耦合雙復(fù)擺模型的測度同步研究

摘? 要：對耦合雙擺模型中的測度同步現(xiàn)象進行了研究。該系統(tǒng)是一個哈密頓系統(tǒng)。主要對懸掛在同一橫梁下的兩個雙擺的一個非耗散耦合系統(tǒng)進行分析。通過系統(tǒng)哈密頓量得到系統(tǒng)的運動方程，改變系統(tǒng)耦合強度R（橫梁質(zhì)量與擺上小球質(zhì)量之比），計算擺角隨時間演化圖，相空間軌跡圖，擺的平均能量圖來研究本物理系統(tǒng)到達測度同步現(xiàn)象。當(dāng)耦合參數(shù)達到并且小于臨界耦合參數(shù)時，從中可以觀察到耦合雙復(fù)擺系統(tǒng)達到了測度同步的狀態(tài)。該研究完善對于測度同步現(xiàn)象的認知。

關(guān)鍵詞：測度同步;哈密頓系統(tǒng);非耗散系統(tǒng)

中圖分類號：TP391.9? ? ? ? ?文獻標(biāo)識碼：A文章編號：2096-4706（2022）02-0081-06

Abstract： The phenomenon of measure synchronization in the coupled double pendulum model is studied. The system is a Hamiltonian system. Mainly analyzes a non-dissipative coupling system of two double pendulums suspended under the same beam. The equation of motion of the system is obtained through the system Hamiltonian， the coupling strength R of the system is changed （the ratio of the mass of the beam to the mass of ball in the pendulum）， the evolution diagram of the pendulum angle with time， the phase space trajectory diagram， and the average energy diagram of the pendulum are calculated， the synchronization phenomenon of arrival measure of this physical system is studied. When the coupling parameter reaches and is smaller than the critical coupling parameter， it can be observed that the coupled double compound pendulum system reaches the state of measurement synchronization. This study refines our understanding of the phenomenon of measure synchronization.

Keywords： measure synchronization; Hamiltonian system; non-dissipative system

0? 引? 言

人類定義自然界中將至少在多個客體系統(tǒng)間存在的相對的具有一致性的運動關(guān)系為同步現(xiàn)象，我們可以在自然界的各個方面中發(fā)現(xiàn)同步現(xiàn)象的存在。同步現(xiàn)象是由荷蘭物理學(xué)家Huygens無意間發(fā)現(xiàn)的。研究同步過程中大多數(shù)討論的是在耗散系統(tǒng)中，而對于保守系統(tǒng)，由于Liouville定理的限制，保守系統(tǒng)的相空間守恒不會存在吸引子導(dǎo)致相空間塌縮，所以保守系統(tǒng)中不會出現(xiàn)耗散系統(tǒng)中出現(xiàn)的同步現(xiàn)象。Hampton 和 Zanette等人在二維映像系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了測度同步現(xiàn)象，這種現(xiàn)象發(fā)生在保守系統(tǒng)中，保守系統(tǒng)中的測度同步存在系統(tǒng)間的耦合作用[1]。Vincent通過對耦合Duffing 哈密頓系統(tǒng)集體行為的觀察發(fā)現(xiàn)在準(zhǔn)周期和混沌態(tài)中存在著測度同步現(xiàn)象，并且提出了部分測度同步的概念[2]。陳紹英等提出了測度同步的數(shù)值判定方法。其基本思想是：由保守系統(tǒng)的性質(zhì)和由測度同步的含義可知，在投影平面上每一系統(tǒng)演化的相空間中任一相點的任意小的鄰域內(nèi)總能找到另一個系統(tǒng)的運動軌跡[3]。田靜等在雙組分玻色-約瑟夫遜結(jié)中發(fā)現(xiàn)了測度同步現(xiàn)象以及非局域化測度同步現(xiàn)象，并利用Poincaré截面分析方法對測度同步的發(fā)生機理給出了一般性的解釋[4]。Gupta等研究了非線性耦合哈密頓系統(tǒng)中的測度同步現(xiàn)象，通過振蕩器頻率隨耦合強度的變化，詳細描述了測度同步的轉(zhuǎn)變過程，并找到合適的序參量，準(zhǔn)確識別系統(tǒng)中測度同步的轉(zhuǎn)變過程[5]。

本文主要是對于非耗散耦合哈密頓雙復(fù)擺中的測度同步現(xiàn)象的研究，在該物理系統(tǒng)中我們將兩個復(fù)擺懸掛在一個剛性橫梁上，并對該物理模型進行動力學(xué)分析，計算該系統(tǒng)的哈密頓量得到系統(tǒng)的運動方程。通過改變系統(tǒng)的耦合參數(shù)R，我們能夠得到該系統(tǒng)的擺角隨時間演化圖，相空間軌跡圖，復(fù)擺的平均能量圖。通過對圖像的分析對于系統(tǒng)的測度同步現(xiàn)象的變化過程，最后總結(jié)得到的相關(guān)現(xiàn)象。

