流體黏度對(duì)砂巖彈性模量頻散與衰減影響規(guī)律的實(shí)驗(yàn)及理論驗(yàn)證

李智， 歐陽(yáng)芳， 肖增佳， 劉欣澤， 賀艷曉， 趙建國(guó)*

1 中國(guó)石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測(cè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 102249 2 中國(guó)石油天然氣股份有限公司玉門(mén)油田環(huán)慶分公司， 甘肅慶陽(yáng) 745700

0 引言

地震波在地下介質(zhì)中傳播會(huì)引起孔隙流體與巖石骨架的相對(duì)流動(dòng)，即所謂的波致流(wave induced fluid flow, WIFF).已有研究表明，WIFF是引起地震波速度頻散和能量衰減的重要原因(Biot，1956a，b； Brennan and Stacey，1977；Winkler，1985；Han，1986；Han et al.，1986；Batzle et al.，2006； Gurevich et al.，2009，2010；He et al.，2010；Carcione and Gurevich，2011；Tang，2011；Chen et al.，2012；Tang et al.，2012，2013；Pimienta et al.，2016；Szewczyk et al.，2017；Ma et al.，2019；Yang et al.，2020).

為了揭示誘發(fā)WIFF的物理機(jī)制，長(zhǎng)期以來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者在巖石物理實(shí)驗(yàn)和理論方面進(jìn)行了深入的研究.在理論研究方面，Biot(1956a，b)建立了經(jīng)典的孔彈性理論，并從理論上發(fā)現(xiàn)了慢縱波的存在；之后，Dvorkin和Nur(1993)以及Dvorkin等(1994)將宏觀(guān)Biot機(jī)制與微觀(guān)噴射機(jī)制結(jié)合，建立了BISQ模型.另一方面，現(xiàn)有研究表明，巖石的速度頻散、衰減與軟孔的孔隙縱橫比密切相關(guān).為此，Mavko和Jizba(1991)假設(shè)巖石由干燥硬孔和含流體的軟孔(如顆粒接觸和微裂隙等)構(gòu)成，提出了濕骨架模型，并推導(dǎo)了高頻極限條件下巖石濕骨架彈性模量的計(jì)算公式；Dvorkin等(1995)進(jìn)一步將Mavko-Jizba理論拓展到全頻段，并建立了全頻噴射流模型.然而，Dvorkin全頻噴射流模型的低頻極限并不滿(mǎn)足公認(rèn)的Gassmann方程.鑒于此，Gurevich等(2010)引入壓力弛豫法與不連續(xù)張量公式重新定義了噴射流模型，其模型與Gassmann方程和Mavko-Jizba方程自洽，且模型中用來(lái)描述軟孔的參數(shù)(孔隙度和縱橫比)比BISQ模型的特征長(zhǎng)度R具有更明確的物理意義.然而，該模型僅考慮了某一特定縱橫比的軟孔隙所引起的噴射流效應(yīng)，從而難以描述實(shí)際巖石復(fù)雜的孔隙結(jié)構(gòu)的影響.為此，Deng等(2015)基于巖石微觀(guān)孔隙結(jié)構(gòu)特征將不同縱橫比的軟孔隙逐步迭代加入噴射流模型中，分析了彈性波的速度頻散和衰減規(guī)律.之后，歐陽(yáng)芳等(2021b)在此基礎(chǔ)上對(duì)經(jīng)典Gurevich噴射流模型進(jìn)行了進(jìn)一步擴(kuò)展，不僅考慮了微裂隙與硬孔隙間的局部流動(dòng)、硬孔隙與硬孔隙間的Biot宏觀(guān)流，還引入了微裂隙與微裂隙間的噴射流作用.

盡管巖石物理頻散理論已有相當(dāng)發(fā)展，但由于低頻實(shí)驗(yàn)技術(shù)仍處于起步階段，這些理論模型的可靠性仍有待巖石物理實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn).目前，已有部分國(guó)內(nèi)外研究機(jī)構(gòu)基于低頻巖石物理實(shí)驗(yàn)技術(shù)對(duì)地震頻段速度頻散和衰減的影響因素進(jìn)行了研究，尤其是孔隙流體黏度的影響.Batzle等(2006)通過(guò)改變溫度(22 ℃和63 ℃)調(diào)節(jié)甘油的流體黏度，研究了地震頻段飽和甘油砂巖樣品的速度頻散和規(guī)律，發(fā)現(xiàn)隨著甘油黏度的增加，實(shí)驗(yàn)測(cè)量的速度頻散曲線(xiàn)向較低頻方向移動(dòng)，與噴射流模型的預(yù)測(cè)結(jié)果一致.Subramaniyan等(2014)在水-甘油飽和條件下研究了地震頻段內(nèi)混合流體黏度對(duì)楓丹白露砂巖速度頻散和衰減的影響，該研究通過(guò)調(diào)整含水飽和度改變混合流體的黏度，并發(fā)現(xiàn)隨著飽和流體黏度的降低，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的衰減曲線(xiàn)逐漸向高頻移動(dòng)，該實(shí)驗(yàn)再次證明了噴射流是引起衰減的重要機(jī)制.與此同時(shí)，Mikhaltsevitch等(2011)也對(duì)甘油飽和條件的Berea砂巖進(jìn)行了低頻實(shí)驗(yàn)測(cè)量，其研究發(fā)現(xiàn)甘油飽和樣品的衰減峰值出現(xiàn)在約0.6 Hz(23 ℃)和約1.5 Hz(31 ℃)左右.Yin等(2017)在2～200 Hz頻帶內(nèi)對(duì)完全飽和致密砂巖進(jìn)行了低頻實(shí)驗(yàn)測(cè)量，研究了流體類(lèi)型、有效壓力等實(shí)驗(yàn)條件對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)流體黏度或有效壓力增加時(shí)，速度頻散曲線(xiàn)會(huì)向低頻移動(dòng).

