y.(B) x=y.(C) x2."/>
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      第12屆(2010年) “希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題初中二年級(jí) 第1試

      2022-05-30 05:06:47
      數(shù)理天地(初中版) 2022年1期
      關(guān)鍵詞:題號(hào)邊形外角

      一、選擇題

      1. 設(shè)x=2001-2000,y=2000-1999, 則x,y的大小關(guān)系是()

      (A) x>y.(B) x=y.

      (C) x

      2. 代數(shù)式x+x-1+x-2的最小值是()

      (A) 0.(B) 1+2.

      (C) 1.(D) 不存在的.

      3.設(shè)b≠c,且滿足(3+1)(a-b)+2(b-c)=a-c,則a-bb-c的值()

      (A) 大于零.(B) 等于零.

      (C) 小于零.(D) 的正負(fù)號(hào)不確定.

      4.設(shè)y=x4-4x3+8x2-8x+5,其中x為任意實(shí)數(shù),則y的取值范圍是()

      (A) 一切實(shí)數(shù).

      (B) 一切正實(shí)數(shù).

      (C) 一切大于或等于5的實(shí)數(shù).

      (D) 一切大于或等于2的實(shí)數(shù).

      5.已知點(diǎn)D在線段EF上,下列四個(gè)等式:

      ① DE=2DF,

      ② DE=13EF,

      ③ EF=2DF,

      ④DF=12DE,

      其中能表示:點(diǎn)D是線段EF的一個(gè)三等分點(diǎn)的表達(dá)式是()

      (A) ①②③.(B) ②③④.

      (C) ①②④.(D) ①③④.

      6.已知△ABC中,∠B=60°, ∠C>∠A,且(∠C)2=(∠A)2+(∠B)2, 則△ABC的形狀是()

      (A) 銳角三角形.

      (B) 直角三角形.

      (C) 鈍角三角形.

      (D) 直角或鈍角三角形.

      7.凸n邊形中有且僅有兩個(gè)內(nèi)角為鈍角,則n的最大值是()

      (A) 4.(B) 5.

      (C) 6.(D) 7.

      圖1

      8.如圖1,ABCD是邊長為1的正方形,EFGH是內(nèi)接于ABCD的正方形,AE=a, AF=b, 若SEFGH=23,則|b-a|等于()

      (A) 22. (B) 23.

      (C) 32.(D) 33.

      9.某工廠生產(chǎn)的燈泡中有15是次品,實(shí)際檢查時(shí),只發(fā)現(xiàn)其中的45被剔除,另有120的正品也被誤以為是次品而剔除,其余的燈泡全部上市出售,那么該工廠出售的燈泡中次品所占的百分率是()

      (A) 4%.(B) 5%.

      (C) 6.25%.(D) 7.25%.

      10.在正常情況下,一個(gè)司機(jī)每天駕車行駛t小時(shí),且平均速度為v千米/小時(shí),若他一天內(nèi)多行駛1小時(shí),平均速度比平時(shí)快5千米/小時(shí),則比平時(shí)多行駛70千米,若他一天內(nèi)少行駛1小時(shí),平均速度比平時(shí)慢5千米/小時(shí),他將比平時(shí)少行駛()

      (A) 60千米.(B) 70千米.

      (C) 75千米.(D) 80千米.

      二、A組填空題

      11.計(jì)算:2001×20002000-2000×20012001=.

      12.已知關(guān)于x的不等式2m+x3≤4mx-12的解是x≥34,那么m的值是.

      13.Root of the equation x3+x15+x35+x63=2 is.

      (英漢小字典:root根; equation方程.)

      14.已知x2+2x+5是x4+ax2+b的一個(gè)因式,那么a+b的值是.

      15.若三角形的三個(gè)外角的比是2∶3∶4,則它的三個(gè)內(nèi)角的比是.

      16.若∠A的補(bǔ)角的余角大于30°,12∠B的余角的補(bǔ)角小于150°,那么∠A與∠B的大小關(guān)系是.

      17.如圖2,△ABC中,∠A=30°,CD是∠BCA的平分線,ED是∠CDA的平分線,EF是∠DEA的平分線,DF=FE,那么∠B的大小是.

      圖2圖3

      18.如圖3,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,點(diǎn)E平分DC,點(diǎn)P在BD上,且PE+PC=1,那么邊長AB的最大值是.

      19.已知x, y, z為實(shí)數(shù),且滿足x+2y-z=6,x-y+2z=3, 那么x2+y2+z2的最小值是.

