崔建昆　高先潤

摘? 要：為了研究直線共軛齒廓在少齒差行星齒輪傳動領(lǐng)域的性能特點(diǎn)，展開推導(dǎo)了直線共軛少齒差行星齒輪傳動的數(shù)學(xué)模型，對其動態(tài)嚙合力及振動特性進(jìn)行仿真分析并進(jìn)行了振動測試實(shí)驗驗證。結(jié)果表明，減速器性能表現(xiàn)良好，幾種典型工況下嚙合力最大誤差值為7.01%，分析固定內(nèi)齒輪第310，580 節(jié)點(diǎn)的振動加速度值在齒輪副進(jìn)入嚙合瞬間達(dá)到峰值。結(jié)論驗證了減速器的振動加速度與輸入轉(zhuǎn)速、負(fù)載轉(zhuǎn)矩呈正相關(guān)性，為直線共軛齒廓在少齒差行星齒輪傳動領(lǐng)域的后續(xù)應(yīng)用發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)與實(shí)例支撐。

關(guān)鍵詞：直線共軛;少齒差行星齒輪;動態(tài)仿真;振動測試

中圖分類號：TP215? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Simulation and Experimental Research on Linear Conjugate Planetary

Gear Transmission with Small Tooth Difference

CUI Jiankun GAO Xianrun

Abstract： In order to study the performance characteristics of linear conjugate tooth profile in the field of planetary gear transmission with small tooth difference， this paper proposes to deduce a mathematical model of linear conjugate planetary gear transmission with small tooth difference. Its dynamic meshing force and vibration characteristics are simulated and analyzed， and the vibration test is conducted for verification. The results show that the reducer performs well， and the maximum error value of the meshing force under several typical working conditions is 7.01%. The vibration acceleration value of the 310，580th node of the fixed internal gear reaches the peak when the gear pair enters the meshing moment. The conclusion verifies that the vibration acceleration of the reducer is positively correlated with input speed and load torque. It provides theoretical basis and practical support for the subsequent application and development of linear conjugate tooth profile in the field of planetary gear transmission with small tooth difference.

Keywords： linear conjugate; planetary gear with small tooth difference; dynamic simulation; vibration test

1? ?引言（Introduction）

本文對直線共軛齒廓展開研究，將直線共軛齒廓的優(yōu)點(diǎn)應(yīng)用到齒輪減速器領(lǐng)域，提高減速器的工作性能，為其在減速器上的發(fā)展應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)和技術(shù)支撐。

早期對于少齒差行星齒輪減速器的研究重點(diǎn)主要是在傳動精度、載荷分配、變位系數(shù)選取等[1-2]方面，旨在解決少齒差行星減速器設(shè)計制造問題。截至目前，少齒差行星減速器的振動特性成為研究重點(diǎn)。楊江兵等通過漸開線五齒差行星齒輪減速器模型動態(tài)接觸仿真分析得出其在額定載荷下的時變嚙合剛度曲線[3]。楊國來等利用嚙合角函數(shù)推導(dǎo)齒廓曲線方程簡化共軛齒廓理論計算，并且推導(dǎo)了該型內(nèi)嚙合齒輪泵的困油特性方程[4]。SONG等利用齒輪嚙合理論推導(dǎo)了齒條銑刀和直線共軛內(nèi)齒輪的數(shù)學(xué)模型，獲得了避免過度切削的條件，并且進(jìn)行直線共軛內(nèi)嚙合齒輪泵和傳統(tǒng)漸開線齒輪泵的流量特性分析計算[5]。鄭紅梅等通過少齒差行星齒輪減速器動力學(xué)仿真研究揭示了齒輪內(nèi)嚙合過程中嚙合力的動態(tài)變化規(guī)律[6-7]。張麗華等基于內(nèi)嚙合齒輪泵對直線共軛內(nèi)嚙合齒輪副進(jìn)行較為全面的嚙合特性分析，主要包括齒形求解、重合度計算、徑向干涉、過渡曲線干涉，以及內(nèi)嚙合齒輪泵的流量脈動分析計算[8-9]。黃超系統(tǒng)地分析了少齒差行星減速器系統(tǒng)非線性振動特性以及嚙合剛度、變形等參數(shù)對非線性振動特性的影響[10]。BU等在行星齒輪傳動方面的動力學(xué)研究成果顯著，特別是在模態(tài)特性、振動模式方面[11-12]。

