從解答習(xí)題到解決問題

劉族剛 葛紅艷

【摘?要】??本文以高中數(shù)學(xué)人教版教材（新課程）必修第一冊中的一道習(xí)題為載體，找出習(xí)題背后的問題的實(shí)質(zhì)，并采用多種方法對(duì)其進(jìn)行求解，試圖從“通法”到“通性”，從“特殊”到“一般”，從“解答習(xí)題”到“解決問題”.

【關(guān)鍵詞】??教材習(xí)題;解決問題;多解;拓廣

波利亞說“不能把獲取答案作為解題的單一目標(biāo)，更不能看成是相應(yīng)解題活動(dòng)的終結(jié)，一定要形成一種習(xí)慣或意識(shí)，雖然習(xí)題得到了解決，還要繼續(xù)向前，必然會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)”.本文從一道教材習(xí)題出發(fā)，先給出其方法、答案，然后理清其問題本質(zhì)，并用六種不同方法加以求解，然后繼續(xù)向前，試圖從“通法”到“通性”，從“特殊”到“一般”，從“解答習(xí)題”到“解決問題”，為學(xué)生掌握必備知識(shí)，發(fā)展關(guān)鍵能力提供有益嘗試.

習(xí)題再現(xiàn)??比較下列各題中三個(gè)值的大?。?/p>

（1）?log???0.2?6，?log???0.3?6，?log???0.4?6;

（2）?log??23，?log??34，?log??45.

解??（1）在同一坐標(biāo)系中，利用函數(shù)y=?log???0.2?x，y=?log???0.3?x及y=?log???0.4?x的圖象易得?log???0.2?6>?log???0.3?6>?log???0.4?6，過程略.

（2）?log??23-?log??34=??ln?3??ln?2?-??ln?4??ln?3?=??ln?2?3-?ln?4·?ln?2??ln?2·?ln?3?，

因?yàn)??ln?4·?ln?2?

所以???ln?2?3-?ln?4·?ln?2??ln?2·?ln?3?>0，

即??log??23>?log??34，??①

同理??log??34>?log??45，??②

由①②得??log??23>?log??34>?log??45.

注??本題結(jié)構(gòu)簡單，信息量小，但解題方法上有點(diǎn)“非主流”——不走“初等函數(shù)單調(diào)性”、“中介值”等尋常路，除了基本的“差比較法”外還用到了“基本不等式”和“放縮法”等，不僅方法上出乎學(xué)生意料，而且有較強(qiáng)綜合性，是一道實(shí)實(shí)在在的難題.

整體觀察?log??23，?log??34，?log??45這三個(gè)數(shù)的結(jié)構(gòu)，不難發(fā)現(xiàn)“3=2+1，4=3+1，5=4+1”，即每個(gè)對(duì)數(shù)的真數(shù)都比底數(shù)大1，透過現(xiàn)象看“同構(gòu)式”?（結(jié)構(gòu)、形式相同，只有變量不同）?本質(zhì)，就可以發(fā)現(xiàn)“習(xí)題”背后的“問題”，實(shí)現(xiàn)做一題、會(huì)一類、通一片的目的.

拓廣1???當(dāng)n>1時(shí)，比較?log??n（n+1）與?log???（n+1）?（n+2）的大小.

下面用多種方法解決：

解析1?差比較法

因?yàn)??ln?n·?ln?（n+2）

所以??log??n（n+1）-?log???（n+1）?（n+2）

=??ln?（n+1）??ln?n?-??ln?（n+2）??ln?（n+1）

=??ln?2?（n+1）-?ln?n·?ln?（n+2）??ln?n·?ln?（n+2）?>0，

故??log??n（n+1）>?log???（n+1）?（n+2）.

注??“差比較法”是比較大小或證明不等式中最基礎(chǔ)、最常見和最重要的方法，本題中，“換底公式”是差比較法的起點(diǎn)與基礎(chǔ)，利用“基本不等式”是確定符號(hào)的關(guān)鍵.