      20.已知n是正整數(shù),且n4-16n2+100是質(zhì)數(shù),那么n=.

      三、B組填空題

      21.設(shè)A=|2x+1|-|1-2x|,則當(dāng)x<-12時(shí),A=;當(dāng)x>12時(shí),A=.

      22.Suppose both a and b are integer. As (a-2b)(8-a)=1, then a+b=or.(英漢小字典:integer整數(shù).)

      圖4

      23.如圖4,延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到五個(gè)角:∠B1, ∠B2, ∠B3, ∠B4, ∠B5,它們的和等于;若延長凸n邊形(n≥5)的各邊相交,則得到的n個(gè)角的和等于.

      24.我國在使用公元紀(jì)年的同時(shí),也一直沿用我國古代創(chuàng)立的干支紀(jì)年法,如甲午戰(zhàn)爭中的甲午,辛亥革命中的辛亥就是年份的名稱.干支中的干是天干的簡稱,是指:甲乙丙丁戊己庚辛壬癸;支是地支的簡稱,是指:子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥.在紀(jì)年時(shí),同時(shí)分別從甲子開始,不改變各自的順序,循環(huán)往復(fù)下去.已知公元2001年是辛巳年,那么公元1999年是年,上一個(gè)辛巳年是公元年.

      25.若ab=bc=cd=da,則a-b+c-da+b-c+d的值是或.

      參考答案

      一、選擇題

      題號(hào)12345678910

      答案CBCDCABDBA

      提示

      1.x=2001-2000=12001+2000,

      y=2000-1999=12000+1999,

      因?yàn)?2001+2000>2000+1999,

      所以x

      選(C).

      2.要使代數(shù)式x+x-1+x-2有意義,需滿足條件:

      x≥0

      x-1[]≥[]0

      x-2≥0,

      所以x≥2.

      當(dāng)x≥2時(shí),

      x+x-1+x-2

      ≥2+2-1+2-2

      =2+1.

      即x=2時(shí),原代數(shù)式取得最小值2+1.

      選(B).

      3.因?yàn)椋?+1)(a-b)+2(b-c)

      =a-c,

      所以(3+1)(a-b)+2(b-c)-

      (a-b)-(b-c)=0,

      所以3(a-b)+(2-1)(b-c)=0,

      即3(a-b)=(1-2)(b-c).

      因?yàn)閎≠c,b-c≠0.

      所以a-b[]b-c[SX)]=[SX(]1-[KF(]2[KF)][][KF(]3[KF)][SX)]<0.

      選(C).

      4.y=x4-4x3+8x2-8x+5

      =x4+4x2+4-4x3+4x2-8x+1

      =(x2+2)2-4x(x2+2)+(2x)2+1

      =[(x2+2)-2x]2+1

      =[(x-1)2+1]2+1,

      因?yàn)椋▁-1)2≥0,

      所以(x-1)2+1≥1.

      所以當(dāng)x=1時(shí),y取得最小值2,即y的取值范圍是一切大于等于2的實(shí)數(shù).

      選(D).

      5.點(diǎn)D在線段EF上.

      ①若DE=2DF,則D是線段EF的一個(gè)三等分點(diǎn).所以①正確.

      ②若DE=13EF,同樣點(diǎn)D是線段EF的一個(gè)三等分點(diǎn).

      所以②正確.

      ④若DF=12DE,點(diǎn)D也是線段EF的一個(gè)三等分點(diǎn).

      所以④正確.

      綜上可知①、②、④正確.

      故選(C).

      6.△ABC中,∠B=60°,∠C>∠A,

      設(shè)∠C=60°+x,則∠A=60°-x.

      因?yàn)椋ā螩)2=(∠A)2+(∠B)2

      所以 (∠B)2=(∠C)2-(∠A)2

      =(∠C+∠A)(∠C-∠A),

      所以3600=120×2x,

      所以x=15°.

      所以∠C=75°,∠A=45°.

      故△ABC是銳角三角形.

      故選(A).

      圖5

      7.因?yàn)橥筺邊形的外角和為360°,所以在外角中最多有3個(gè)角為鈍角,即內(nèi)角中最多有3個(gè)不是鈍角,再加上2個(gè)內(nèi)角為鈍角.

      所以n≤5.

      由圖5知,可以作出n=5的多邊形符合條件,

      故選(B).

