詹靜

勾股定理是幾何中最重要、最基本的定理之一，也是求線段長(zhǎng)度的有力工具，因此常被用于求最短路徑的長(zhǎng).要借助勾股定理求幾何圖形中的最短距離，找出題目中正確的直角三角形是解題關(guān)鍵.下面分別探討在平面圖形中和立體圖形中探求最短路徑的方法.

一、運(yùn)用勾股定理求平面圖形中的最短路徑

求平面圖形中的最短路徑問題，也就是求平面內(nèi)幾個(gè)點(diǎn)的距離之和最小值問題.解題通常要運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)、三角形三邊關(guān)系等，把問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)間的最短距離”問題，再運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

例1某供電部門準(zhǔn)備在輸電主干線l上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M，同時(shí)向新落成的A、B兩個(gè)居民小區(qū)送電.已知居民小區(qū)A、B分別到主干線l的距離AA1=2km，BB1=1km，且A1B1=4km.

（1）如果居民小區(qū)A、B在主干線l的兩旁，如圖1所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路最短？最短線路的長(zhǎng)度是多少千米？

（2）如果居民小區(qū)A、B在主干線l的同旁，如圖2所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路最短？此時(shí)分支點(diǎn)M與A1的距離是多少千米？

分析：（1）連接AB，構(gòu)造直角三角形，由勾股定理求得AB的值；（2）作B點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B2，連接AB2交直線l于點(diǎn)M，此處即為分支點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：在平面圖形中，求最短路徑問題通常是以“平面內(nèi)連接兩點(diǎn)的線中，線段最短”為原則，將分散的條件通過幾何變換（平移或軸對(duì)稱）進(jìn)行集中，然后借助勾股定理求解出最值.

二、利用勾股定理求立體圖形中的最短路徑

解答立體圖形中任意兩點(diǎn)間的最短路徑問題，應(yīng)充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，或?qū)⑶孓D(zhuǎn)化為平面，從而把問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩點(diǎn)間的最短距離問題，然后通過構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理求解.

1.圓錐體中的最短路徑

圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此類問題中沒有直接的直角三角形，所以解題時(shí)要通過題目給出的數(shù)量關(guān)系構(gòu)造出相應(yīng)的圖形，運(yùn)用勾股定理計(jì)算.

例2如圖3，圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，一只螞蟻從底面圓周上的點(diǎn)B出發(fā)沿圓錐側(cè)面爬到過母線AB的軸截面上另一母線AC的中點(diǎn)D .問螞蟻沿怎樣的路線爬行，使路程最短？最短的路程是多少？

分析：將圓錐的側(cè)面展開，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得出螞蟻爬行的最短路線及最短的路程.

解：由題意知，圓錐底面圓的直徑為2，故底面周長(zhǎng)等于2π.

如圖4，將圓錐的側(cè)面展開，得到扇形BCB′，則螞蟻沿線段BD爬行，路程最短.

設(shè)扇形BCB′的圓心角為n°，

2.圓柱體中的最短路徑

圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)方形，要求圓柱體中的最短路徑，首先要根據(jù)題意確定相應(yīng)點(diǎn)的位置，然后連接相應(yīng)點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解.

例3蜘蛛和蒼蠅在一個(gè)圓柱面上，這個(gè)圓柱的高為10，底面的半徑為4，如圖5所示，AA′、BB′是圓柱的兩條母線，蜘蛛在BB’上的P點(diǎn)，PB′=2，蒼蠅在AA′上的Q點(diǎn)，QA=3，蜘蛛沿圓柱表面爬向蒼蠅，求最短路程為多少？

分析：要求不在同一個(gè)平面內(nèi)的兩點(diǎn)之間的最短距離，首先把圓柱的側(cè)面展開，并連接兩個(gè)點(diǎn)，然后分析展開圖形中的數(shù)據(jù)，根據(jù)勾股定理即可求解.

3.臺(tái)階中的最短路徑

臺(tái)階可以看成是多個(gè)長(zhǎng)方體的組合圖形，故要求出臺(tái)階中的最短路徑，首先要正確求出展開后臺(tái)階整體的長(zhǎng)度與寬度，然后運(yùn)用勾股定理解答問題即可.

例4如圖7，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路長(zhǎng)是多少？

分析：由于螞蟻是沿臺(tái)階的表面爬行，故只需要將臺(tái)階展開便可直觀地得出解題思路.將臺(tái)階展開得到的是一個(gè)矩形，螞蟻要從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短距離，便是矩形的對(duì)角線，利用勾股定理即可解出答案.

解：把三個(gè)臺(tái)階展開成平面圖形，如圖8.

由展開后的圖形可知AC=5，BC=12，

在Rt△ABC中，∵AB2=AC2+BC2

即AB2=52+122=169，

∴AB=13.

故螞蟻爬到B點(diǎn)的最短線路長(zhǎng)是13cm.

點(diǎn)評(píng)：求解幾何體的最短路線長(zhǎng)，需把幾何體適當(dāng)展開成平面圖形，在平面圖形中將路程轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，或點(diǎn)到直線“垂線段最短”等性質(zhì)并結(jié)合勾股定理來解題.

探求最短路徑問題是初中數(shù)學(xué)中的一種常見問題.對(duì)這類問題，同學(xué)們應(yīng)該學(xué)會(huì)分析、觀察圖形，靈活運(yùn)用勾股定理，找出不同情況下的解題途徑.