田 軍 劉永雷 徐 博 白建樸 李青霖

(東方地球物理公司研究院庫爾勒分院，新疆庫爾勒 841000)

0 引言

孔隙度是指示儲層物性的關(guān)鍵參數(shù)之一，可用于精細油藏研究。巖石物理反演是定量預(yù)測孔隙度的主要手段，其思路是以巖石物理模型為基礎(chǔ)，利用縱、橫波速度等彈性參數(shù)反演孔隙度、泥質(zhì)含量等物性參數(shù)[1-5]。現(xiàn)今的巖石物理反演方法主要以非線性巖石物理模型為基礎(chǔ)，構(gòu)建反演目標函數(shù)，并采用非線性算法求解，如蒙特卡洛法、模擬退火法等。但此類算法多解性強，且計算量巨大[6-8]。為此，近年來人們研究了線性反演方法。Grana[9]提出了對巖石物理模型線性近似的方法，并以此為基礎(chǔ)，實現(xiàn)了三參數(shù)(儲層孔隙度、泥質(zhì)含量與飽和度)線性化反演，大幅降低了計算量與反演多解性，為在實際生產(chǎn)中推廣應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。凌東明等[10]針對遠離均值點模型近似結(jié)果偏差較大的問題，采用巖性約束相分段近似Xu-White模型，提高了儲層物性預(yù)測精度。張佳佳等[11]以前人研究成果為基礎(chǔ)，利用阻尼最小二乘算法直接求解線性化巖石物理反演問題，提高了三參數(shù)反演的計算效率。

現(xiàn)有的巖石物理線性化反演方法均為三參數(shù)反演，是將疊前彈性反演得到的縱、橫波速度及密度作為已知量，求取孔隙度、泥質(zhì)含量與飽和度三個未知量[9-11]。與縱、橫波速度相比，密度對反射系數(shù)貢獻較小，反演密度需要更大的疊前地震道集角度范圍[12-13]。在儲層深埋條件下，由于疊前地震道集反射角較小，導(dǎo)致密度反演結(jié)果不可靠； 在忽略密度項的情況下，巖石物理三參數(shù)反演方程為欠定形式，無法得到唯一解，從而限制了現(xiàn)有巖石物理線性化反演方法對深埋儲層的預(yù)測。

在前人研究基礎(chǔ)之上，本文提出一種基于迭代算法的儲層孔隙度反演方法。該方法是在巖石物理模型線性近似的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)縱、橫波速度與孔隙度、泥質(zhì)含量的線性關(guān)系式，然后基于貝葉斯理論構(gòu)建孔隙度迭代反演目標函數(shù)，再利用二分法迭代求解。該方法不依賴于密度項，適用于儲層深埋條件的孔隙度反演。

1 孔隙度迭代反演方法

1.1 線性反演的局限性分析

巖石物理模型是巖石物理反演的基礎(chǔ)，建立了儲層物性參數(shù)與彈性參數(shù)之間的關(guān)系，可表示為

d=f(m)+e

(1)

其中

(2)

式中：d為由巖石縱波速度VP、橫波速度VS和密度ρ組成的向量；f(m)為巖石物理模型函數(shù)，m為由孔隙度φ、泥質(zhì)含量φ和含水飽和度SW組成的向量；e為誤差向量。巖石物理反演以式(1)為基礎(chǔ)求解模型參數(shù)m。在一般情況下，f(m)為非線性函數(shù)，需采用復(fù)雜的迭代算法求解，而此類算法多解性強，且計算量巨大，難以用于生產(chǎn)。為此，采用泰勒級數(shù)展開f(m)，保留一階項得到線性近似式

d?f(m0)+Jm0·(m-m0)+δ

(3)

其中

(4)

式中：Jm0為f(m)在已知點m0處的雅可比矩陣，在反演過程中可將m0設(shè)置為常值模型；δ為e的一階近似。在實際應(yīng)用中需根據(jù)目的層特征選擇合適的巖石物理模型建模，得到適合的模型參數(shù)，進而計算f(m0)與Jm0。

令b=f(m0)-Jm0·m0，對式(3)重新整理，得到儲層物性參數(shù)與彈性參數(shù)之間的線性關(guān)系式

(5)

