Ding-投射模和粘合

張?jiān)? 曹天涯

(1. 蘭州工業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)學(xué)科部, 蘭州 730050; 2. 西北師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院, 蘭州 730070)

文獻(xiàn)[1]給出了三角范疇粘合的公理化定義, 其提供了將三角范疇分解為兩個(gè)三角子范疇, 又將兩個(gè)三角子范疇粘合成一個(gè)三角范疇的構(gòu)造方法. 目前, Abel范疇和三角范疇的粘合已成為數(shù)學(xué)研究的基本工具, 在奇異空間、 代數(shù)表示論、 環(huán)論、 多項(xiàng)式函子理論等領(lǐng)域具有重要作用. 文獻(xiàn)[2]給出了三角范疇穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu)的概念, 三角范疇的粘合和穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu)有密切的聯(lián)系; 文獻(xiàn)[3]提出了強(qiáng)Gorenstein-平坦模和Gorenstein FP-內(nèi)射模的概念; 文獻(xiàn)[4]稱強(qiáng)Gorenstein-平坦模和Gorenstein FP-內(nèi)射模分別為Ding-投射模和Ding-內(nèi)射模, 同時(shí)利用Ding-模把Quillen模型結(jié)構(gòu)下的同倫范疇從Gorenstein環(huán)推廣到Ding-Chen環(huán)上; 文獻(xiàn)[5-9]給出了關(guān)于Ding模以及粘合的相關(guān)結(jié)果. 本文在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究Ding-投射模上的相關(guān)同倫范疇, 并且構(gòu)造粘合及相應(yīng)的穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu).

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)R是具有單位元的環(huán), 本文所涉及的模均為左R-模, 復(fù)形均為上鏈復(fù)形.

定義1[4]若存在一個(gè)正合序列

P·=…→P-1→P0→P1→P2→…,

定義2[1]設(shè)D, D′,D″是三角范疇, D允許有關(guān)于D′和D″的粘合, 記作

(1)

其是指式(1)中6個(gè)三角函子滿足下列條件:

1) (i*,i*),(i!,i!),(j!,j!)和(j*,j*)是伴隨對(duì);

2)i*,j!,j*是滿嵌入函子;

3)j*i*=0;

4) 對(duì)D中的任意對(duì)象X, 可確定D中的兩個(gè)三角:

i*i!X→X→j*j!X→i*i!X[1],

j!j*X→X→i!i*X→j!j*X[1].

如果4個(gè)正合函子i*,i!,j*,j*滿足粘合定義中的相應(yīng)條件, 則稱三角范疇D允許有關(guān)于三角范疇D′和D″的右的粘合.

類似地, 可定義左粘合.

定義3[2]設(shè)U和V是三角范疇D的全子范疇, 用[1]表示三角范疇中的平移函子.如果其滿足下列條件:

1) U=U[1], V=V [1];

2) 對(duì)于任意的X∈U,Y∈V, 均有HomD(X,Y)=0;

3) 對(duì)于D中的任意一個(gè)對(duì)象X, 存在三角A→X→B→A[1], 其中A∈U,B∈V.

則稱(U,V)是D上的穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu).

2 主要結(jié)果

對(duì)于*∈{∞,-,+}, 定義K*(DP)的三角子范疇如下:

K*,db(DP)∶={X∈K*(DP)|對(duì)任意D∈DP, 均存在-m,k∈,

使得Hi(HomR(D,X))=0,i<-m,i>k}.

顯然,Kb(DP),K-,db(DP),K+,db(DP)都是K∞,db(DP)的三角子范疇,Kb(DP)是K-,db(DP)和K+,db(DP)的三角子范疇.同理, 對(duì)于Ding-內(nèi)射模的同倫范疇K*,db(DI), 可相應(yīng)地定義三角子范疇Kb(DI),K-,db(DI),K+,db(DI).如果C是三角范疇D的三角子范疇并且關(guān)于直和項(xiàng)封閉, 則稱C是三角范疇D的一個(gè)厚子范疇.上面涉及的三角子范疇都是厚子范疇.

