跨越300年的數(shù)學(xué)傳奇：費(fèi)馬大定理

劉新亮 林開(kāi)亮

近日熱播的電視連續(xù)劇《天才基本法》極大地激發(fā)了青少年觀眾學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，劇情中特別提到著名的費(fèi)馬大定理。費(fèi)馬大定理是數(shù)學(xué)史上光輝燦爛的一頁(yè)，讓我們一起來(lái)詳細(xì)了解一下這個(gè)定理吧！

“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”：費(fèi)馬

一般認(rèn)為，現(xiàn)代數(shù)論的創(chuàng)始人是費(fèi)馬（1601—1665年）。他是法國(guó)數(shù)學(xué)家，但其主業(yè)是律師，數(shù)學(xué)是他的業(yè)余愛(ài)好。由于他在數(shù)學(xué)的許多分支如數(shù)論、微積分、解析幾何、概率都有根本性貢獻(xiàn)，被后人冠冕為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。

事實(shí)上，在17世紀(jì)初，數(shù)學(xué)這一學(xué)科剛剛從歐洲長(zhǎng)達(dá)千年的中世紀(jì)黑暗時(shí)代中蘇醒過(guò)來(lái)，并不受重視。當(dāng)時(shí)，整個(gè)歐洲國(guó)家只有牛津大學(xué)設(shè)有專門的數(shù)學(xué)教授職位（始于1619年），所以17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家大多數(shù)是業(yè)余的。而費(fèi)馬，正是其中最出類拔萃的一個(gè)。

費(fèi)馬大定理的誕生

費(fèi)馬數(shù)論研究工作的源泉，來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（大約生活在200—284年）的一部著作——《算術(shù)》。這部書(shū)共有13卷，但只有6卷留存于世。

1621年，法國(guó)數(shù)學(xué)家貝切特（1581—1638年）將《算術(shù)》譯成了拉丁文。除此之外，貝切特還編輯了一本數(shù)學(xué)趣味謎題集，收入許多著名的謎題，其中之一是砝碼問(wèn)題：“最少需要多少個(gè)砝碼，可以在天平上稱出1克到40克之間任何整數(shù)克的重量？”

丟番圖的《算術(shù)》其實(shí)是一本問(wèn)題集。其中有100多個(gè)問(wèn)題，丟番圖對(duì)每個(gè)問(wèn)題都給出了詳盡的解答。但費(fèi)馬感興趣的是跳出原題、觸類旁通，去思考和解決一些相關(guān)的、更加微妙的問(wèn)題。

勾股定理示意圖

正如費(fèi)馬所說(shuō)，在這個(gè)“想前人之未曾想”的過(guò)程中，他“發(fā)現(xiàn)了許多極優(yōu)美的定理”。著名的費(fèi)馬大定理，就是這樣誕生的。

費(fèi)馬大定理到底講了什么？

在《算術(shù)》第2卷中，丟番圖討論了勾股數(shù)，也就是方程x2+y2=z2的正整數(shù)解。例如：（x，y，z）=（3，4，5）就是最簡(jiǎn)單的一組勾股數(shù)，即我們常說(shuō)的“勾三股四弦五”。

費(fèi)馬讀到丟番圖的這一段討論時(shí)，突發(fā)奇想，如果將該方程中的指數(shù)2替換成3會(huì)如何呢？費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)，此時(shí)的方程x3+y3=z3不再有正整數(shù)解。更進(jìn)一步，他將方程中的指數(shù)3替換成任意一個(gè)更大的整數(shù)n，得到方程xn+yn=zn。

費(fèi)馬得出以下一般結(jié)論：當(dāng)n大于2時(shí)，方程xn+yn=zn沒(méi)有正整數(shù)解。

他在《算術(shù)》這一段的空白處寫(xiě)道：“對(duì)此命題，我有一絕妙證明，可惜此處空白太小，無(wú)法寫(xiě)下?！边@一行簡(jiǎn)短的評(píng)注，引起了后世許多數(shù)學(xué)家的強(qiáng)烈興趣。但誰(shuí)也不知道費(fèi)馬所寫(xiě)的“絕妙證明”究竟是怎樣的。費(fèi)馬本人在1640年給出了n=4時(shí)的證明，而n=3時(shí)的證明是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（1707—1783年）在100多年后（1758—1770年間）才給出的。

為什么350年后才有定論？

那么，當(dāng)n等于其他正整數(shù)時(shí)呢？此后，歷史上著名的數(shù)學(xué)家?guī)缀醵紖⑴c了對(duì)這一命題的證明，但在長(zhǎng)達(dá)350多年的時(shí)間里始終懸而未決。

直到1995年，費(fèi)馬的上述論斷才被英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯（1953—）證明。但懷爾斯精彩絕倫的證明，絕非費(fèi)馬當(dāng)時(shí)所能理解的那類證明。因?yàn)閼褷査褂玫搅私鷶?shù)論最前沿的思想、語(yǔ)言和技術(shù)，經(jīng)過(guò)8年、用130頁(yè)的篇幅才證明了費(fèi)馬大定理。

證明費(fèi)馬大定理，是懷爾斯兒時(shí)的夢(mèng)想。如他所說(shuō)：“對(duì)每個(gè)人而言，實(shí)現(xiàn)童年的夢(mèng)想，富有奇妙的魔力。只有極少數(shù)人能夠美夢(mèng)成真，而我就是其中一個(gè)幸運(yùn)兒。”

也許有人會(huì)問(wèn)，這么多數(shù)學(xué)家花費(fèi)大量時(shí)間證明一個(gè)命題，意義是什么呢？其實(shí)他們證明費(fèi)馬大定理的過(guò)程，是不斷開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)新領(lǐng)域的過(guò)程。例如，歐拉證明費(fèi)馬大定理n=3時(shí)，發(fā)明了虛數(shù)，擴(kuò)展了數(shù)域，之后虛數(shù)在信息學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。

費(fèi)馬在空白處寫(xiě)下那段話時(shí)，未必知道自己的研究有什么用，但是后世的研究者已經(jīng)將其發(fā)揮出更大的效用。因此，時(shí)至今日，費(fèi)馬大定理穿越將近400年的時(shí)間，依然有其獨(dú)特的魅力！