式中：b(P)、b(S)和b(ρ)分別為泰勒級數(shù)展開后縱、橫波速度和密度對應(yīng)的系數(shù)項；δP、δS、δρ分別為泰勒級數(shù)展開后縱、橫波速度和密度對應(yīng)的誤差項?，F(xiàn)有的巖石物理線性反演方法均以式(5)為基礎(chǔ)，構(gòu)建目標函數(shù)求解[9-11]。式(5)為正定方程組，將疊前彈性反演得到的縱、橫波速度及密度作為已知量，可以得到唯一的孔隙度、泥質(zhì)含量與含水飽和度參數(shù)。但在儲層深埋條件下，疊前道集反射角較小，無法達到反演密度需要的最小角度范圍。若忽略密度項，則式(5)改為

(6)

式(6)包含兩個方程、三個未知量，為欠定方程組，以此為基礎(chǔ)進行巖石物理反演無法得到唯一解。因此，在儲層深埋條件下無法得到可靠密度反演結(jié)果，導(dǎo)致常規(guī)巖石物理線性反演方法不適用。

1.2 孔隙度反演方程推導(dǎo)

式(6)為儲層深埋條件下的縱、橫波速度與孔隙度、泥質(zhì)含量及飽和度的線性關(guān)系，雅可比矩陣系數(shù)項反映了不同物性參數(shù)對速度的貢獻程度。在油、水兩相飽和巖石中，孔隙度變化對速度影響最大，泥質(zhì)含量次之，飽和度最小[14]，即縱、橫波速度對飽和度變化不敏感。為此，將飽和度作為擾動項，則式(6)變?yōu)?/p>

(7)

由此可見，當給定初始飽和度時，式(7)為正定方程組，利用縱、橫波速度即可反演唯一的孔隙度與泥質(zhì)含量。因此，可以式(7)為基礎(chǔ)，基于貝葉斯理論構(gòu)建反演目標函數(shù)。

為公式推導(dǎo)方便起見，令

則式(7)簡化為

d′=G·m′+δ

(8)

依據(jù)貝葉斯理論，后驗概率密度分布函數(shù)正比于似然函數(shù)與先驗分布的乘積[15]。假設(shè)誤差項δ與先驗?zāi)Ｐ蛥?shù)m′均服從高斯分布，基于式(8)可構(gòu)建后驗概率密度分布函數(shù)近似式

P(m′|d′)?λ×

(9)

(10)

的最小值。為此，令?L/?m′=0，得到反演方程

(11)

1.3 飽和度敏感性分析

利用式(11)求解孔隙度與泥質(zhì)含量時，需給定飽和度項，即反演精度與飽和度準確程度相關(guān)。為驗證反演結(jié)果對飽和度的敏感性，應(yīng)用理論模型進行分析。

已知油、水兩相流體飽和巖石孔隙度、泥質(zhì)含量與含水飽和度曲線(圖1a)，通過巖石物理正演得到縱波速度與橫波速度(圖1b)。在正演過程中，選用適用砂、泥巖儲層的Xu-White模型[16]作為巖石物理模型。為進行極限測試，給定不同常值飽和度模型，利用縱、橫波速度反演孔隙度與泥質(zhì)含量，進而分析飽和度對反演精度的影響。

圖2為不同飽和度模型的反演與正演結(jié)果。由圖可見：當含水飽和度為1.00時，反演、正演結(jié)果均與模型曲線存在較大偏差(圖2a)； 當含水飽和度為0時(與飽和度均值較接近)，反演、正演效果得到明顯改善(圖2b)； 當含水飽和度為0.50時(進一步逼近飽和度均值)，反演、正演效果進一步提升(圖2c)； 當含水飽和度為模型均值(0.29)時，反演、正演結(jié)果與模型具有較好的一致性(圖2d)。