1? 模型

本文所研究的非耗散耦合復(fù)擺系統(tǒng)是一個將N個復(fù)擺懸掛于一個剛性橫梁上。橫梁的質(zhì)量為M，并且該橫梁可以沿著水平方向移動，水平方向上的位移由x表示，這里的每個雙擺由兩個擺以及固定在擺的底端上的質(zhì)量組成，如圖1所示。

第i個上擺和第i個下擺的長度由li1和li2（i=1，2，3，…，N）表示。同樣的，每個擺的質(zhì)量都集中于擺的底端，第i個上擺和第i個下擺的質(zhì)量由mi1和mi2（i=1，2，3，…，N）表示。在本文中為了便于計算，所以我們使擺具有相同的長度li1=li2=l，以及質(zhì)量mi1=mi2=m。每個擺的擺角可由θi1（上擺）θi2（下擺）表示。假設(shè)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)很小，可以忽略系統(tǒng)的耗散。因此我們所分析的系統(tǒng)是一個非耗散耦合雙復(fù)擺系統(tǒng)。為了簡化模型，我們考慮有兩個復(fù)擺懸掛在橫梁上，即N=2。

那么我們根據(jù)系統(tǒng)的模型可以寫出系統(tǒng)的哈密頓量：

θi1和θi2是雙擺的位移角度，重力加速度g。利用拉格朗日方程計算系統(tǒng)的運動方程：

通過進行如下變換將系統(tǒng)無量綱化。將公共橫梁的無量綱位置定義為y=x/l，無量綱時間定義為T=ω0t，耦合擺角的角頻率為。得到如下運動方程：

在上述方程中我們引入一個自由參數(shù)（橫梁與擺質(zhì)量之比）為系統(tǒng)的耦合參數(shù)。

2? 數(shù)值模擬

將系統(tǒng)的運動方程采用四階龍格庫塔法進行計算。并且只考慮擺質(zhì)量m=1擺長l=0.2485，擺的固有頻率ω0=2π，系統(tǒng)的初始條件設(shè)置為：θ11（0）=0.145;θ12（0）=0.205;θ21（0）=-0.05;θ22（0）=-0.07;（0）=0;（0）=0; （0）=0;（0）=0。

圖2為θ11（t），θ12（t），θ21（t），θ22（t）在不同R值下隨時間演化情況，（a）、（e）、（i）、（m）代表θ11（t），（b）、（f）、（j）、（n）代表θ12（t），（c）、（g）、（k）、（o）代表θ21（t），（d）、（h）、（l）、（p）代表θ22（t），每一組對應(yīng)一個R值，R=1 500/1 060/1 049.2/1 020。不同的兩個擺角θ11（t），θ21（t）以及θ12（t），θ22（t）的隨時間演化圖揭示了大時間尺度上的連貫動力學(xué)跡象。當(dāng)R=1 500（圖2（a）、（b）、（c）、（d））時θ11（t）的振幅始終大于θ21（t）同樣的θ12（t）的振幅始終大于θ22（t），并且振幅都隨時間變化而變化。當(dāng)R=1 060（圖2（e）、（f）、（g）、（h））時，θ11（t）的振幅始終大于θ21（t）同樣的θ12（t）的振幅始終大于θ22（t），但與R=1 500時不同，振幅隨時間變化的現(xiàn)象更加顯著。當(dāng)R=1 049.2（圖2（i）、（j）、（k）、（l））時，擺的隨時間演化圖突然發(fā)生動態(tài)變化，表現(xiàn)出了明顯的相干動力學(xué)，即θ11（t）與θ21（t）的最大振幅相同，θ11（t）與θ21（t）的振幅峰值變化存在最大相位差π同時θ12（t）與θ22（t）的最大振幅相同，θ12（t）與θ22（t）的振幅峰值變化存在最大相位差π。當(dāng)我們繼續(xù)減小R=1 020（圖2（m）、（n）、（o）、（p））時系統(tǒng)中擺的相干動力學(xué)現(xiàn)象更為顯著。至此我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)耦合系數(shù)小于某個值Rc時，系統(tǒng)就會出現(xiàn)這種一致行為。如果我們觀察和，和在不同R值下的時間演變，也會出現(xiàn)類似的特征。然而，如果我們放大時間進行演化，盡管在表觀相干動力學(xué)行為的背后已經(jīng)實現(xiàn)了弱相位同步，但是我們將看不到完整的同步跡象。所以我們發(fā)現(xiàn)這個閾值Rc=1 049.2。