      圖6

      8.如圖6,△AEF為直角三角形.

      所以EF2=AE2+AF2.

      又△AEF≌△DHE,

      所以AF=DE,

      所以a+b=1, a2+b2=23,①②

      ①2-②,得2ab=13,③

      ②-③,得(a-b)2=13,

      所以|a-b|=33.

      故選(D).

      9.設(shè)工廠的總產(chǎn)量為M,則次品為15M;正品為45M;檢查時(shí),被剔除的次品數(shù)為

      15M×45=425M,

      被剔除的正品數(shù)為

      45M×120=125M.

      所以出售的產(chǎn)品中次品數(shù)為

      15M-425M=125M.

      而出售產(chǎn)品的總量為

      125M+45M-125M=45M.

      所以該工廠出售的燈泡中次品所占的百分率為

      125M45M×100%=5%.

      故選(B).

      10.由題意知

      (t+1)(v+5)-vt=70,

      即5t+v+5=70,

      所以5t+v=65,

      若每天少行駛1小時(shí),且速度比平時(shí)慢5千米/小時(shí),則

      vt-(t-1)(v-5)

      =vt-vt+5t+v-5

      =60(千米).

      故選(A).

      二、A組填空題

      題號(hào)1112131415

      答案091092315∶3∶1

      題號(hào)1617181920

      答案∠A>∠B50°233143

      提示

      11.設(shè)a=2000,則

      原式=(a+1)·(10000a+a)-

      a[10000(a+1)+a+1]

      =10001·a·(a+1)-10001·a·(a+1)

      =0.

      12.原不等式可化為

      4m+2x≤12mx-3,

      所以(12m-2)x≥4m+3,①

      又因?yàn)樵坏仁降慕鉃閤≥34,

      即4x≥3,②

      比較①、②有

      412m-2=34m+3,

      解得m=910.

      13.因?yàn)?3=11×3=12×1-13,

      115=13×5=12×13-15,

      135=15×7=12×15-17,

      163=17×9=12×17-19.

      所以原方程化為

      121-13x+1213-15x+1215-17x+1217-19x=2.

      所以121-19x=2.

      解得x=92.

      14.因?yàn)閤2+2x+5是x4+ax2+b的一個(gè)因式,

      所以 x4+ax2+b

      =(x2+2x+5)·(x2+mx+n)

      =x4+(2+m)x3+(2m+n+5)x2

      +(5m+2n)x+5n,

      比較對(duì)應(yīng)各項(xiàng)系數(shù)知

      2+m=0,2m+n+5=a,5m+2n=0,5n=b,

      解得m=-2,n=5.

      所以a=2m+n+5=6,

      b=5n=25,

      所以a+b=31.

      15.設(shè)三角形的三個(gè)外角分別為2k、3k、4k.

      因?yàn)槿切蔚耐饨呛蜑?60°,

      所以三個(gè)外角分別為80°、120°、160°.

      相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角分別為100°、60°、20°.

      所以三個(gè)內(nèi)角之比為5∶3∶1.

      16.由已知得

      90°-(180°-∠A)>30°,

      所以∠A>120°.

      又180°-90°-12∠B<150°.

      所以12∠B<60°,

      即∠B<120°,

      所以∠A>∠B.

      圖7

      17.如圖7,在△DEF中,DF=EF,

      所以∠FDE=∠FED,

      即∠4=∠5.

      又CD、DE、EF分別是∠BCA,∠ADC,∠AED的平分線,

      所以∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6.

      所以∠5=∠3.

      所以EF∥CD

      (內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).

      所以∠6=∠2,

      即∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6.

      又∠1=∠3,

      所以BC∥DE.

      所以∠B=∠4=∠1.

      所以∠ACB=2∠B.

      在△ABC中,∠A+∠B+∠ACB=180°.

      所以30°+3∠B=180°.

      所以∠B=50°.

      圖8

      18.如圖8,取AD的中點(diǎn)F,連接PF、CF.

      因?yàn)锳BCD是菱形,

      所以AD=DC,

      ∠1=∠2.

      在△DEP和△DFP中,

      DE=DF,∠1=∠2,DP=DP,

      所以△DEP≌△DFP,

      PE=PF.

      又PE+PC=1,

      所以PF+PC=1.

      當(dāng)P點(diǎn)在BD上運(yùn)動(dòng)時(shí),只有當(dāng)F、P、C三點(diǎn)共線時(shí),PF+PC的值最小.