圖3為圖2對應(yīng)的反演結(jié)果絕對誤差。由圖可見，設(shè)定飽和度越接近模型飽和度均值，絕對誤差越小，具體表現(xiàn)為：當飽和度為1.00時，孔隙度平均絕對誤差為0.034，泥質(zhì)含量平均絕對誤差為0.106(圖3a)； 當飽和度為0時，孔隙度平均絕對誤差為0.013，泥質(zhì)含量平均絕對誤差為0.042(圖3b)； 當飽和度為0.50時，孔隙度平均絕對誤差為0.01，泥質(zhì)含量平均絕對誤差為0.033(圖3c)； 當飽和度為模型飽和度均值(0.29)時，孔隙度平均絕對誤差為0.003，泥質(zhì)含量平均絕對誤差為0.011(圖3d)。因此，對于油、水兩相的流體飽和巖石模型，反演結(jié)果對飽和度模型的精度要求低，給定合理的常值飽和度模型，即可保證相對反演結(jié)果的可靠性，說明反演結(jié)果對飽和度不敏感。

圖1 油、水兩相流體飽和巖石一維正演模型(a)儲層物性測井曲線； (b)正演曲線各組分巖石物理參數(shù)為理論值[17]，根據(jù)實際工區(qū)特點取砂、泥巖組分孔隙橫縱比分別為0.150、0.005

圖2 不同飽和度模型的反演與正演結(jié)果(a)飽和度為1.00； (b)飽和度為0； (c)飽和度為0.50； (d)飽和度為模型均值(0.29)藍色為模型曲線，紅色為反演結(jié)果，綠色為利用反演的孔隙度、泥質(zhì)含量與給定飽和度通過正演得到的縱、橫波速度曲線

圖3 圖2對應(yīng)的反演結(jié)果絕對誤差(a)飽和度為1.00； (b)飽和度為0； (c)飽和度為0.50； (d)飽和度為模型飽和度均值(0.29)黑色實線為誤差曲線，紅色虛線為0值線

1.4 孔隙度迭代反演流程

由上述分析可知，反演精度取決于對真實飽和度均值的搜索，常值模型的飽和度越接近真實飽和度均值，反演精度越高。為此，本文采用二分法迭代求解式(11)，思路如下：

(1)分別設(shè)置初始模型的含水飽和度為0、1.00進行第一次反演，得到孔隙度與泥質(zhì)含量，并基于巖石物理模型，結(jié)合反演結(jié)果正演縱、橫波速度，并計算正演結(jié)果與實測結(jié)果的平均相關(guān)系數(shù)γ0、γ1；

(2)按二分法，對初始飽和度模型求平均，得到第二次反演所需的飽和度常值模型，即為0.50，并計算正演相關(guān)系數(shù)γ2，對比γ0，γ1，γ2，保留兩項最大相關(guān)系數(shù)及對應(yīng)飽和度進入下一輪反演；

圖4 孔隙度迭代反演流程

(3)如果反演結(jié)果的精度滿足要求，則終止迭代，輸出最終反演結(jié)果，否則，求取平均孔隙度繼續(xù)迭代，直到反演結(jié)果滿足要求或達到最大迭代次數(shù)為止。

上述迭代反演方法可忽略密度項影響，僅利用縱、橫波速度即可得到相對可靠的孔隙度(圖4)。

2 模型試算

為驗證孔隙度迭代反演方法的可行性與反演結(jié)果的有效性，利用一維正演模型(圖1)進行測試。以正演過程采用的巖石物理模型為基礎(chǔ)，利用縱、橫波速度迭代反演孔隙度與泥質(zhì)含量。

圖5為一維模型孔隙度迭代反演結(jié)果，圖6為

圖5 一維模型孔隙度迭代反演結(jié)果(a)第一次迭代(由二分法得到的飽和度均值為0.500)； (b)第二次迭代(由二分法得到的飽和度均值為0.250)；(c)第三次迭代(由二分法得到的飽和度均值為0.375)； (d)第四次迭代(由二分法得到的飽和度均值為0.3125)紅、藍色線分別為反演曲線與模型曲線

圖6 圖5對應(yīng)的反演結(jié)果絕對誤差(a)第一次迭代； (b)第二次迭代； (c)第三次迭代； (d)第四次迭代黑色實線為誤差曲線，紅色虛線為0值線

圖5對應(yīng)的反演結(jié)果絕對誤差。由圖可見：隨著迭代次數(shù)增加，飽和度均值趨于模型飽和度均值0.29，反演結(jié)果逐漸收斂(圖5)； 孔隙度、泥質(zhì)含量反演結(jié)果絕對誤差接近0(圖6)，并且收斂速度較快，2～4次迭代即可得到最優(yōu)解。上述結(jié)果說明所提迭代反演方法可行、有效。