盡管上述研究針對(duì)流體黏度對(duì)速度頻散和衰減的影響給出了一些重要實(shí)驗(yàn)結(jié)論，但這些實(shí)驗(yàn)研究所選用的巖石樣品通常為礦物成分相對(duì)單一的Berea砂巖或楓丹白露砂巖.而在絕大多數(shù)情況中，巖石樣品的礦物組分通常會(huì)比較復(fù)雜.其次，這些研究所選用的流體為黏度較大的甘油，其物理性質(zhì)與實(shí)際儲(chǔ)層流體差異較大，故實(shí)驗(yàn)結(jié)果難以應(yīng)用于儲(chǔ)層流體識(shí)別研究.此外，這些研究?jī)H從實(shí)驗(yàn)的角度研究了速度頻散規(guī)律，而并未從理論上對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行有效解釋.

鑒于此，本文利用低頻應(yīng)力-應(yīng)變技術(shù)和超聲傳輸技術(shù)在不同圍壓下，在1 Hz～3 kHz和1 MHz的頻率范圍內(nèi)對(duì)3塊中孔隙度砂巖和2塊低孔隙度砂巖樣品進(jìn)行了飽和不同黏度流體的彈性模量(楊氏模量、泊松比和衰減)測(cè)量，利用本課題組歐陽(yáng)芳等(2021b)提出的擴(kuò)展噴射流模型對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行解釋?zhuān)撃Ｐ涂紤]各類(lèi)孔隙之間的噴射流效應(yīng)，可以在微觀(guān)尺度上描述砂巖的頻散和衰減.

1 測(cè)試系統(tǒng)及實(shí)驗(yàn)標(biāo)定

1.1 低頻應(yīng)力-應(yīng)變測(cè)試系統(tǒng)

我們?cè)贐atzle等(2006)的基礎(chǔ)上構(gòu)建了低頻應(yīng)力-應(yīng)變測(cè)試系統(tǒng)(圖1a).基于應(yīng)力應(yīng)變法，該系統(tǒng)可以獲得巖石樣品在地震頻段的彈性模量和相關(guān)衰減.

實(shí)驗(yàn)時(shí)計(jì)算機(jī)控制函數(shù)發(fā)生器、功率放大器以及激振器產(chǎn)生特定頻率的軸向正弦應(yīng)力，將這個(gè)力施加在由巖石樣品和兩端標(biāo)準(zhǔn)鋁塊組成的測(cè)試樣品上，此時(shí)測(cè)試樣品表面的應(yīng)變片可以記錄粘貼位置的應(yīng)變響應(yīng).測(cè)試樣品表面間隔90°共粘貼16片應(yīng)變片(圖1b)，其中標(biāo)準(zhǔn)鋁塊上有8片縱向應(yīng)變片，巖石樣品上有縱向、橫向應(yīng)變片各4片.假設(shè)應(yīng)力在測(cè)試樣品中分布均勻，巖石樣品的楊氏模量E、泊松比υ和衰減Q-1可通過(guò)式(1—3)進(jìn)行計(jì)算.

(1)

(2)

(3)

圖1 低頻應(yīng)力-應(yīng)變測(cè)試系統(tǒng)(a) 裝置示意圖; (b) 樣品制備示意圖.Fig.1 Low frequency stress-strain testing system(a) Device diagram; (b) Sample preparation diagram.

1.2 實(shí)驗(yàn)標(biāo)定

為了測(cè)試系統(tǒng)的可靠性，本文選擇鋁和有機(jī)玻璃作為標(biāo)準(zhǔn)樣品進(jìn)行實(shí)驗(yàn)標(biāo)定，這兩種材料的物理性質(zhì)在諸多文獻(xiàn)中均有記載(Batzle et al.，2006； Madonna and Tisato，2013；Pimienta et al.，2015b，2016；Tisato and Madonna，2012).鋁和有機(jī)玻璃均可以視為無(wú)孔、均勻且各向同性的材料，其中鋁被認(rèn)為是一種彈性性質(zhì)不會(huì)隨頻率而變化的材料，而有機(jī)玻璃則是一種典型的黏彈性材料，其彈性性質(zhì)與頻率密切相關(guān)(Toks?z et al.，1979；Pimienta et al.，2015a，b；Huang et al.，2015；Gao et al.，2018).

圖2展示了標(biāo)準(zhǔn)樣品的測(cè)量結(jié)果并與Batzle等(2006)、Pimienta等(2015b)、Huang等(2015)、殷晗鈞(2018)、趙立明(2019)的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，可以看出：(1)1 Hz到3000 Hz范圍內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)鋁塊楊氏模量的平均值為67.35 GPa，泊松比的平均值為0.333，與超聲測(cè)試的結(jié)果67.61 GPa和0.331相差不大，衰減的值也很小，在0值附近，這一現(xiàn)象正好對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)鋁塊完全彈性的本征物理特性.同時(shí)，整體趨勢(shì)與殷晗鈞(2018)和趙立明(2019)的測(cè)試結(jié)果一致.(2)在有效穩(wěn)定觀(guān)測(cè)范圍內(nèi)，有機(jī)玻璃的楊氏模量從4.19 GPa上升至5.24 GPa，增加25%，出現(xiàn)較為明顯的頻散現(xiàn)象，并且其最高值仍低于超聲測(cè)量的6.04 GPa.通過(guò)黏彈性Cole-Cole模型將測(cè)試數(shù)據(jù)延展到超聲頻段，可以驗(yàn)證低頻測(cè)量數(shù)據(jù)的正確性，并且可以看出有機(jī)玻璃的楊氏模量隨頻率并不是線(xiàn)性增加，其衰減整體呈現(xiàn)隨頻率降低的趨勢(shì). 有效觀(guān)測(cè)范圍內(nèi)，有機(jī)玻璃的泊松比大體呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)，平均值為0.323，其衰減從0.07逐漸減小接近0，除與Batzle等(2006)、Huang等(2015)測(cè)量的衰減變化趨勢(shì)不同外，文獻(xiàn)中的測(cè)量數(shù)據(jù)與本文的測(cè)量數(shù)據(jù)變化相一致，尤其與Pimienta等(2015b)、趙立明(2019)在數(shù)值也近似.其中泊松比和楊氏模量具體數(shù)值差異可能是由于有機(jī)玻璃的制備工藝及批次不同造成(Batzle et al.，2006).標(biāo)定實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了低頻應(yīng)力-應(yīng)變測(cè)試系統(tǒng)的可靠性和準(zhǔn)確性.