解析2?商比較法

顯然?log??n（n+1）與?log???（n+1）?（n+2）都是正數(shù)，

因?yàn)???log???（n+1）?（n+2）??log??n（n+1）

=?log???（n+1）?（n+2）·?log???（n+1）?n

=???log???（n+1）?（n+2）n?2???2

所以??log??n（n+1）>?log???（n+1）?（n+2）.

注??“商比較法”的依據(jù)是“若?A?B?>1，B>0，則A>B”，本題求解過程中還利用“基本不等式”以及“放縮法”，有較強(qiáng)的綜合性與技巧性.

解析3?分析法

要比較?log??n（n+1）與?log???（n+1）?（n+2）的大小，

只需要比較?log??n（n+1）-1與?log???（n+1）?（n+2）-1的大小，

即比較?log??n?n+1?n?與?log???（n+1）??n+2?n+1?的大小，

注意到?n+1?n?=1+?1?n?>?n+2?n+1?=1+?1?n+1?，

利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與單調(diào)性易知

log??n?n+1?n?>?log???（n+1）??n+1?n?>?log???（n+1）??n+2?n+1?，

所以??log??n（n+1）>?log???（n+1）?（n+2）.

注??“函數(shù)”、“方程”、“不等式”緊密相連，問題解決時(shí)，要讓“化歸與轉(zhuǎn)化”成為習(xí)慣，要讓“數(shù)形結(jié)合”成為本能.

解析4?綜合法

易知a>b>0，m>0時(shí)，

b?a?

則a>b>0，m>0時(shí)，?a?b?>?a+m?b+m?，

則??log??n（n+1）=??ln?（n+1）??ln?n

>??ln?（n+1）+?ln??n+1?n???ln?n+?ln??n+1?n??=??ln??（n+1）?2?n???ln?（n+1）

>??ln?（n+2）??ln?（n+1）?=?log???（n+1）?（n+2）.

注??教材是基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的根，是考試命題的源，是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的主要載體，關(guān)注教材例題習(xí)題，熟記“濃度不等式”等“二級(jí)結(jié)論”，往往能起到“以題解題、借力打力”的作用.

解析5?指對(duì)互化

設(shè)?log??n（n+1）=x，?log???（n+1）?（n+2）=y，

顯然?x>1，y>1，

則?n?x=n+1，（n+1）?y=n+2，

從而?1+n?x=n+2=（1+n）?y>1+n?y，

則?n?x>n?y，

又因?yàn)?n>1，

所以?x>y，

即??log??n（n+1）>?log???（n+1）?（n+2）.

注??指對(duì)互化是“化歸轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想“化生為熟”的具體體現(xiàn).

解法6?導(dǎo)數(shù)法

對(duì)比后發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)式子為“同構(gòu)式”.

若設(shè)f（x）=?log??x（x+1），x∈（1，+∞），

即比較f（n），f（n+1）大小，也就是只需研究f（x）的單調(diào)性即可.

由f（x）=?log??x（x+1）=??ln?（x+1）??ln?x?，x∈（1，+∞），

可得f′（x）=???ln?x?x+1?-??ln?（x+1）?x???ln?2?x?，x∈（1，+∞）.

因?yàn)?x>1，

所以??1?x?>?1?x+1?>0，?ln?（x+1）>?ln?x>0，

所以???ln?（x+1）?x?>??ln?x?x+1?，

則?f′（x）=???ln?x?x+1?-??ln?（x+1）?x???ln?2?x?<0，

即?f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

所以?f（n）>f（n+1），

即??log??n（n+1）>?log???（n+1）?（n+2）.

拓廣2???設(shè)a>b>1，t>0，則

log??a（a+t）

注??推證方法為“導(dǎo)數(shù)法”，即上面解法6，過程略.

深解習(xí)題三百道，不會(huì)解題也會(huì)解.在“雙減”深得民心和“學(xué)科核心素養(yǎng)”培養(yǎng)已成普遍共識(shí)的當(dāng)下，作為教師，只有有效開發(fā)和利用教材資源，認(rèn)真思考例題、習(xí)題的編排意圖，深刻領(lǐng)悟習(xí)題背后的問題本質(zhì)，并力求多解多變，才能讓“雙減”政策落地生根，才能真正的從“解答習(xí)題”走向“解決問題”.