3 實際應(yīng)用

M區(qū)位于塔里木盆地北部凹陷，研究目標為底水塊狀油藏，埋深大于5000m，目的層為砂巖儲層，厚度約為100m，以濱岸相沉積為主。儲層物性相對均勻，且地震資料品質(zhì)較好，適合孔隙度迭代反演測試。該區(qū)W1井測井序列相對完整，包含縱、橫波速度及密度數(shù)據(jù)，通過計算可得到孔隙度、泥質(zhì)含量及飽和度。以W1井數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)進行巖石物理建模，選用適合砂巖儲層的Xu-White模型[16]。

圖7為M區(qū)巖石物理模型正演結(jié)果，可見實測曲線與正演結(jié)果較吻合，證明所建巖石物理模型有效。通過巖石物理建模，確定M區(qū)砂、泥巖組分孔隙橫縱比分別為0.190、0.008，巖石物理基本建模參數(shù)如表1所示。

表1 各組分巖石物理基本參數(shù)

基于巖石物理建模結(jié)果，結(jié)合疊前同步反演得到的縱、橫波速度等彈性參數(shù)，并將飽和度分別為1和0的初始含水飽和度模型作為輸入，進行迭代反演，求取孔隙度與泥質(zhì)含量(圖8)。

圖8為M區(qū)孔隙度與泥質(zhì)含量迭代反演剖面。由反演結(jié)果可見一條高泥質(zhì)含量條帶(圖8b)，且對應(yīng)位置的反演孔隙度出現(xiàn)明顯低值區(qū)(圖8a)，穩(wěn)定泥巖段上覆于巨厚塊狀砂體之上，與鉆井成果及地質(zhì)認識相吻合。因此，反演結(jié)果較好地表征了目的層段儲蓋組合。為了進一步驗證反演效果，提取井點位置的反演曲線進行分析。

圖9為W1、W2井井位處目的層段反演結(jié)果。由圖可見，孔隙度、泥質(zhì)含量反演結(jié)果與實測曲線的相對變化規(guī)律基本一致，但二者的絕對值在局部存在差異，其原因是迭代得到的常值模型飽和度與實際飽和度的差異所致。因此，反演結(jié)果對目的層段儲層物性具有一定指示作用，對于純油層或純水層，反演精度高，但當流體性質(zhì)存在縱向分異時，反演精度有所下降。

圖7 M區(qū)巖石物理模型正演結(jié)果黑色線為實測曲線，紅色線為正演結(jié)果

圖8 M區(qū)孔隙度(a)與泥質(zhì)含量(b)迭代反演剖面W2井揭示，在東河砂巖下段儲層物性發(fā)生變化，泥質(zhì)含量增加、孔隙度降低

圖9 W1(a)、W2井(b)井位處目的層段反演結(jié)果

4 結(jié)論

本文以巖石物理線性近似模型為基礎(chǔ)，推導(dǎo)了縱、橫波速度與孔隙度、泥質(zhì)含量的線性關(guān)系式，并基于貝葉斯理論構(gòu)建反演目標函數(shù)，利用二分法求解，迭代反演了儲層孔隙度、泥質(zhì)含量。該方法不依賴于密度項，適用于儲層深埋條件下的孔隙度預(yù)測，拓寬了巖石物理線性反演方法的適用性。理論模型與實際數(shù)據(jù)測試結(jié)果表明，所提方法具有一定可行性，且應(yīng)用效果較明顯。

針對油、水兩相流體飽和巖石，本文方法反演結(jié)果對飽和度模型不敏感，應(yīng)用迭代反演方法可以得到相對可靠的孔隙度預(yù)測結(jié)果。對于純油層或純水層，反演精度高，但當流體性質(zhì)存在縱向分異時，反演精度有所下降。對于氣層，反演結(jié)果對飽和度模型的精度要求較高，可能會降低孔隙度迭代反演方法的適用性。關(guān)于含氣儲層的孔隙度反演方法有待進一步研究和完善。