圖2 不同標(biāo)準(zhǔn)樣測(cè)量結(jié)果(a) 標(biāo)準(zhǔn)鋁塊; (b) 有機(jī)玻璃.Fig.2 Measurement results of different standard samples(a) Aluminum; (b) Lucite.

圖3 砂巖樣品的孔隙結(jié)構(gòu)描述與分析Fig.3 Pore structure description of sandstone samples

2 樣品描述及實(shí)驗(yàn)過(guò)程

2.1 樣品描述

本文以5塊中國(guó)南海某油田的砂巖為例，在1～3 kHz和1 MHz進(jìn)行彈性模量測(cè)試，測(cè)試時(shí)飽和不同黏度的流體以驗(yàn)證流體黏度對(duì)于頻散和衰減的影響.

5塊砂巖樣品主要物理性質(zhì)如表1所示，按照其孔滲情況可以分成兩個(gè)對(duì)照實(shí)驗(yàn)組：(1)兩塊孔隙度在10%左右，滲透率小于1×10-3μm2的低孔隙度砂巖(30#和31#)；(2)三塊孔滲條件良好的中孔隙度砂巖(52#、64#和65#).從整體上看，樣品直徑約25.4 mm，長(zhǎng)度為40～50 mm；礦物成分均以石英為主中孔隙度砂巖孔隙發(fā)育且分布均勻(圖3a—c)，孔隙類(lèi)型以原生粒間孔為主，孔隙發(fā)育，分布均勻；低孔隙度砂巖孔隙類(lèi)型以粒間溶孔為主(圖3d—e)，由于壓實(shí)作用強(qiáng)烈，顆粒接觸較緊密，孔隙不發(fā)育.

表1 樣品基本信息Table 1 Sample description

2.2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

為了研究不同孔隙類(lèi)型流體以及流體黏度的影響，本文分別選用水、3#白油、7#白油、15#白油和甘油(表2)作為飽和流體，其中白油為物理性質(zhì)接近煤油的礦物油，密度介于0.831～0.883 g·cm-3之間，運(yùn)動(dòng)黏度為(50 ℃)5.7～26 mm-2·s-1，并且耐酸、光和熱.相較于煤油，白油更適用于實(shí)驗(yàn)室條件.本文所選用的3#、7#和15#白油，其密度約為0.83 g·cm-3，黏度分別為水的2倍、5倍和10倍；甘油是一種黏度和密度均較大的流體，密度約為1.26 g·cm-3，黏度為水的1500倍.本文選用甘油作為飽和流體的主要目的是研究流體黏度較大情況下，孔隙流體對(duì)速度頻散和衰減的影響.由于測(cè)試樣品的制備過(guò)程復(fù)雜(龍騰等，2020)，且在拆裝過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)樣品損壞，樣品質(zhì)量減少，孔隙被堵塞等情況，我們盡量減少對(duì)同一樣品反復(fù)拆裝，具體的低頻實(shí)驗(yàn)飽和流體情況如表3所示.

表2 孔隙流體物理屬性Table 2 Physical properties of the pore fluids

表3 樣品低頻實(shí)驗(yàn)飽和流體情況Table 3 Low frequency saturated fluid status of samples

實(shí)驗(yàn)整體可分為三個(gè)階段：預(yù)處理-超聲實(shí)驗(yàn)-低頻實(shí)驗(yàn).預(yù)處理時(shí)需要對(duì)巖石樣品進(jìn)行切割、打磨、洗油等，使樣品的尺寸和平整度滿(mǎn)足實(shí)驗(yàn)要求，同時(shí)排除地層殘余流體的影響.進(jìn)行流體飽和之前通常需將巖石樣品置于60～80 ℃的烘箱48 h以上，再取出置于空氣中24 h，達(dá)到與環(huán)境濕度一致的程度(約含2%～3%的水分).通過(guò)加壓飽和或真空飽和的方式對(duì)巖石樣品進(jìn)行流體飽和后，利用AutoLab 1000實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行1 MHz超聲縱橫波速度測(cè)試.實(shí)驗(yàn)中，圍壓的壓力范圍5 MPa到40 MPa，每隔5 MPa記錄一次，壓力點(diǎn)之間間隔30 min至5 h.持續(xù)時(shí)間的長(zhǎng)短取決于樣品的滲透性和飽和流體的黏度.流體黏度越高，達(dá)到孔隙壓力平衡所需的時(shí)間就越長(zhǎng).完成超聲縱橫波速度測(cè)試后對(duì)樣品重新進(jìn)行洗油、烘干、飽和流體再進(jìn)行低頻應(yīng)力-應(yīng)變實(shí)驗(yàn)，低頻實(shí)驗(yàn)中有效壓力范圍5 MPa到20 MPa，在每個(gè)有效壓力下，進(jìn)行兩到三次1 Hz～3 kHz的應(yīng)力-應(yīng)變測(cè)量，并用式(1—3)計(jì)算樣品的楊氏模量、泊松比和衰減.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.1 高頻實(shí)驗(yàn)結(jié)果