      即PF+PC≥FC,

      所以FC≤1,

      在△FDC中,∠CDF=60°,

      DF=12DC.

      所以△FDC是直角三角形,

      ∠CFD=90°.

      設(shè)AB=CD=x,則

      DF=12x,

      FC=CD2-DF2=32x.

      所以32x≤1,x≤233.

      所以AB≤233,

      即AB的最大值為233.

      19.已知x+2y-z=6,x-y+2z=3,①②

      ①-②得3y=3z+3,

      即y=z+1.③

      ③代入①得 x+2(z+1)-z=6,

      即x=4-z.

      所以x2+y2+z2

      =(4-z)2+(z+1)2+z2

      =16-8z+z2+z2+2z+1+z2

      =3(z-1)2+14

      ≥14.

      當(dāng)z=1,y=2,x=3時(shí),x2+y2+z2取得最小值14.

      20.因?yàn)?n4-16n2+100

      =n4+20n2+100-36n2

      =(n2+10)2-36n2

      =(n2+6n+10)(n2-6n+10),

      因?yàn)閚4-16n2+100為質(zhì)數(shù)且n是正整數(shù),

      又n2+6n+10≠1,

      所以n2-6n+10=1,

      即(n-3)2=0,

      所以n=3.

      三、B組填空題

      題號(hào)2122232425

      答案-2;210;14180°;(n-4)180°己卯;19410;-2

      提示

      21.當(dāng)x<-12時(shí),

      2x+1<0, 1-2x>0,

      所以A=|2x+1|-|1-2x|

      =-(2x+1)-(1-2x)

      =-2.

      當(dāng)x>12時(shí),2x+1>0, 1-2x<0.

      所以A=|2x+1|-|1-2x|

      =2x+1-(2x-1)

      =2.

      22.因?yàn)閍,b均為整數(shù),

      所以a-2b,8-a為整數(shù),

      又(a-2b)·(8-a)=1,

      所以a-2b=1,8-a=1,或a-2b=-1,8-a=-1.

      解得a=7,b=3,或a=9,b=5.

      所以a+b=10,或a+b=14.

      圖9

      23.(1)因?yàn)椤螧1A1A2是△A1B2B4的外角(如圖9).

      所以 ∠B1A1A2

      =∠B2+∠B4,

      又∠B1A2A1是△A2B3B5的外角,

      所以∠B1A2A1=∠B3+∠B5,

      所以 ∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5

      =∠B1+∠B1A1A2+∠B1A2A1

      =180°.

      當(dāng)多邊形為n邊形時(shí)(n≥5),順次連接B1B2,B2B3,…,BnB1.則多邊形B1B2…Bn為n邊形,它的內(nèi)角和為(n-2)·180°.

      ∠B1A2B2+∠B2A3B3+…+∠BnA1B1

      =(n-2)·180°.

      又n個(gè)小三角形△B1A2B2,△B2A3B3,…,△BnA1B1的內(nèi)角均為180°,一共是n·180°,即∠B1+∠B2+…+∠Bn等于n邊形內(nèi)角和減去n個(gè)小三角形的內(nèi)角和,再加上

      n邊形A1A2…An的內(nèi)角和.

      所以∠B1+∠B2+…+∠Bn

      =(n-2)·180°-n·180°+(n-2)·180°

      =(n-4)180°.

      (2)如圖9,在△B1A1A2中,

      ∠B1+∠B1A1A2+∠B1A2A1=180°,

      其中∠B1A1A2與∠B1A2A1都是多邊形A1A2…An的外角.

      將這n個(gè)小三角形△B1A1A2、△B2A2A3,…,△BnAnA1的內(nèi)角全部加起來,得

      n·180°=∠B1+∠B2+…+∠Bn-2·(n邊形外角和)

      所以 ∠B1+∠B2+…+∠Bn=(n-4)180°.

      當(dāng)n=5時(shí),

      ∠B1+∠B2+∠B3+∠B4+∠B5=180°.

      24.己卯;1941.

      25.設(shè)ab=bc=cd=da=k,

      所以d=a·k,c=d·k=a·k2,

      b=c·k=a·k3,a=b·k=a·k4.

      所以k4=1,

      即k=±1.

      當(dāng)k=1時(shí),a=b=c=d.

      a-b+c-da+b-c+d=0.

      當(dāng)k=-1時(shí),a=-b=c=-d,

      a-b+c-da+b-c+d=-2.

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