對于數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部整體性的要求，使得“隨機(jī)變量及其分布”這一章更加“科學(xué)”.同時，也反映了人們對于統(tǒng)計與概率知識的接受能力與日俱增.但毫無疑問的是，“正態(tài)分布”作為高中數(shù)學(xué)中唯一接觸的連續(xù)型隨機(jī)變量，對于學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個巨大的挑戰(zhàn)，因此把這部分內(nèi)容放在最后一節(jié)，是符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)理論的.

3.2 教材內(nèi)容對比

新舊兩版教材在“正態(tài)分布”一節(jié)的內(nèi)容編排如下圖1、圖2所示：

圖1 新版教材“正態(tài)分布”一節(jié)的內(nèi)容編排

圖2 舊版教材“正態(tài)分布”一節(jié)的內(nèi)容編排

從以上兩圖可以看出，新教材在引入“正態(tài)分布”一節(jié)中，不僅改換為采用與實際生活更加貼切的誤差模型作為引入背景，還在章節(jié)內(nèi)容開頭就聲明了本節(jié)學(xué)習(xí)與之前離散型隨機(jī)變量不同的連續(xù)型隨機(jī)變量.開門見山，提示了本節(jié)與前面內(nèi)容的不同之處.區(qū)別于舊版教材高爾頓試驗與現(xiàn)實脫節(jié)的情況，體現(xiàn)了章節(jié)內(nèi)容之間的銜接性.

在給“正態(tài)分布”下定義時候，新版教材直接通過鐘形曲線及其對應(yīng)的函數(shù)解析式，簡明扼要地定義了“正態(tài)密度函數(shù)”“正態(tài)分布密度曲線”“正態(tài)分布”“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布”.舊版教材雖然也從圖象得出了“正態(tài)分布密度曲線”，但是從分布函數(shù)的角度定義“正態(tài)分布”的.對于分布函數(shù)的定義沒有事先給出，因此對正態(tài)分布密度函數(shù)求積分不便于理解.

在討論“正態(tài)分布”性質(zhì)時，新版教材基于利用數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的角度，從一般討論函數(shù)的基本性質(zhì)(單調(diào)性、最值、奇偶性等)出發(fā)研究正態(tài)分布的性質(zhì).此外，從函數(shù)圖象的平移和已有性質(zhì)出發(fā)，討論了正態(tài)分布密度曲線隨μ，σ的變化而變化的特點,發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布密度曲線的集中程度和離散程度與μ，σ有關(guān)，進(jìn)而給出正態(tài)分布的的期望和方差.而舊教材在討論正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)時，分別從純圖象和純函數(shù)的方面去分別討論，尤其是在純函數(shù)討論的時候?qū)ⅵ?，σ看成關(guān)于函數(shù)的一個雙參數(shù)分別討論.

此外，新版教材新增一個更加貼近學(xué)生日常生活的例題，讓學(xué)生在認(rèn)識到正態(tài)分布作為現(xiàn)實中最為常見的隨機(jī)變量之外，還讓學(xué)生能應(yīng)用正態(tài)分布對隨機(jī)事件作出判斷和選擇，體驗數(shù)學(xué)的功用.

新版教材在“正態(tài)分布”一節(jié)的練習(xí)與習(xí)題中，更側(cè)重“應(yīng)用題”，也就是說重視正態(tài)分布在實際生活中的應(yīng)用與思考.

在拓展部分，對于概率與統(tǒng)計的內(nèi)容向來是需要信息技術(shù)手段來處理數(shù)據(jù)的，這也是補充教材編寫如有遺漏的情況.新版教材的編寫較為完善，提出可以通過GeoGebra軟件，直觀地觀察已學(xué)習(xí)的各種分布的概率分布圖，感受連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量的不同.而舊版教材由于對μ和σ變化從而影響正態(tài)分布密度曲線的討論不太詳細(xì)，所以提出通過幾何畫板的動態(tài)變化，來驗證上述所討論的性質(zhì).

經(jīng)過上述的對比分析，不難看出，在新的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)下，“正態(tài)分布”這一節(jié)的新版教材在編排和呈現(xiàn)方式上，有了較大的不同.總的來說，“正態(tài)分布”的內(nèi)容變得生活化，其本身內(nèi)容的表述更加簡潔.對于“正態(tài)分布”的要求也不再只是停留在知道、了解的程度，而是通過簡化定義的表述，為后續(xù)討論其性質(zhì)奠定基礎(chǔ)，從而對“正態(tài)分布”的理解更加深入——包括在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部，關(guān)于“正態(tài)分布”知識的深入了解和在現(xiàn)實生活中，意識到數(shù)學(xué)是一門來源于實際研究又應(yīng)用于實際，幫助人們作出判斷的“工具”.

4 結(jié)論

“正態(tài)分布”作為高中數(shù)學(xué)階段，唯一遇到的連續(xù)型隨機(jī)變量，為日后更系統(tǒng)地學(xué)習(xí)概率分布知識奠定了良好的基礎(chǔ)，是作為一種先行組織者材料而存在的.同時，作為現(xiàn)實中存在最為廣泛的隨機(jī)變量分布，在溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的關(guān)系上具有得天獨厚的優(yōu)勢[4].新課改、新課標(biāo)注意到了這一點，因此在新教材關(guān)于“正態(tài)分布”的編寫上做出了較大的改動，使之更貼近實際生活，對于知識的學(xué)習(xí)也更加深入.

因此，在新舊兩版教材過渡階段，教師可以對比新舊教材在同一內(nèi)容的不同編排和不同的呈現(xiàn)方式，輔助新舊兩版的課程標(biāo)準(zhǔn)，感悟新教材的“新”地方，進(jìn)而把握教材更替的平衡，提高自身的教學(xué)水平.