三塊中孔隙度砂巖和兩塊低孔隙度砂巖在干燥條件下分別表現(xiàn)出相似的壓力依賴(lài)性(圖4)：中孔隙度砂巖縱橫波速度隨圍壓的增加而增加，而當(dāng)壓力達(dá)到某一臨界值后，該增加趨勢(shì)趨于平緩；而低孔隙度砂巖縱橫波速度隨圍壓的增加而增加，未見(jiàn)轉(zhuǎn)平的趨勢(shì).這些速度-壓力曲線(xiàn)表明了不同有效壓力下巖石微觀(guān)孔隙結(jié)構(gòu)的變化，并且可以根據(jù)壓力相關(guān)的速度數(shù)據(jù)，估計(jì)出巖石軟孔隙縱橫比的分布(Walsh, 1965; Deng et al.，2015; Subramaniyan et al.，2014; Pimienta et al., 2015a; Yin et al.，2017；歐陽(yáng)芳等，2021a).在飽和水后，巖石的縱波速度顯著增加，而橫波速度變化不明顯，其原因在于孔隙中液體的存在增大了巖石的孔隙壓力及巖石整體的彈性模量，從而導(dǎo)致巖石的縱波速度增大；而盡管流體不傳播橫波，但孔隙流體會(huì)引起巖石密度增加，因此橫波速度略有下降.此外，對(duì)于低孔隙度砂巖樣品，其橫波速度在飽水前后變化較小.

圖4 巖石樣品超聲速度隨壓力變化曲線(xiàn)(a) 64#中孔隙度砂巖樣品; (b) 30#低孔隙度砂巖樣品.Fig.4 Variation curve of ultrasonic velocity with pressure for rock samples(a) 64# conventional sandstone sample; (b) 30# tight sandstone sample.

(圖5續(xù))

3.2 低頻實(shí)驗(yàn)結(jié)果

中孔隙度砂巖在飽和水、3#白油、7#白油條件下1～3 kHz范圍內(nèi)楊氏模量、泊松比、衰減以及楊氏模量的增量如圖5(a—c)所示，從圖中可以看出：楊氏模量一般隨頻率的增加而增加，且隨著壓力的增大，楊氏模量增加，衰減量和頻散程度逐漸減弱.在低有效壓力下衰減有明顯的峰值，增加有效壓力抑制了頻散和衰減，有效壓力增加到20 MPa時(shí)，楊氏模量的頻散變得不明顯且衰減變得可以忽略.飽水樣品的頻散很小，飽和7#白油樣品的頻散程度最大，飽和3#白油樣品的頻散大小介于兩者之間.從楊氏模量的增量曲線(xiàn)可以看出，頻散梯度的大小與流體黏度呈正相關(guān)，即流體黏度越大，頻散梯度越大.從衰減曲線(xiàn)中可以看出，特征頻率飽水時(shí)(約400 Hz)>飽和3#白油(約200 Hz)>飽和7#白油(約100 Hz)，即特征頻率隨流體黏度的增加而減小(Batzle et al.，2006).

圖5 楊氏模量和衰減在地震頻段的測(cè)量結(jié)果(a) 52#樣品飽和水; (b) 64#樣品飽和3#白油; (c) 65#樣品飽和7#白油; (d) 31#樣品飽和水; (e)30#樣品飽和15#白油; (f) 30#樣品飽和甘油.Fig.5 Measurement results of Young′s modulus and attenuation in seismic frequency band(a) 52# samples saturated with water; (b) 64# samples saturated with 3# white oil; (c) 65# samples saturated with 7# white oil; (d) 31# samples saturated with water; (e) 30# samples saturated with 15# white oil; (f) 30# samples saturated with glycerol.

低孔隙度砂巖在飽和水、15#白油、甘油條件下1～3 kHz范圍內(nèi)楊氏模量、泊松比、衰減以及楊氏模量的增量如圖5(d—f)所示，除飽和甘油情況外，另兩種情況下樣品整體表現(xiàn)出與中孔隙度砂巖一致的規(guī)律.飽和甘油條件下，曲線(xiàn)呈線(xiàn)性增長(zhǎng)趨勢(shì)，楊氏模量的頻散程度和衰減值很大，特征頻率移動(dòng)至10 Hz以?xún)?nèi).此外需要注意的是在模量頻散曲線(xiàn)和衰減曲線(xiàn)中會(huì)有一些異常的數(shù)據(jù)點(diǎn)，這些數(shù)據(jù)點(diǎn)是由于低頻測(cè)量系統(tǒng)的共振效應(yīng)產(chǎn)生(Sun et al.，2018)，Batzle等(2006)也觀(guān)測(cè)到了類(lèi)似的異常數(shù)據(jù)點(diǎn).

