數(shù)學(xué)的力量：讓我們成為更好的人

李孝輝

《數(shù)學(xué)的力量：讓我們成為更好的人》一書的作者弗朗西斯·蘇的父母都是華人，他在2015年成為美國數(shù)學(xué)協(xié)會（MAA）有史以來的首位非白人會長，是一位卓有成就的數(shù)學(xué)家。

他在即將卸任MAA會長時發(fā)表了一場令人動容、引起轟動的告別演講。他在演講中將數(shù)學(xué)描述成通往人類繁榮的大道，認(rèn)為對數(shù)學(xué)的探尋能滿足人類的五種基本需求：游戲、美、真理、公正和愛。本書是在這個演講的基礎(chǔ)上拓展而成的。

數(shù)學(xué)對一個人的意義到底在哪里？一個等價的問題是數(shù)學(xué)到底有怎樣的育人功能。

與抽象地強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個人智力發(fā)展的過程中有著不可替代作用”不同，弗朗西斯認(rèn)為應(yīng)該從了解“數(shù)學(xué)是如何與人類心靈深處的渴望緊密相連的”入手去討論數(shù)學(xué)是什么、為什么要學(xué)數(shù)學(xué)。

弗朗西斯的答案是“數(shù)學(xué)促進(jìn)人類的繁榮”，而“人類的繁榮”則指存在和行為相互統(tǒng)一，人人都能發(fā)揮自己的潛能并幫助他人實現(xiàn)潛能，有尊嚴(yán)地行事，并維護(hù)他人的尊嚴(yán)，即便在充滿挑戰(zhàn)的環(huán)境中，也保持正直的人格。

何實現(xiàn)人類的繁榮？弗朗西斯推崇亞里士多德的觀點——繁榮來自美德的實踐，并認(rèn)為“正確的數(shù)學(xué)實踐，可以培養(yǎng)出有助于人類繁榮的美德”。

那么，正確的數(shù)學(xué)實踐培養(yǎng)了哪些有助于人類繁榮的美德呢？弗朗西斯在本書中給出了全面而深刻的闡述。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)研究的核心意義在于探索和理解。

探索是人類心靈深處的渴望，也是人類繁榮的標(biāo)志。探索培養(yǎng)了想象力的美德，激發(fā)了創(chuàng)造力的美德，孕育出對迷人魅力的期待。

理解是對事物意義的追求，它造就了重要的美德：第一，構(gòu)建故事的美德（這里的“故事”某種意義上可以理解為背景、情景、關(guān)系、聯(lián)系等，通過“故事”把各種想法聯(lián)系起來，實現(xiàn)數(shù)學(xué)的意義建構(gòu)，將“故事”融入新知識使其具有生命力）;第二，抽象思維的美德（抽象，通過在兩個具有類似結(jié)構(gòu)或相似表現(xiàn)的事物之間建立聯(lián)系而豐富事物的意義）;第三，對意義的追求產(chǎn)生了堅持和沉思的附加美德。他指出，辨明一個想法的意義需要持久思考，這是解決問題的艱苦工作，你必須坐下來專注于一個數(shù)學(xué)問題，并對其冥思苦想，這樣你會形成思想的關(guān)聯(lián)，并構(gòu)建故事來解釋你所看到的規(guī)律。

數(shù)學(xué)的意義遠(yuǎn)不止它的效用，而數(shù)學(xué)之美，正是通過我們從一個視角轉(zhuǎn)向另一個視角，在反思一個思想的多重意義的過程中找到的。因此，弗朗西斯認(rèn)為，“數(shù)學(xué)是規(guī)律的科學(xué)，也是賦予這些規(guī)律意義的藝術(shù)”。

探索和理解是正確的數(shù)學(xué)實踐的核心。反觀我們的數(shù)學(xué)課堂，可以發(fā)現(xiàn)，探索和理解淪為副歌，而記憶加模仿卻成了主旋律。

如何改變這種狀況？弗朗西斯認(rèn)為，成為一名數(shù)學(xué)探索者的唯一要求是擁有能夠提出“為什么？怎么樣？如果……那么……”之類問題的能力。只要有機(jī)會，我們就要反駁數(shù)學(xué)即記憶的觀點，并用數(shù)學(xué)即探索的觀點取代它。

一個數(shù)學(xué)記憶者不知道如何應(yīng)對不熟悉的情形，但一個數(shù)學(xué)探索者可以靈活地適應(yīng)不斷變化著的條件，因為他已學(xué)會提出問題，而這將使他在面對陌生情況時能從容應(yīng)對。所以，改變課堂從培養(yǎng)學(xué)生的提問能力開始。

同時，為了造就構(gòu)建故事和抽象思維的美德，培養(yǎng)堅持和沉思的美德，我們必須把“意義的追求”作為課堂的核心任務(wù)。

在新課程實施過程中，我們曾經(jīng)提出如下觀點：以研究一個數(shù)學(xué)對象的“基本套路”為指導(dǎo)，設(shè)計出體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性的系列化數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生通過對現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)抽象獲得數(shù)學(xué)對象，構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對象的基本路徑，發(fā)現(xiàn)值得研究的數(shù)學(xué)問題，探尋解決問題的數(shù)學(xué)方法，獲得有價值的數(shù)學(xué)結(jié)論，建立數(shù)學(xué)模型解決問題。要使學(xué)生掌握抽象數(shù)學(xué)對象、發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題的方法，將此作為教學(xué)的關(guān)鍵任務(wù)，以實現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越。