截至目前，直線共軛齒廓在齒輪泵上的應(yīng)用廣泛，但對其在行星齒輪上的應(yīng)用研究甚少，所以進(jìn)行直線共軛內(nèi)嚙合的少齒差行星齒輪傳動的嚙合分析和實(shí)驗研究具有理論指導(dǎo)意義和工程使用價值。

2? ?數(shù)學(xué)模型（Mathematical model）

2.1? ?外齒輪齒廓

根據(jù)直線齒廓齒輪的參數(shù)建立外齒輪坐標(biāo)系：，如圖1所示。

外齒輪齒廓各部分的數(shù)學(xué)模型描述為：

（1）

（2）

（3）

其中，是直線齒廓的截距，是的斜率，、、分別為點(diǎn)、、的橫坐標(biāo)值，其值為：

（4）

（5）

（6）

因此，外齒輪齒廓的數(shù)學(xué)模型可表示為：

（7）

2.2? ?內(nèi)齒輪齒廓

根據(jù)齒輪嚙合原理，內(nèi)齒輪齒廓的數(shù)學(xué)模型可描述為：

（8）

其中，是外齒輪在嚙合過程中形成的包絡(luò)曲線族，是坐標(biāo)系變換到的坐標(biāo)變換矩陣，表達(dá)式如下：

（9）

同樣，考慮到包絡(luò)曲線族存在的必要條件需要滿足：

（10）

其中，是內(nèi)、外齒輪在坐標(biāo)系中的相對速度，是內(nèi)齒輪的速度矢量，是內(nèi)齒輪的角速度矢量，是到的位置矢量，三者關(guān)系如下：

（11）

（12）

其中，是坐標(biāo)系到的變換矩陣，是坐標(biāo)系中到的位置矢量，表達(dá)式分別為：

（13）

（14）

聯(lián)立方程（10）和方程（14）計算得到：

（15）

經(jīng)過計算得到內(nèi)齒輪齒廓數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)和的函數(shù)關(guān)系：

（16）

將方程依次代入即可獲得內(nèi)齒輪齒廓數(shù)學(xué)模型。

3? ?仿真分析（Simulation analysis）

3.1? ?嚙合力動態(tài)仿真分析

當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩為80 N·m時，輸入轉(zhuǎn)速為600 r/min、1，400 r/min、2，200 r/min，分別設(shè)置為工況一、工況二、工況三;當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速為1，400 r/min時，負(fù)載轉(zhuǎn)矩為40 N·m、80 N·m、120 N·m，分別設(shè)置為工況四、工況二、工況五。仿真時間為1 s，仿真步長為2.5×10-3 s。

（1）不同輸入轉(zhuǎn)速對行星齒輪減速器動態(tài)嚙合力仿真的影響

如圖2所示，在同工況下，嚙合力動態(tài)仿真值在1，214.07 N上下波動，理論計算值為1，303.69 N，誤差為6.87%，在合理范圍內(nèi)。減速器在動態(tài)運(yùn)轉(zhuǎn)時產(chǎn)生偏心力與不平衡慣性力造成嚙合力存在上下波動，齒輪的時變嚙合剛度及輪齒變形也會對嚙合力波動造成影響，當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩不變時，轉(zhuǎn)速和嚙合力波動呈正相關(guān)。

（a）工況一的嚙合力-時間變化曲線

（b）工況二的嚙合力-時間變化曲線

（c）工況三的嚙合力-時間變化曲線

（2）不同負(fù)載轉(zhuǎn)矩對行星齒輪減速器動態(tài)嚙合力仿真的影響

結(jié)合圖3及圖2（b），隨著負(fù)載轉(zhuǎn)矩增加，嚙合力動態(tài)仿真結(jié)果的均方根RMS值為606.18 N、1，214.07 N、1，849.17 N，理論計算值為651.85 N、1，303.69 N、1，951.64 N，嚙合力仿真值與理論計算值誤差分別為7.01%、6.87%、5.41%，誤差均在合理范圍內(nèi)。

