對(duì)一道聯(lián)考試題的探究

安徽省寧國(guó)中學(xué) 陳曉明 242399

參加各級(jí)各類聯(lián)考是高考復(fù)習(xí)過(guò)程中重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，筆者所在學(xué)校每屆高三都要參加在安徽享有盛譽(yù)的“江淮十?！甭?lián)考.2019 屆高三第二次聯(lián)考于2018 年11 月16日如期舉行,理科數(shù)學(xué)第12 題（選擇題壓軸題）看似簡(jiǎn)單，但最后幾乎令所有學(xué)生“崩潰”！有的同學(xué)花了很長(zhǎng)時(shí)間卻半途而廢，只好亂猜一個(gè)答案；有的同學(xué)看完題目就亂猜一個(gè)答案；有的同學(xué)到最后做這一道題，眼看考試時(shí)間來(lái)不及了，連題目都沒(méi)看，直接亂猜一個(gè)答案.因此這題的得分率不言而喻.筆者所在學(xué)校許多教師也沒(méi)有做出來(lái)，包括筆者在內(nèi)，都感嘆道“史上最難數(shù)學(xué)選擇題”！

題目 已知函數(shù)f(x)=x(e2x-a)-lnx，若f(x)≥1 在(0,+∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）.

A.( -∞,e-1] B.( - ∞,e-1)

C.( - ∞,2] D.( - ∞,2)

1 試題解答

2 分析與思考

2.1 關(guān)于知識(shí)，能力，方法，素養(yǎng)

本題是一道不等式恒成立問(wèn)題，也是求參數(shù)取值范圍問(wèn)題.利用分離參數(shù)法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題進(jìn)行求解，屬于通性通法.本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值.考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，分析解決問(wèn)題的能力，屬難題.考查的主要思想方法有函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想，設(shè)而不求法，整體代換法，構(gòu)造法.

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題不是僅解決學(xué)會(huì)了多少知識(shí)點(diǎn)，而是研究在解決問(wèn)題的過(guò)程中所涉及知識(shí)點(diǎn)上有多少思維點(diǎn)，有哪些關(guān)鍵點(diǎn)，蘊(yùn)含了哪些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).我們的課堂教學(xué)應(yīng)該“慢”下來(lái)，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握思維點(diǎn)，創(chuàng)造學(xué)生思考的時(shí)間和機(jī)會(huì)，放手讓學(xué)生“大展拳腳”，觸發(fā)學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).否則，在教師的“過(guò)度”指導(dǎo)下，學(xué)生更多地是模仿，而少有思考，能力得不到培養(yǎng)，素養(yǎng)得不到提升，結(jié)果出現(xiàn)“聽起來(lái)頭頭是道，做起來(lái)莫名其妙”的現(xiàn)象！

2.2 關(guān)于“找點(diǎn)”

通過(guò)分離參數(shù)法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題是學(xué)生很容易想到的，而如何求最值呢？因?yàn)檫@里沒(méi)有端點(diǎn)值，所以學(xué)生也很容易想到利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)才能成為原函數(shù)的極值點(diǎn)，所以我們要探究導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)：是否有？有幾個(gè)？“是否有”的問(wèn)題可以通過(guò)零點(diǎn)存在性定理來(lái)判斷；“有幾個(gè)”的問(wèn)題可以再次利用導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性、極值，從而確定導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)（可以借助導(dǎo)函數(shù)的圖像，觀察導(dǎo)函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，同時(shí)要注意是否為零點(diǎn)）.因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)的符號(hào)由分子h(x)=2x2e2x+lnx決定，因此只需判斷分子的符號(hào)即可.于是想到對(duì)分子h(x)=2x2e2x+lnx求 導(dǎo)，易 知h′(x)=4(x2+x)e2x+＞0 ，所 以h(x)=2x2e2x+lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增，因此分子h(x)=2x2e2x+lnx若有零點(diǎn)也最多只有一個(gè).這里如果不是h′(x)＞0，從而得到h(x)具有單調(diào)性，那么問(wèn)題就變得復(fù)雜.接下來(lái)再用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)h(x)是否有零點(diǎn)，這時(shí)出現(xiàn)一個(gè)疑難問(wèn)題，就是在定義域內(nèi)“找點(diǎn)”（可確定函數(shù)值的符號(hào)），因?yàn)閘nx的存在，導(dǎo)致無(wú)法取到定義域( )0,+∞的左端點(diǎn)值0，右端點(diǎn)值又是無(wú)窮大∞，那怎么辦？所以學(xué)生普遍感到困惑！要找到正確的“點(diǎn)”，有時(shí)需要嘗試，便于計(jì)算函數(shù)值是前提.這里容易發(fā)現(xiàn)h(1)＞0，于是我們可在1 的左右找，前面解法中找的是當(dāng)然不唯一，例如還可取等等.由此也看出我們“找點(diǎn)”有時(shí)找的不一定是端點(diǎn)值，只要易于判斷函數(shù)值的符號(hào)就行.

利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)的存在性時(shí)，有時(shí)“找點(diǎn)”是一個(gè)難點(diǎn)，很不好找.而這一難點(diǎn)的考查經(jīng)常出現(xiàn)在各級(jí)各類考試中，特別是高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷.

引例（2015 年新課標(biāo)全國(guó)卷I 文科第21 題）：設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).關(guān)于該問(wèn)題的解決以及更多的例子可參閱筆者文章《對(duì)幾道高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷導(dǎo)數(shù)試題命題規(guī)律的探究》[]1.

2.3 關(guān)于隱零點(diǎn)

2.4 關(guān)于構(gòu)造函數(shù)

仔細(xì)分析高考中的導(dǎo)數(shù)題的求解，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解題方法的選擇，欲得結(jié)論的嘗試等問(wèn)題，這也是對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的考查.這就要求學(xué)生在審題和探索解題思路時(shí)，要有足夠快的反應(yīng)能力，尤其是在發(fā)現(xiàn)已有的思路行不通時(shí)，要知道從哪些方面去轉(zhuǎn)換思路，提出新的問(wèn)題，尋找突破的途徑.對(duì)于這些，如果學(xué)生平常有多次類似的解題經(jīng)歷，在考場(chǎng)上就不至于慌張，從而也就能想出創(chuàng)造性的解題方法來(lái).這就要求教師在日常的教學(xué)中要多對(duì)學(xué)生鼓勵(lì)，讓他們敢于嘗試，尤其是要容許學(xué)生犯錯(cuò)誤，然后從錯(cuò)誤中反思，再尋找正確解法.長(zhǎng)此以往，學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)一定能得到培養(yǎng),數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升.

3 這樣的題能考嗎？

3.1 從核心素養(yǎng)視角看

通過(guò)前面的分析與思考，我們不難發(fā)現(xiàn)此題很好地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).檢驗(yàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的高低，不是讓學(xué)生寫核心素養(yǎng)的論文，而是讓學(xué)生做數(shù)學(xué)題，會(huì)做數(shù)學(xué)題不一定說(shuō)明核心素養(yǎng)高，但核心素養(yǎng)必須通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)實(shí)現(xiàn).那就要看做什么樣的數(shù)學(xué)題，是怎樣做出來(lái)的.此題雖然難度大，但是它能很好地考查學(xué)生的能力、素養(yǎng).

在目前高考指揮棒下，數(shù)學(xué)課堂存在著一種普遍現(xiàn)象：老師講的多，學(xué)生聽的多；老師展示的多，學(xué)生看的多；老師自問(wèn)自答的多，學(xué)生隨聲附和的多；關(guān)鍵點(diǎn)、難點(diǎn)被老師直接點(diǎn)破的多，導(dǎo)致學(xué)生似懂非懂的多，這種現(xiàn)象產(chǎn)生的直接結(jié)果是：課堂上學(xué)生仿佛都能聽懂，課后自己真正會(huì)做的少.課堂上有意擠占學(xué)生的思考空間和將學(xué)生的思維“模式化、標(biāo)準(zhǔn)化”，充分利用課堂向?qū)W生灌輸更多的“知識(shí)”，這樣的方式也許會(huì)有短期效果.但久而久之會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生依賴心理，數(shù)學(xué)思維能力、解題能力難有實(shí)質(zhì)性的提高，不能真正達(dá)到對(duì)問(wèn)題理解的狀態(tài)，在考試中遇到熟悉的題型還可能有一個(gè)模式化的反應(yīng)，但遇到陌生的新情境問(wèn)題，無(wú)“型”可套時(shí)，就難以做到隨機(jī)應(yīng)變，只得“束手就擒”了[]4.

因此，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角看，這道試題出得很有創(chuàng)意，是試卷的一個(gè)亮點(diǎn)，一道好題！筆者也從未看過(guò)這種通過(guò)再次構(gòu)造函數(shù)法將條件化簡(jiǎn)再進(jìn)行代換的題型，這在高考數(shù)學(xué)（特別是全國(guó)卷）的基礎(chǔ)上更進(jìn)了一步. 這樣有價(jià)值的一道題，當(dāng)然能考.

3.2 從考試區(qū)分度看