計(jì)算錯(cuò)誤找原因、解答粗心尋對(duì)策

?上海七寶中學(xué) 肖 嵐

1 引言

教學(xué)中經(jīng)常碰到這樣的學(xué)生，思維敏捷，一點(diǎn)就通，但就是計(jì)算頻錯(cuò)、粗心不斷.本文中梳理了一些原因，不過(guò)高中數(shù)學(xué)題目綜合性強(qiáng)，原因多種多樣，互相影響，相互作用，惡性循環(huán)，此處不可能面面俱到，只求拋磚引玉.分析問(wèn)題所在的同時(shí)，嘗試更新和設(shè)計(jì)針對(duì)性練習(xí)，采取有效可行的方案，長(zhǎng)期不斷堅(jiān)持下來(lái)，讓學(xué)生們從中受益.教與學(xué)正是這樣做而獲其惑，惑而求其解，解而求其用，不亦樂(lè)乎？

2 錯(cuò)因分析

2.1 心理性問(wèn)題

2.1.1 沒(méi)有信心，裹足不前

不能洞見(jiàn)條件和結(jié)論的聯(lián)系，沒(méi)有目標(biāo)，也不敢嘗試.消極的心理暗示容易造成優(yōu)柔寡斷，墨守成規(guī).

認(rèn)定函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(m,n)成中心對(duì)稱(chēng)的充要條件是對(duì)定義域中任意x，都有f(x)+f(2m-x)=2n.那么，不要猶豫!目標(biāo)明確!沒(méi)有退路！立馬計(jì)算!

我們發(fā)現(xiàn)無(wú)論多少字母只要抓住關(guān)鍵點(diǎn)都能迎刃而解，此時(shí)教師輔以適當(dāng)?shù)墓膭?lì)，對(duì)學(xué)生心理產(chǎn)生積極暗示，長(zhǎng)此以往，提升學(xué)生數(shù)學(xué)自我效能感.先在心理上突破，再在方法上突破.

2.1.2 計(jì)算內(nèi)容缺少故事性，學(xué)習(xí)情緒沒(méi)有起伏

教師可以根據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)有故事的組團(tuán)式練習(xí)(變式練習(xí)、探究練習(xí)等)，讓學(xué)生在解鎖一個(gè)個(gè)問(wèn)題時(shí)有過(guò)關(guān)斬將的情緒波動(dòng)，從而更好地內(nèi)化知識(shí)、優(yōu)化運(yùn)算.數(shù)學(xué)用數(shù)字編碼世界，心理用人性編碼世界.數(shù)學(xué)問(wèn)題需要對(duì)編碼儲(chǔ)存、提取.當(dāng)一個(gè)問(wèn)題被各種角度編碼時(shí)本質(zhì)就會(huì)更完整地呈現(xiàn)、記憶會(huì)更加深刻，這樣建立的知識(shí)結(jié)構(gòu)更有高瞻遠(yuǎn)矚性.高中數(shù)學(xué)為我們提供了很多這樣的契機(jī)，下面舉一例由三個(gè)問(wèn)題構(gòu)成的組團(tuán)練習(xí).

圖1

|OA|2|OB|2=(|OA|2+|OB|2)r2.

問(wèn)題一的定值放在直角三角形中就是斜邊上高與直角邊關(guān)系，于是有了問(wèn)題二；定值的逆代求范圍也是對(duì)不等式的靈活運(yùn)用，于是有了問(wèn)題三.學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系后思考的維度被打開(kāi)了，對(duì)某些定值的復(fù)雜運(yùn)算也不再抗拒了.計(jì)算有方法，問(wèn)題有源頭，解答有樂(lè)趣.這三個(gè)問(wèn)題包括組合性、逆向性、結(jié)合性、同一性等變式設(shè)計(jì).讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有更深和更全面的認(rèn)識(shí)和理解.當(dāng)題目的外延增大時(shí)，計(jì)算會(huì)變得更有意義.

2.2 邏輯性問(wèn)題

2.2.1 轉(zhuǎn)化時(shí)疏忽等價(jià)性

分析：

4sinA+2cosB=1

①

②

由式①、式②平方和得：

學(xué)生因?yàn)闆](méi)有意識(shí)到平方不一定是等價(jià)變形，很可能產(chǎn)生增根.錯(cuò)誤地保留了2個(gè)答案.

另外，充分不必要條件會(huì)造成失根，必要不充分條件則易造成增根.