（a）工況四的嚙合力-時間變化曲線

（b）工況五的嚙合力-時間變化曲線

由于偏心力、不平衡慣性力、時變嚙合剛度及輪齒變形的存在，會導(dǎo)致存在上下波動。當(dāng)轉(zhuǎn)速保持為1，400 r/min時，隨著負(fù)載轉(zhuǎn)矩的增大，嚙合力值也相應(yīng)增大，但波動幅度有所減小。因為行星齒輪的嚙合力是動態(tài)波動的，所以會對齒輪疲勞壽命有一定的影響。

3.2? ?振動特性仿真分析

如圖4所示，列舉工況為輸入轉(zhuǎn)速1，400 r/min、負(fù)載轉(zhuǎn)矩80 N·m的選定節(jié)點(diǎn)在X、Y、Z三向的振動加速度作為研究主體。固定內(nèi)齒輪上的310，580 節(jié)點(diǎn)的最大振動加速度在Y方向最小，在Z方向達(dá)到峰值，但兩個方向上振動規(guī)律較為一致，振動加速度出現(xiàn)較大峰值是由于內(nèi)、外齒輪瞬間進(jìn)入嚙合沖擊碰撞造成的。在此工況下，由于內(nèi)、外齒輪的齒數(shù)差為2，靠近孔環(huán)的外齒輪0.1 s內(nèi)旋轉(zhuǎn)過4.67 個齒，從而引起圖4（d）中的五次波峰，由于振動加速度研究節(jié)點(diǎn)與每次嚙合撞擊的距離不同，導(dǎo)致峰值不完全一致。

結(jié)合圖4（d）及圖5，當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩保持為80 N·m時，分別輸入轉(zhuǎn)速600 r/min、1，400 r/min、2，200 r/min，隨著轉(zhuǎn)速的增加，齒輪副在0.1 s的時間內(nèi)嚙合的次數(shù)增加，且有偏心距的存在，所以引起振動加速度增大，行星齒輪減速器的振動也越強(qiáng)烈。

結(jié)合圖4（d）及圖6，當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速保持為1，400 r/min時，負(fù)載轉(zhuǎn)矩分別為40 N·m、80 N·m、120 N·m，同樣圖中出現(xiàn)五個波峰，節(jié)點(diǎn)振動加速度規(guī)律基本一致，但最大振動加速度略有增加。

4? ?實(shí)驗研究（Experimental research）

4.1? ?實(shí)驗方案設(shè)計

選定直線共軛少齒差行星齒輪減速器固定內(nèi)齒輪外表面為測試對象，如圖7所示。該振動測試實(shí)驗采用DH5922動態(tài)信號測試分析系統(tǒng)，內(nèi)置多功能適調(diào)器，無須外掛調(diào)理模塊，可完成應(yīng)力應(yīng)變、電壓及IEPE等信號的測試，連續(xù)采樣速率最高為256 kHz/通道。該系統(tǒng)采用IEPE壓電式加速度傳感器，型號為DH187，軸向靈敏度為4.96 mV/m·s-2，量程為1，000 m·s-2。

在給定工況下，直線共軛少齒差行星齒輪減速器在齒輪進(jìn)入嚙合瞬間會產(chǎn)生振動沖擊，導(dǎo)致輪齒有一定量的微小彈性變形。這種彈性變形被基于壓電效應(yīng)的壓電式加速度傳感器檢測到時，壓電晶體內(nèi)部會產(chǎn)生極化現(xiàn)象，晶體表面產(chǎn)生正負(fù)電荷，將彈性變形轉(zhuǎn)換成電信號傳遞到動態(tài)信號測試機(jī)，經(jīng)過測試機(jī)中電荷放大器放大處理后可在東華測試DH5922軟件中實(shí)時記錄及分析。

4.2? ?實(shí)驗結(jié)果與分析

在東華測試DH5922動態(tài)信號測試分析系統(tǒng)軟件中對采樣信號進(jìn)行分析處理。圖8為上述典型工況下減速器振動加速度時域響應(yīng)實(shí)驗結(jié)果。當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩為80 N·m時，輸入轉(zhuǎn)速分別為600 r/min、1，400 r/min、2，200 r/min，所對應(yīng)的振動加速度均方根RMS值是0.269 m/s2、0.818 m/s2、1.537 m/s2，

振動加速度值增大，減速器振動強(qiáng)度增加;當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速為1，400 r/min時，負(fù)載轉(zhuǎn)矩分別為40 N·m、80 N·m、120 N·m，所對應(yīng)的振動加速度均方根RMS值是0.701 m/s2、0.818 m/s2、0.929 m/s2，振動加速度值略有增大。