引理1[2,10]1) 設(shè)C是三角范疇D的一個(gè)厚子范疇, 若典范嵌入i*: C→D有一個(gè)右伴隨i!: D→C, 則存在下列右粘合:

2) 設(shè)(U,V)和(V,W)是D中的兩個(gè)穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu), 則對(duì)于典范嵌入i*: V→D, 存在如下粘合:

并且Imj!=U, Imj*=W.

定義4若對(duì)R上任意正合序列

其中每個(gè)Di(i≥0)都是Ding-投射模, 則有Kerdn∈DP, 此時(shí)稱環(huán)R具有性質(zhì)(*).

引理2[6]設(shè)R是具有性質(zhì)(*)的環(huán), 則下列結(jié)論成立:

1) (K-,db(DP),Kdac(DP))是K∞,db(DP)中的一個(gè)穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu);

2) 典范嵌入i*:K-,db(DP)→K∞,db(DP)誘導(dǎo)出右粘合

引理3[2]設(shè)D是三角范疇, C是D的厚子范疇,q: D→D/C是商函子.則對(duì)于D中的穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu)(U,V), 下列敘述等價(jià):

1) (q(U),q(V ))是D/C中的穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu);

2) (U∩C,V∩C)是C中的穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu).

特別地, 假設(shè)C是U(或者V)的一個(gè)三角子范疇, 則V(或者U)可視為D/C的三角子范疇.此時(shí), (U/C,V)(或者(U,V/C))是D/C中的穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu).

命題1設(shè)R是任意環(huán), 則(K+,db(DP)/Kb(DP),K-,db(DP)/Kb(DP))構(gòu)成了三角范疇K∞,db(DP)/Kb(DP)中的穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu).

證明: 首先, 有

HomK∞,db(DP)/Kb(DP)(K+,db(DP)/Kb(DP),K-,db(DP)/Kb(DP))=0,

對(duì)于任意X∈K∞,db(DP), 都有短正合序列

因?yàn)樵撔蛄惺强闪训? 所以其誘導(dǎo)出了同倫范疇的三角：

顯然,X≥1∈K+,db(DP),X≤0∈K-,db(DP), 結(jié)論成立.

定理1設(shè)環(huán)R相對(duì)于DP具有性質(zhì)(*), 則下列結(jié)論成立:

1) (K+,db(DP)/Kb(DP),K-,db(DP)/Kb(DP)),(K-,db(DP)/Kb(DP),Kdac(DP))是K∞,db(DP)/Kb(DP)中的穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu);

2) 典范嵌入i*:K-,db(DP)/Kb(DP)→K∞,db(DP)/Kb(DP)誘導(dǎo)出粘合

(2)

并且Imj!=K+,db(DP)/Kb(DP), Imj*=Kdac(DP).

證明: 由命題1知, (K+,db(DP)/Kb(DP),K-,db(DP)/Kb(DP))構(gòu)成三角范疇K∞,db(DP)/Kb(DP)中的穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu).由引理2知, (K-,db(DP),Kdac(DP))是K∞,db(DP)中的穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu).因?yàn)镵b(DP)是K-,db(DP) 的三角子范疇, 所以由引理3知, (K-,db(DP)/Kb(DP),Kdac(DP))是K∞,db(DP)/Kb(DP)中的穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu).

由引理1中穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu)和粘合的關(guān)系可得式(2)中的粘合, 并且易得Imj!=K+,db(DP)/Kb(DP),Imj*=Kdac(DP).

對(duì)偶地, 相對(duì)于Ding-內(nèi)射?？傻萌缦陆Y(jié)論.

定義5若對(duì)R上任意正合序列

其中每個(gè)Di(i≤1)都是Ding-內(nèi)射模, 則有Imd0∈DI, 此時(shí)稱環(huán)R具有性質(zhì)(#).

命題2設(shè)環(huán)R具有性質(zhì)(#), 則下列結(jié)論成立:

命題3設(shè)環(huán)R具有性質(zhì)(#), 則下列結(jié)論成立:

2) 典范嵌入i*:K+,db(DI)/Kb(DI)→K∞,db(DI)/Kb(DI)誘導(dǎo)出粘合: