Vondrak 濾波在能譜光滑中的應(yīng)用研究

陽林鋒，代啟東，牛 江，黃禮淵，吳明昌，張一帆，周 航

（中國核動力研究設(shè)計院，四川 成都 610200）

譜光滑是能譜分析中的重要部分。由于核衰變及測量的統(tǒng)計性，當計數(shù)較小時，計數(shù)的統(tǒng)計漲落比較大。相對于全能峰峰位，全能峰邊界更易受統(tǒng)計漲落的干擾，為了消除統(tǒng)計漲落的影響必須對譜數(shù)據(jù)進行譜光滑處理[1]。

譜光滑不僅要起到減小統(tǒng)計漲落的作用，還要能保持譜線的形狀特征，目前常用的譜光滑方法主要有平均移動法、重心法、多項式最小二乘擬合法等[2]。其基本思想是逐點對譜數(shù)據(jù)進行處理，以待處理點為中心，左右各取m 點對該點進行修正，從而達到消除統(tǒng)計漲落的目的。但它們都存在一些缺點，如峰形易畸變，弱峰易丟失，產(chǎn)生干擾峰等。Vondrak 濾波是一種適合于等間隔的觀測數(shù)據(jù)又適合于非等間隔的觀測數(shù)據(jù)的平滑方法，且其能在未知觀測資料的變化規(guī)律及其擬合函數(shù)的情況下，對觀測資料進行有效的平滑[3-4]。因此，Vondrak 濾波對能譜的譜光滑是適用的。本文對Vondrak 濾波在能譜光滑中的應(yīng)用進行研究，得出光滑譜的解析解。計算了Vondrak 濾波法的光滑評價因子，并與其他3 種方法（平均移動法、重心法、多項式最小二乘擬合法）進行了比較。實驗驗證了Vondrak 濾波法的穩(wěn)定性和實用性。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 Vondrak 能譜光滑

Vondrak 濾波具有很好的低通濾波效果，在諸多領(lǐng)域都得到了成功的應(yīng)用[5-7]。對于能譜其基本工作原理如下：

將公式（1）表示為最小二乘法形式為[8-9]

對式（2）兩邊進行對Y'的求偏導可得：

式中，WλAAn×n為系數(shù)響應(yīng)矩陣，對其進行初等行變換可得：

對于能譜，其不同區(qū)域的擬合權(quán)重是不同的。由于核衰變及測量的統(tǒng)計性，當計數(shù)較小時，計數(shù)的統(tǒng)計漲落比較大，故在這些區(qū)域應(yīng)該降低擬合度，例如全能峰邊界以及康普頓平臺區(qū)域；而對于計數(shù)較高區(qū)域，統(tǒng)計漲落的影響較小，本身就比較光滑，故在這些區(qū)域應(yīng)該提高擬合度，例如全能峰區(qū)域。擬合權(quán)重我們按照如下公式進行計算：

已知wi>0，則此時變換后的矩陣的秩為n。矩陣初等行變換不改變矩陣的秩[10]，所以WλAAn×n為滿秩矩陣，具有可逆性，故公式（5）可變?yōu)楣剑?）形式。至此，求解光滑譜問題轉(zhuǎn)化為解方程問題，可通過求解系數(shù)響應(yīng)矩陣的逆矩陣來計算光滑譜。

1.2 光滑效果評價

能譜光滑的基本原則是要起到減小統(tǒng)計漲落的作用，還要能保持譜線的特征信息。根據(jù)文獻[11]，光滑效果可用如下計算進行評價：

式中，ξ 為評價因子，ξ 值越大，光滑效果越好；ri為測量譜與光滑譜對應(yīng)每個點之間的加權(quán)偏差，rˉ為ri的算數(shù)平均值；D（r）為加權(quán)偏差的標準方差，統(tǒng)計漲落剔除越多，D（r）越大，可見D（r）表征了祛除統(tǒng)計干擾的程度；χ2為卡方值，用于非線性回歸分析擬合效果評價，其值越接近1，擬合效果越好；M 為自由度；left 和right 分別是被光滑譜段的左右道址。

2 實驗與分析

實驗采用探測器選用溴化鈰探測器（3.7%@662keV），其圓柱狀晶體尺寸為?45×50 mm，探測器實物圖片如圖1 所示。測量的放射性核素152Eu、232Th，分別運用平均移動法、重心法、多項式最小二乘擬合法和Vondrak 濾波法對測得的γ 射線能譜進行譜光滑。

圖1 溴化鈰探測器

探測152Eu 放射源的γ 射線能譜、平均移動法光滑譜、重心法光滑譜、多項式最小二乘擬合法光滑譜、Vondrak 濾波法光滑譜分別如圖2（a）-（e）所示。探測232Th 放射源的γ 射線能譜、平均移動法光滑譜、重心法光滑譜、多項式最小二乘擬合法光滑譜、Vondrak 濾波法光滑譜分別如圖3（a）-（e）所示。

從圖2、圖3 可以看出，Vondrak 濾波法對能譜特征峰信息的保持是完整的。為了對全譜光滑效果進行綜合評價，根據(jù)公式（9）對各光滑結(jié)果進行全譜評價因子ξ 的計算，計算結(jié)果見表1。由表1 可知，對于152Eu射線能譜，光滑效果最好的是多項式最小二乘擬合法；對于232Th 能譜，光滑效果最好的是Vondrak 濾波法。相較于其他光滑方法，當λ=2 時Vondrak 濾波法的D（r）值最大，說明Vondrak 濾波法對能譜中統(tǒng)計漲落的抑制更加徹底，降干擾效果最好。

表1 各光滑結(jié)果評價因子值

圖2 152Eu 放射源的γ 射線能譜及光滑譜

圖3 232Th 放射源的γ 射線能譜及光滑譜

3 結(jié)論

譜光滑的主要目的是降低放射性測量中能譜的統(tǒng)計漲落，同時保持能譜的特征信息，為后續(xù)更精確地解譜分析作預處理。根據(jù)Vondrak 濾波最小二乘形式，結(jié)合擬合權(quán)重矩陣，提出了能譜譜光滑的理論計算公式，并運用于實際測量能譜光滑的應(yīng)用中，分別從光滑效果圖和評價因子計算值上對光滑結(jié)果進行了評價。綜合研究表明，相較于平均移動法，重心法和多項式最小二乘擬合法，Vondrak 濾波法對能譜中統(tǒng)計漲落的抑制更加徹底，同時對能譜的特征信息可以進行較好的保持，是一種更優(yōu)的譜光滑方法。