為了更好地觀(guān)察飽和不同黏度流體時(shí)頻散梯度的大小，我們以測(cè)量起始頻率1 Hz時(shí)的楊氏模量為標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算了5 MPa下各個(gè)樣品的歸一化參數(shù)E(f)/E(1 Hz)，由圖6ab可見(jiàn)，在中孔隙度砂巖和低孔隙度砂巖中流體黏度與頻散梯度均呈正相關(guān)關(guān)系，即黏度越大，頻散梯度越大.并且兩組實(shí)驗(yàn)中飽和水時(shí)的歸一化參數(shù)在趨勢(shì)上相近，于是我們將六組數(shù)據(jù)繪制在同一張圖(圖6c)中，可以進(jìn)一步驗(yàn)證流體黏度與頻散梯度的正相關(guān)關(guān)系.這意味著，我們可以將歸一化參數(shù)E(f)/E(1 Hz)作為儲(chǔ)層流體識(shí)別的有效指示因子之一，通過(guò)流體黏度來(lái)進(jìn)行儲(chǔ)層流體識(shí)別.但在有效壓力增加的過(guò)程中，除飽和甘油曲線(xiàn)外，其余各曲線(xiàn)斜率均有不同程度減小，意味著流體黏度的影響在減弱.有效壓力較高時(shí)(圖6d)，流體黏度便不再是速度頻散的主要影響因素，此時(shí)利用歸一化參數(shù)E(f)/E(1 Hz)的差異進(jìn)行流體識(shí)別將會(huì)存在一定的難度.

圖6 歸一化參數(shù)圖(a) 中孔隙度砂巖5 MPa； (b) 低孔隙度砂巖5 MPa； (c) 5 MPa匯總； (d) 20 MPa匯總.Fig.6 Normalized parameter diagram(a) Medium porosity sandstone 5MPa; (b) Low porosity sandstone 5 MPa; (c) 5 MPa summary; (d) 20 MPa summary.

4 實(shí)驗(yàn)解釋與模型拓展

4.1 利用現(xiàn)有理論模型解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果

Gassmann方程在巖石物理理論、實(shí)驗(yàn)研究及生產(chǎn)實(shí)際中應(yīng)用廣泛，可以由巖石干骨架的體積(剪切)模量，巖石基質(zhì)顆粒的體積模量，孔隙中充填流體的體積模量得到飽和流體巖石的體積(剪切)模量，表達(dá)式如下：

(4)

其中，Ksat、Km、Kdry分別為飽和巖石、基質(zhì)顆粒、巖石干骨架的體積模量，μsat、μdry分別為飽和巖石、巖石骨架的剪切模量，φ為孔隙度，Kfl為孔隙中充填流體的體積模量.Gassmann方程難以解釋巖石彈性性質(zhì)的頻散及衰減，Biot進(jìn)一步考慮巖石骨架與孔隙流體之間的黏性和慣性作用，推導(dǎo)出與頻率有關(guān)的飽和流體巖石彈性性質(zhì)，低頻極限下的彈性性質(zhì)與Gassmann方程的預(yù)測(cè)相同，具體表達(dá)式見(jiàn)附錄A，其特征頻率為：

(5)

其中，κ、ρfl、η分別為樣品的滲透率、流體的密度和黏度.Dvorkin和Nur(1993)將宏觀(guān)Biot機(jī)制與微觀(guān)噴射機(jī)制結(jié)合，建立了BISQ模型，具體表達(dá)式見(jiàn)附錄B.Gurevich等(2010)假設(shè)巖石孔隙空間中含有兩種孔隙，即軟孔和硬孔，在考慮了軟孔與硬孔之間噴射流效應(yīng)的條件下，形成了模擬孔隙尺度局部流體流動(dòng)的噴射流模型，具體表達(dá)式見(jiàn)附錄C，其特征頻率為：

(6)

其中，γ為巖石中主要的微裂隙縱橫比.本文應(yīng)用現(xiàn)有的經(jīng)典巖石物理模型：Biot模型、噴射流模型、BISQ模型和Gassmann方程分別對(duì)巖樣中地震波頻散進(jìn)行了模擬，模型所需的參數(shù)如表4，再與64#樣品飽和3#白油的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，如圖7所示.其中，Biot模型的特征頻率出現(xiàn)在高頻段，超出實(shí)驗(yàn)有效觀(guān)測(cè)范圍，在觀(guān)測(cè)范圍內(nèi)與Gassmann方程表現(xiàn)一致，并沒(méi)有明顯的頻散；BISQ模型頻散的程度相對(duì)較小，趨勢(shì)上也不能與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)；噴射流模型能夠得到在地震頻段中隨頻率近似線(xiàn)性遞增的頻散趨勢(shì)，這與多數(shù)低頻測(cè)量數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的趨勢(shì)較為吻合，但經(jīng)典的噴射流模型距離表征低頻實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)還有一定的差距.

表4 模型所需物理參數(shù)Table 4 Physical parameters required for the model

圖7 幾種理論模型與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比圖(a) 縱波速度; (b) 橫波速度.Fig.7 Comparison diagram of several theoretical models and measured data(a) P-wave velocity; (b) S-wave velocity.

由公式(5)(6)可以看出，流體黏度對(duì)于Biot理論和噴射流機(jī)制特征頻率的作用是相反的，Biot理論認(rèn)為流體黏度增大，特征頻率向高頻方向移動(dòng)；噴射流機(jī)制認(rèn)為流體黏度增大，特征頻率向低頻移動(dòng).由實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，隨著流體黏度的增大，特征頻率有向低頻移動(dòng)的趨勢(shì)，與噴射流機(jī)制的解釋一致(Yang等,2020).這是因?yàn)閲娚淞靼l(fā)生的關(guān)鍵因素是波在傳播過(guò)程中，在半個(gè)周期內(nèi)孔隙壓力難以在軟孔和硬孔之間平衡，流體黏度增大時(shí)，就會(huì)表現(xiàn)出顯著的噴射流效應(yīng).在本文中，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與國(guó)內(nèi)外學(xué)者的實(shí)驗(yàn)研究一致(Batzle et al.，2006；Mikhaltsevitch et al.，2011；Subramaniyan et al.，2014；Yin et al.，2017)，可以證實(shí)噴射流機(jī)制適用于在微觀(guān)尺度下描述流體流動(dòng)對(duì)巖石彈性模量的影響.基于此，本文以本課題組歐陽(yáng)芳等(2021b)提出的擴(kuò)展Gurevich噴射流模型為理論基礎(chǔ)，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行解釋與匹配.