為了進一步探索相干動力學(xué)，我們在相空間中繪制了耦合復(fù)擺系統(tǒng)的相空間軌跡圖。

如圖3所示，我們在相空間中分別繪制了和（i=1，2）的相空間域，圖中黑色部分代表i=1，紅色部分代表i=2。圖3中（a）與（b）顯示了R=1 500時復(fù)擺的相空間域。圖3中（c）與（d）表示了R=1 060時的相空間域。圖3中的（e）和（f）代表了R=1 049.3時的相空間域。圖3中（g）和（h）代表了R=1 049.2時的相空間域。對于近似非耦合的情況，如R=1 500時我們可以觀察到在相空間中兩條不同的曲線，這代表了相空間的周期運動。當(dāng)R減小到1 060時由于共梁引入的耦合效應(yīng)，可以觀察到兩個擺在相空間上的兩個相空間域。隨著R的減小我們可以觀察到兩邊的相空間域逐漸接近至R=1 049.3可以看到內(nèi)相空間域的外邊界逐漸與外相空間的內(nèi)邊界的間隔已經(jīng)非常接近但還未發(fā)生突變。當(dāng)耦合參數(shù)達到臨界閾值RC=1 049.2時（如圖3（g）和（h）所示），相空間域發(fā)生了突變，兩個相空間域達到了完全重疊的狀態(tài)。綜上所述，在耦合參數(shù)達到閾值后和的相空間域完全重疊，這個狀態(tài)被稱為測度同步現(xiàn)象。因此我們可以得出，在非耗散耦合共梁雙復(fù)擺系統(tǒng)中存在測度同步現(xiàn)象。

如圖4所示，為了更加準(zhǔn)確的耦合復(fù)擺系統(tǒng)的測度同步現(xiàn)象的相變行為我們討論了非耗散耦合復(fù)擺系統(tǒng)的復(fù)擺能量隨時間演化。圖4（a）～（d）顯示了每個復(fù)擺的能量隨時間演化情況。圖中綠色線條表示第一個擺l11+l12，紅色線條表示第二個擺l21+l22。圖4（a） ～（d）分別對應(yīng)不同耦合系數(shù)R=1 500/1 060/1 049.2/1 020的圖像。當(dāng)R>RC時系統(tǒng)未達到測度同步轉(zhuǎn)變之前，如圖4（a）中R=1 500時，E1與E2完全不重疊，兩個復(fù)擺的能量有各自的能量變化行為。隨著R的減小當(dāng)R=1 060時E1與E2完全不重疊但已經(jīng)發(fā)生了能量曲線互相接近的表現(xiàn)，初始能量高的下邊界逐漸接近初始能量低的擺的上邊界。當(dāng)繼續(xù)減小R達到臨界耦合強度RC=1049.2時，在達到臨界耦合參數(shù)RC后如圖4（c），E1與E2有著完全相同的能量變化范圍，并且有著相位差π。繼續(xù)減小R=1020后如圖4（d），E1與E2保持著完全相同的能量變化范圍并且存在相位差π。這種現(xiàn)象說明兩個雙擺達到了全部的測度同步。

為了能夠描述系統(tǒng)在測度同步狀態(tài)的變化過程，這里引入每個復(fù)擺的平均能量：

如圖5所示，展示了R與E1，E2的關(guān)系，R=1 049.2處發(fā)生了一個急劇的轉(zhuǎn)變，這個轉(zhuǎn)變標(biāo)志著測度同步現(xiàn)象的轉(zhuǎn)變。在R大于1 049.2時兩個復(fù)擺的平均能量有著一個明顯的間隔E1的能量遠大于E2的能量，當(dāng)R逐漸減小接近RC兩個復(fù)擺的平均能量E1與E2逐漸趨近。R=RC時發(fā)生了測度同步的轉(zhuǎn)變，R小于閾值1 049.2時兩個復(fù)擺的平均能量相同。因此我們可以判斷系統(tǒng)到達了測度同步。

3? 結(jié)? 論

在本文中，我們討論了一個非耗散耦合共梁雙復(fù)擺模型系統(tǒng)中的同步特性。我們通過對系統(tǒng)的分析得到系統(tǒng)的哈密頓量，之后利用拉格朗日方程以及無量綱化得到了系統(tǒng)的無量綱方程。得到了系統(tǒng)的耦合參數(shù)（橫梁質(zhì)量與復(fù)擺質(zhì)量之比）。通過得到系統(tǒng)的擺角θi1，θi2隨時間演化圖像，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)出現(xiàn)相干動力學(xué)行為，并且發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)的臨界耦合參數(shù)RC當(dāng)耦合參數(shù)到達RC=1 049.2時系統(tǒng)發(fā)生了測度同步現(xiàn)象。并且通過得到系統(tǒng)的相空間軌跡圖以及復(fù)擺能量隨時間演化圖更加清楚的表明了系統(tǒng)在達到測度同步過程中系統(tǒng)發(fā)生的能量變化現(xiàn)象。當(dāng)這些現(xiàn)象表明當(dāng)耦合系數(shù)R減小并且達到臨界耦合強度時，各擺之間的耦合強度會增加，系統(tǒng)出現(xiàn)了同步狀態(tài)這種狀態(tài)稱為測度同步。

參考文獻：

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作者簡介：孟樂言（1996.08—），男，漢族，陜西銅川人，碩士研究生在讀，研究方向：非線性動力學(xué)。