對照弗朗西斯的觀點，可以發(fā)現(xiàn)，我們所強(qiáng)調(diào)的也是“探索和意義的追求”，與他注重的“正確的數(shù)學(xué)實踐”不謀而合。

那么，從數(shù)學(xué)認(rèn)知活動的角度看，數(shù)學(xué)教學(xué)中到底應(yīng)以怎樣的方式來開展“正確的數(shù)學(xué)實踐”呢？弗朗西斯認(rèn)為，正確的數(shù)學(xué)實踐應(yīng)基于人類心靈深處的渴望。

他在本書中討論了源于人類心靈深處的渴望、標(biāo)志著人類繁榮的人的深層次需求與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，包括探索、意義、游戲、美、永恒、真理、奮斗、力量、公正、自由、團(tuán)體、愛等。他認(rèn)為，如果這些需求得到滿足，那么越來越多的、來自各種背景的人就會被吸引到數(shù)學(xué)王國中來。

可以看到，這些需求與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，許多都是我們熟悉的，例如通過數(shù)學(xué)滿足對真理、美、永恒、力量、自由等的需求，但也有一些是我們比較陌生的，例如公正、愛、游戲等。下面以建立游戲與數(shù)學(xué)的聯(lián)系為例，看看我們應(yīng)該以怎樣的方式實現(xiàn)正確的數(shù)學(xué)實踐。

游戲的這些特征在數(shù)學(xué)的探索中是如何體現(xiàn)的呢？

弗朗西斯認(rèn)為，數(shù)學(xué)使大腦成為游戲的樂園。數(shù)學(xué)探索是一種引人入勝的游戲：在探索規(guī)律、培養(yǎng)對事物運作方式的好奇心的過程中，樂趣將隨著各種想法的出現(xiàn)而得到激發(fā)。

數(shù)學(xué)家陳省身說“數(shù)學(xué)好玩”，這也是弗朗西斯的觀點，看來這是數(shù)學(xué)研究者的共同體驗。數(shù)學(xué)家對一個項目的研究通常也是源于“好玩”：思考規(guī)律，玩味想法，探究何為真實，并享受來自過程的各種驚喜。

在探索過程中，數(shù)學(xué)游戲培養(yǎng)了好奇心、發(fā)展了專注力，這是一種強(qiáng)烈的充滿愉悅的精神活動，可以避開日常生活的紛擾。

數(shù)學(xué)游戲培養(yǎng)了努力中的自信——你知道努力是怎樣的，因為你已習(xí)慣于此并樂于接受，你意識到如果自己的大腦因努力而疼痛，那么它就是令人愉悅的思維活動。數(shù)學(xué)游戲培養(yǎng)了等待過程中的耐心，一個數(shù)學(xué)問題的解決也許需要幾年時間，直到你發(fā)現(xiàn)它的結(jié)果。

數(shù)學(xué)游戲培養(yǎng)了毅力，每周的數(shù)學(xué)探究使我們更迫切地迎接下一個問題，不論它是什么。數(shù)學(xué)游戲培養(yǎng)了轉(zhuǎn)換觀點的能力，使我們能從多個視角看問題，形成一種為社會做出貢獻(xiàn)的開放精神。

游戲是我們作為人類的一種本質(zhì)需求，對數(shù)學(xué)游戲的渴望會吸引人們?nèi)パ芯坎⑾硎軘?shù)學(xué)，在研究和享受數(shù)學(xué)的過程中使希望、好奇心、專注力、自信、耐心、毅力和開放的態(tài)度等美德得到培養(yǎng)。

弗朗西斯的這些觀點醍醐灌頂，極具啟發(fā)性，使我們清晰地看到當(dāng)下流行的“刷題教學(xué)”是如何扼殺學(xué)生的天性、傷害學(xué)生對數(shù)學(xué)研究的渴望，又是如何背離數(shù)學(xué)育人的本來目標(biāo)的。這樣的教學(xué)把數(shù)學(xué)當(dāng)成了一堆冷冰冰的法則，根本不存在數(shù)學(xué)游戲中出現(xiàn)的那種跌宕起伏、令人心跳的過程，使弗朗西斯所描繪的希望、好奇心、專注力、自信、耐心、毅力和開放的態(tài)度等美德的培養(yǎng)失去土壤，必將湮滅學(xué)生對數(shù)學(xué)的內(nèi)心渴望之火。

如果我們的教學(xué)能充分利用“好玩”這一數(shù)學(xué)本性，通過有數(shù)學(xué)含金量的問題對學(xué)生形成真正的智力挑戰(zhàn)，把學(xué)生對游戲這一人類的深層渴望激發(fā)出來，那么好玩的數(shù)學(xué)就能鼓勵他們?nèi)L試，無聊的“刷題”也就能轉(zhuǎn)化成一次次令人興奮的探索和規(guī)律、意義的追尋，這樣，有助于人類美德的培養(yǎng)也就自然而然、水到渠成了。