4.2 擴(kuò)展的噴射流模型

經(jīng)典Gurevich噴射流模型中只考慮了一種縱橫比的軟孔隙與硬孔隙之間的噴射流效應(yīng)(圖8a)，但實(shí)際上巖石中的軟孔隙縱橫比是多種多樣的(圖8b)，而且不同縱橫比的軟孔隙與硬孔隙之間的噴射流效應(yīng)對(duì)巖石彈性性質(zhì)產(chǎn)生的貢獻(xiàn)不同，巖石受到的是全部軟孔隙噴射流效應(yīng)的綜合影響.Deng等(2015)在Gurevich理論中單一軟孔隙縱橫比的基礎(chǔ)上，考慮巖石中所有的軟孔隙的縱橫比呈一定范圍內(nèi)連續(xù)分布的狀態(tài)，對(duì)噴射流模型進(jìn)行了改進(jìn)(圖8c).該模型以α=0.01作為軟硬孔隙的分界，采用單一硬孔隙縱橫比，迭代加入具有不同孔隙縱橫比的軟孔隙.然而實(shí)際巖石的孔隙類(lèi)型復(fù)雜，僅用單一縱橫比來(lái)表征硬孔隙也不能全面的反映實(shí)際情況，De Paula等(2012)提出將硬孔隙分為縱橫比接近1的圓孔和孔隙縱橫比大于0.01但遠(yuǎn)小于1的中尺度孔隙.當(dāng)中尺度孔隙、軟孔隙和硬孔隙并存時(shí)，會(huì)出現(xiàn)軟孔隙與中尺度孔隙之間、軟孔隙與硬孔隙之間和中尺度孔隙與硬孔隙之間的噴射流.在此基礎(chǔ)上，我們認(rèn)為當(dāng)?shù)趇種軟孔隙產(chǎn)生噴射流時(shí)，會(huì)將流體擠入比該種軟孔隙縱橫比大的所有孔隙中(包含軟孔隙與硬孔隙)，見(jiàn)圖8d；隨后該種軟孔隙閉合，縱橫比更大的軟孔隙開(kāi)始發(fā)生噴射流作用，見(jiàn)圖8e.歐陽(yáng)芳等(2021b)基于此得到的擴(kuò)展模型不僅描述了微裂隙與硬孔之間的局部流體流動(dòng)，還依據(jù)孔隙縱橫比的大小加入了N種微裂隙之間的噴射流效應(yīng)(圖8f).

圖8 巖石“濕骨架”建模示意圖(a) 經(jīng)典Gurevich模型-單一軟孔隙縱橫比噴射流； (b) 巖石中多種縱橫比孔隙分布； (c) 含 一定分布的軟孔隙及單一縱橫比的硬孔隙噴射流； (d) 第i種縱橫比軟孔隙發(fā)生噴射流； (e) 第i種縱橫比軟孔隙閉合后，縱橫比更大的軟孔隙發(fā)生噴射流； (f) 擴(kuò)展的噴射流模型，考慮軟孔隙之間噴射流效應(yīng).Fig.8 Schematic diagram of building “wet-frame” of rock(a) Classical Gurevich model of squirt flow from a single soft pore aspect ratio; (b) Pore distribution in rock with multiple aspect ratios; (c) Squirt flow from soft pores with a certain distribution and stiff pores with a single aspect ratio; (d) Squirt flow from the ith aspect ratio soft pore; (e) Squirt flow from a larger aspect ratio soft pore after the closure of the ith aspect ratio soft pore (f) Extended squirt flow model that takes into account squirt flow effects between soft pore spaces.

擴(kuò)展噴射流模型中迭代求取濕骨架模量時(shí)，假設(shè)巖石中僅含有一種孔隙縱橫比為αc的微裂隙，其孔隙度為φc，則在有效壓力P下，此種微裂隙的體積壓縮系數(shù)Cp(P)滿(mǎn)足(Zimmerman, 1991)

φc(P)Cp(P)=1/Kd(P)-1/Kh，

(7)

Kd(p)和φc(p)分別為有效壓力p下的干燥巖石體積模量和軟孔隙孔隙度；而Kh為在極高有效壓力作用下所有軟孔隙閉合而使巖石骨架僅含有硬孔隙時(shí)等效基質(zhì)的體積模量.將式(7)代入Gurevich濕骨架的體積模量Kmf(P,ω)(附錄B1)中，可得：

(8)

(9)

(10)

其中，αc為微裂隙的特征孔隙縱橫比，ω為角頻率，η和Kf分別為孔隙流體的黏度和體積模量；J0和J1分別表示0階和1階貝塞爾函數(shù).對(duì)于存在N種微裂隙的情形，我們可以得到相應(yīng)的推廣公式，即

(11)

式中，φn(P)，αn(P)和Cpn(P)表示有效壓力P下第n種微裂隙的孔隙度、縱橫比和體積壓縮系數(shù)，其中φn和αn可以從干燥巖石的超聲速度-壓力數(shù)據(jù)中反演得到，具體反演方法參見(jiàn)附錄D.對(duì)于孔隙壓縮系數(shù)Cp n，我們可以利用如下關(guān)系計(jì)算得到(Zimmerman, 1991; David and Zimmerman, 2012)

(12)

(13)

最后將式(13)代入式(11)中得到擴(kuò)展后Gurevich濕骨架模型

(14)

將計(jì)算的Kmf代入Biot理論就可以得到速度頻散和衰減曲線(xiàn).