表2為直線共軛少齒差行星齒輪減速器振動加速度仿真值的均方根值與實(shí)驗值的均方根值，上述幾種典型工況的RMS值誤差均在10%以內(nèi)。可以得出結(jié)論：振動加速度測試實(shí)驗結(jié)果與仿真結(jié)果較為吻合，實(shí)驗結(jié)果驗證了該行星齒輪減速器的振動特性仿真的可靠性。

時域信號可直觀顯示出振動加速度隨時間變化的趨勢，以及在不同工況下的強(qiáng)度情況，但實(shí)際測試中振動信號存在畸變和調(diào)制狀況，所以為了更有效地研究該減速器的振動特性，有必要進(jìn)行信號的頻域分析。對振動加速度時域信號進(jìn)行快速傅里葉變換，得到自變量為頻率、因變量為頻率幅值的頻譜函數(shù)，代表時域信號中各諧波成分的幅值隨頻率的線性分布。

圖9為典型工況下減速器振動加速度頻域分析結(jié)果。頻譜圖中存在的主要頻率成分為：輸入軸轉(zhuǎn)頻、齒輪副嚙合頻率及其高次諧波頻率，安裝同軸度誤差帶來的振動頻率、各種畸變與調(diào)制的頻率。頻譜圖中出現(xiàn)較大的振動加速度幅值響應(yīng)，是因為輸入軸偏心結(jié)構(gòu)造成的偏心慣性運(yùn)動對軸承滾珠存在沖擊以及齒輪副的嚙合沖擊。如圖9（a）所示，輸入轉(zhuǎn)速為600 r/min時，頻譜圖中峰值頻率為765.25 Hz，且在峰值點(diǎn)左右兩側(cè)60 Hz處存在小峰值;如圖9（c）、圖9（d）、圖9（e）所示，輸入轉(zhuǎn)速為1，400 r/min時，峰值頻率相近，均值為1，718.63 Hz，且在峰值點(diǎn)左右兩側(cè)80 Hz處存在小峰值;如圖9（b）所示，輸入轉(zhuǎn)速為2，200 r/min時，頻譜圖中峰值頻率為2，698.63 Hz，同樣在峰值點(diǎn)左右兩側(cè)80 Hz處存在小峰值。綜上分析可知，振動加速度信號頻率分布與輸入轉(zhuǎn)速存在正相關(guān)，且隨著工況轉(zhuǎn)速的增加，理論嚙合頻率分別為720 Hz、1，680 Hz、2，640 Hz，嚙合頻率理論與實(shí)驗值誤差分別為6.28%、2.26%、2.19%，在合理范圍內(nèi)，理論嚙合頻率值與實(shí)驗值較為吻合，且與模態(tài)分析中的各階固有頻率無重合部分，無共振現(xiàn)象產(chǎn)生。

5? ?結(jié)論（Conclusion）

本文推導(dǎo)了直線共軛少齒差行星齒輪減速器內(nèi)嚙合齒輪副的數(shù)學(xué)模型，并對減速器進(jìn)行動態(tài)嚙合力及振動特性仿真分析與實(shí)驗研究。

分析可知，直線共軛少齒差行星齒輪減速器的振動情況受輸入轉(zhuǎn)速和負(fù)載轉(zhuǎn)矩的影響，減速器的振動加速度與輸入轉(zhuǎn)速、負(fù)載轉(zhuǎn)矩呈現(xiàn)正相關(guān)性。針對減速器典型工況下的振動加速度，其實(shí)驗結(jié)果與仿真結(jié)果的均方根值的最大相對誤差為9.21%，減速器振動加速度仿真結(jié)果與實(shí)驗測試結(jié)果基本吻合。實(shí)驗結(jié)果驗證了仿真結(jié)果的正確合理性，有利于進(jìn)一步進(jìn)行結(jié)構(gòu)噪聲分析和優(yōu)化設(shè)計，為直線共軛齒廓在行星齒輪上的應(yīng)用推廣提供重要借鑒意義。

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作者簡介：

崔建昆（1964-），男，博士，副教授.研究領(lǐng)域：齒輪傳動、車輛工程.

高先潤（1996-），男，碩士生.研究領(lǐng)域：結(jié)構(gòu)模塊化設(shè)計，少齒差齒輪理論研究.