2.2.2 片面不嚴(yán)謹(jǐn)，審題不嚴(yán)密，挖掘信息不夠全

例3設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=pn+q(n∈N*，p>0).數(shù)列{bn}定義如下：對(duì)于正整數(shù)m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值.

(2)是否存在p和q，使bm=3m+2(m∈N*)？若存在，求p和q的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)略.

(2)仔細(xì)審題，條件一：n=3m+2滿足an=pn+q≥m(n∈N*，p>0)，所以有p(3m+2)+q≥m.

條件二：n=3m+2是最小的滿足an=pn+q≥m(n∈N*，p>0)的解，再小不行了，所以有p(3m+1)+q

三個(gè)條件缺一不可，而學(xué)生通常不能全部挖掘，自然就算不出答案.邏輯是思維品質(zhì)的中心環(huán)節(jié).清晰、嚴(yán)密、理性和嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)最重要的特點(diǎn)之一.

2.3 知識(shí)性問(wèn)題

以不等式為例，沒(méi)有深刻理解不等式的性質(zhì)：誤認(rèn)為分母為正；取倒數(shù)時(shí)想當(dāng)然認(rèn)為分母越大分?jǐn)?shù)越??；移項(xiàng)時(shí)正負(fù)號(hào)混亂.

例4直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的左支分別交于A，B兩點(diǎn)，

(1)求k的取值范圍；

(2)直線l過(guò)點(diǎn)P(-2,0)及線段AB的中點(diǎn)，CD是y軸上一條線段，對(duì)任意的直線l都與線段CD無(wú)公共點(diǎn)，試問(wèn)CD長(zhǎng)得最大值是否存在.

(1-k2)x2-2kx-2=0

(取倒數(shù)時(shí)很多學(xué)生會(huì)不注意分正負(fù)情況，忽略不等式的性質(zhì)做出錯(cuò)誤答案.)

這類(lèi)問(wèn)題建議擇機(jī)擇時(shí)訂正，建議分行寫(xiě)步驟，建議限時(shí)訓(xùn)練，建議整理錯(cuò)題本.

2.4 策略性問(wèn)題

不同的策略計(jì)算量大不相同，尋找最佳策略、優(yōu)化解題方法可以規(guī)避復(fù)雜的運(yùn)算和人為陷阱.

策略1：沉溺于多字母代數(shù)處理剪不斷理還亂.

圖2

設(shè)AB中點(diǎn)為C(x，y)，在等邊△OAB中可得：

2.5 概念性問(wèn)題

例6空間四邊形ABCD中，E,F分別是AC,BD的中點(diǎn)，AD=6,BC=8,且AD與BC成60°角，求線段EF的長(zhǎng).

很多同學(xué)沒(méi)有深刻理解異面直線所成角的概念，只給了一種答案，漏了A′BCD這種情況(如圖4).

圖3

圖4

3 總結(jié)

布魯納曾經(jīng)說(shuō)：“學(xué)生的錯(cuò)誤都是有價(jià)值的.”運(yùn)算錯(cuò)誤和粗心大意不是獨(dú)立存在的，是以上種種問(wèn)題導(dǎo)致的多米諾效應(yīng)，互相影響，很有可能導(dǎo)致數(shù)學(xué)焦慮，進(jìn)而影響毅力、自我效能感，最終影響數(shù)學(xué)成績(jī).提高運(yùn)算能力減少粗心發(fā)生實(shí)際上是一種綜合能力的提高.教師層面上，應(yīng)該更充分理解學(xué)生的認(rèn)知心理、認(rèn)知過(guò)程，確定學(xué)生自己的操作運(yùn)輸、知識(shí)存儲(chǔ)、組織情境的方法，使學(xué)生能夠積極地參與到情感溝通中，教師鼓勵(lì)越多，學(xué)生收獲越大，能力提高越快.學(xué)生層面上，應(yīng)該優(yōu)化記憶系統(tǒng)，提高感覺(jué)、知覺(jué)、視覺(jué)等觀察品質(zhì)，減少錯(cuò)覺(jué)，審題全面；注重新舊知識(shí)聯(lián)系、正反兩方面論證、總結(jié)歸納類(lèi)比，逐漸豐富知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體觀念；多加練習(xí)、經(jīng)常反思、深思熟慮，形成在解題中集中而穩(wěn)定的注意力；增加學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)和自我要求，突破一些關(guān)于數(shù)學(xué)的消極和情緒化的信念，更多正面自我暗示.Z