4.3 利用擴(kuò)展的噴射流模型解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果

基于巖石樣品干燥高頻數(shù)據(jù)可以反演得到軟孔孔隙縱橫比和孔隙度分布(圖9)從圖中可以看出，中孔隙度砂巖樣品(圖9a)的軟孔孔隙縱橫比分布范圍為0～0.002，其中孔隙縱橫比介于0～0.001之間的軟孔體積含量最高；隨著有效壓力的增加，巖石中的軟孔隙逐漸閉合，軟孔隙度隨之減小，開(kāi)口較小(孔隙縱橫比較大)的孔隙逐漸減小甚至消失.低孔隙度砂巖相較于中孔隙度樣品，其軟孔孔隙度更小、隨有效壓力的變化更小，其中孔隙縱橫比介于0～0.001之間的軟孔體積含量最高.

圖9 樣品軟孔隙孔隙度分布(a) 64#中孔隙度砂巖樣品; (b) 30#低孔隙度砂巖樣品.Fig.9 Distribution of soft porosity porosity of samples(a) 64# medium porosity sandstone samples; (b) 30# low porosity sandstone samples.

將上述反演得到的孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)代入擴(kuò)展的噴射流模型中，可以預(yù)測(cè)出不同流體飽和條件下巖石樣品的楊氏模量頻散和衰減曲線(xiàn).在對(duì)比模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，我們進(jìn)行了三個(gè)方面的對(duì)比：

(1)數(shù)值的直接對(duì)比，圖10為樣品的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型預(yù)測(cè)結(jié)果的對(duì)比.模型預(yù)測(cè)的楊氏模量和衰減表現(xiàn)出與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)一致的壓力依賴(lài)性，即隨壓力的增加表現(xiàn)出頻散程度與衰減量均減小的現(xiàn)象.從衰減曲線(xiàn)可以看出，特征頻率隨流體黏度的增加而減小.中孔隙度砂巖(圖10a—c)的模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)處存在數(shù)值上的差異但總體吻合較好，且特征頻率基本一致；低孔隙度砂巖的吻合情況并不理想，模型預(yù)測(cè)結(jié)果略高于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).由此可見(jiàn)，擴(kuò)展的噴射流模型考慮了多種孔隙間的流體流動(dòng)，相比經(jīng)典Gurevich噴射流模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更吻合，可能是由于甘油的填充放大了空間不均勻性的影響，造成飽和甘油的數(shù)據(jù)與模型預(yù)測(cè)的結(jié)果差距很大.(2)為了觀(guān)察實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型預(yù)測(cè)結(jié)果趨勢(shì)上的規(guī)律，我們以測(cè)試最高頻率3 kHz時(shí)的楊氏模量為標(biāo)準(zhǔn)，分別計(jì)算了歸一化楊氏模量E(f)/E(3 kHz)(圖11).可以發(fā)現(xiàn)除飽和甘油條件的曲線(xiàn)外，歸一化后的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型預(yù)測(cè)結(jié)果吻合情況更好，尤其是低孔隙度砂巖實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值的吻合情況得到明顯改善(圖11(d—e))，這也能說(shuō)明擴(kuò)展的理論模型與實(shí)際測(cè)量在趨勢(shì)上保持一致，可以用來(lái)描述不同流體飽和條件下的頻散規(guī)律.

圖10 楊氏模量和衰減測(cè)量與模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比(a) 52#樣品飽和水; (b) 64#樣品飽和3#白油; (c) 65#樣品飽和7#白油; (d) 31#樣品飽和水; (e) 30#樣品飽和15#白油; (f) 30#樣品飽和甘油.Fig.10 Comparison of Young′s modulus and attenuation measurements with rock physics model(a) 52# samples saturated with water; (b) 64# samples saturated with 3# white oil; (c) 65# samples saturated with 7# white oil; (d) 31# samples saturated with water; (e) 30# samples saturated with 15# white oil; (f) 30# samples saturated with glycerol.

圖11 歸一化的樣品實(shí)驗(yàn)測(cè)量與巖石物理模型計(jì)算楊氏模量結(jié)果對(duì)比(a) 52#樣品飽和水; (b) 64#樣品飽和3#白油; (c) 65#樣品飽和7#白油; (d) 31#樣品飽和水; (e) 30#樣品飽和15#白油; (f) 30#樣品飽和甘油.Fig.11 Comparison of normalized Young′s modulus of experimental measurement and normalized result from rock physics model of sample(a) 52# samples saturated with water; (b) 64# samples saturated with 3# white oil; (c) 65# samples saturated with 7# white oil; (d) 31# samples saturated with water; (e) 30# samples saturated with 15# white oil; (f) 30# samples saturated with glycerol.

(3)為了驗(yàn)證流體黏度對(duì)于頻散的影響，我們以測(cè)量起始頻率1 Hz時(shí)的楊氏模量為標(biāo)準(zhǔn)分別計(jì)算了模型預(yù)測(cè)結(jié)果的歸一化參數(shù)E(f)/E(1 Hz)，由圖12可以看出，模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果的規(guī)律保持一致，即除飽和甘油的曲線(xiàn)外，流體黏度越大，頻散梯度越大.

圖12 歸一化參數(shù)模型預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比(a) 中孔隙度砂巖； (b) 低孔隙度砂巖.Fig.12 Comparison of normalized parameter model predictions and experimental data(a) Medium porosity sandstone; (b) Low porosity sandstone.

5 結(jié)論與認(rèn)識(shí)

本文應(yīng)用低頻應(yīng)力-應(yīng)變測(cè)試系統(tǒng)在1 Hz～3 kHz的頻率范圍內(nèi)測(cè)量了2塊低孔隙度砂巖、3塊中孔隙度砂巖飽和不同黏度流體(水、白油、甘油)時(shí)的楊氏模量、泊松比和衰減.從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中我們發(fā)現(xiàn)：(1)兩種砂巖樣品都表現(xiàn)出壓力依賴(lài)性，即隨著壓力增加，楊氏模量增加，衰減量和頻散程度逐漸減弱；(2)頻散梯度的大小與流體黏度呈正相關(guān)，即流體黏度越大，頻散梯度越大；(3)從衰減曲線(xiàn)上可以看出，特征頻率隨流體黏度增大而減小.

利用現(xiàn)有理論模型(Biot模型、噴射流模型、BISQ模型以及Gassmann方程)并不能很好地解釋實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，同時(shí)對(duì)比Biot模型和噴射流模型關(guān)于特征頻率的計(jì)算公式發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)(流體黏度增大，特征頻率向較低頻率移動(dòng))與噴射流機(jī)制的解釋一致.于是利用擴(kuò)展Gurevich噴射流模型對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行解釋?zhuān)l(fā)現(xiàn)：(1)模型基于巖石孔隙均勻分布假設(shè)，所以相較于低孔隙度砂巖，中孔隙度砂巖模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)數(shù)值上吻合更好；(2)通過(guò)歸一化模量E(f)/E(3 kHz)可以看出低孔隙度砂巖模型預(yù)測(cè)結(jié)果的趨勢(shì)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是一致的，這也能說(shuō)明擴(kuò)展的理論模型可以用來(lái)描述不同流體飽和條件下的頻散規(guī)律；(3)進(jìn)一步計(jì)算歸一化參數(shù)E(f)/E(1 Hz)驗(yàn)證了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中觀(guān)測(cè)到的流體黏度與頻散梯度正相關(guān)關(guān)系.

這些實(shí)驗(yàn)觀(guān)測(cè)和模型預(yù)測(cè)的結(jié)果對(duì)于定量地震解釋和儲(chǔ)層預(yù)測(cè)有重要的意義，其中歸一化參數(shù)E(f)/E(1 Hz)可以在較低有效壓力的條件下定性識(shí)別儲(chǔ)層流體黏度，在時(shí)移地震分析、流體預(yù)測(cè)和儲(chǔ)層監(jiān)測(cè)中具有潛在的應(yīng)用和重要的意義.

附錄A Biot理論表達(dá)式

Biot理論考慮巖石骨架與孔隙流體之間的黏性和慣性作用，低頻極限下的彈性性質(zhì)與Gassmann方程的預(yù)測(cè)相同.Stoll(1977)、Berryman(1980)給出Biot方程的縱、橫波速度解為

(A1)

(A2)

(A3)

(A4)

(A5)

(A6)

(A7)

其中，Kdry、μdry分別為巖石干骨架的體積模量、剪切模量；Km為巖石基質(zhì)顆粒的體積模量；ω為平面波的角頻率；Jn()是n階Bessel函數(shù)；α是曲折度；a是孔徑參數(shù).

附錄B BISQ模型表達(dá)式

(B1)

(B2)

(B3)

(B4)

(B5)

(B6)

其中，R為特征射流長(zhǎng)度，κ、ρs、ρfl、η分別為樣品的滲透率、密度和流體的密度、黏度，Kdry、Km和Kfl分別為巖石干骨架、巖石基質(zhì)和流體的體積模量，ω為平面波的角頻率，Jn()是n階Bessel函數(shù)；a是孔徑參數(shù).所有的輸入?yún)?shù)中，特征射流長(zhǎng)度除外，都可實(shí)驗(yàn)測(cè)量.

附錄C 噴射流模型表達(dá)式

Gurevich等(2010)假設(shè)巖石孔隙空間中含有兩種孔隙：軟孔隙φc和硬孔隙φs且φ=φs+φc≈φs，在考慮了軟孔隙與硬孔隙之間噴射流效應(yīng)的條件下，巖石“濕骨架”的彈性模量Kmf(p,ω)和μmf(p,ω)隨頻率與壓力變化的理論公式，如下所示：

(C1)

(C3)

μsat(p,ω)=μmf(p,ω)，

(C4)

附錄D 基于等效介質(zhì)理論的孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)求取

為了得到微裂隙的孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)，即孔隙縱橫比、孔隙度和累積裂隙密度，這里我們采用歐陽(yáng)芳等(2021a)提出的反演方法進(jìn)行計(jì)算，裂隙密度的計(jì)算可以通過(guò)KT(Kuster Toks?z模型)、MT(Mori Tanaka模型)、DEM(Differential effective medium模型)、SC(Self-consistent模型)四種等效介質(zhì)理論實(shí)現(xiàn)，即：

(D1)

(D2)

(D3)

(D4)

(D5)

(D6)

(D7)

式中，K、G和υ表示體積模量、剪切模量和泊松比，其上標(biāo)*表示等效介質(zhì)，下標(biāo)b表示背景介質(zhì).按照壓力由高至低的順序，將干燥巖石的彈性模量KD(Pk),GD(Pk)和KD(Pk-1),GD(Pk-1)分別作為背景介質(zhì)和等效巖石的彈性模量依次代入式D1—D7中，反演裂隙密度Γ(Pk)；然后，在此基礎(chǔ)上求取累積裂隙密度，即

(D8)

于是，將上式代入如下公式中，便能獲得微裂隙的孔隙縱橫比分布：

(D9)

以及裂隙密度分布函數(shù)γ、孔隙度分布函數(shù)c以及微裂隙孔隙度φn：

(D10)

(D11)

φn(α)=c(α)dα.

(D12)