文／江蘇省無錫市梅里中學(xué) 甄 璽

在七年級(jí)上學(xué)期，我認(rèn)識(shí)了整式，學(xué)會(huì)了整式的加減法；在七年級(jí)下學(xué)期，我學(xué)習(xí)了整式的乘法，唯獨(dú)沒學(xué)整式的除法；直到八年級(jí)下學(xué)期，我學(xué)習(xí)了分式，找到了分式與整式除法之間的關(guān)聯(lián)。那么，當(dāng)分式與我們學(xué)過的其他知識(shí)碰撞在一起，會(huì)擦出什么樣的火花呢？下面，我們一起來欣賞一下。

一、分式與方程的碰撞——分類中的陷阱

例1若關(guān)于x的分式方程無解，求m的值。

【解析】解分式方程，就是把它轉(zhuǎn)換為整式方程。x2-4 可以分解因式，得（x+2）（x-2），方程兩邊同時(shí)乘最簡(jiǎn)公分母，這樣去掉分母后就變成了整式方程2x+4+mx=3x-6，解得。分式方程無解有兩種情況：①方程出現(xiàn)增根，②去分母后的整式方程無解。若分式方程有增根，即原方程分母為0，即x=2 或-2，即x=或-2，得m=-4 或6；若去分母后的整式方程無解，即無解，此時(shí)1-m=0，得m=1。綜上所述，m=-4 或6 或1。解決此題的關(guān)鍵是理解分式方程無解的含義，從而避開題中的陷阱。

二、分式與不等式的碰撞——轉(zhuǎn)化中的曲折

例2如果關(guān)于x的不等式組有且僅有四個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程有非負(fù)數(shù)解，求符合條件的所有整數(shù)m的和。

【解析】首先把不等式組的解集求出來，得可得四個(gè)整數(shù)解分別為-3，-2，-1，0，所以，解得2≤m＜7。把轉(zhuǎn)化成整式方程2-my+8=2-y，解得。有非負(fù)數(shù)解，則解得m＞1。因?yàn)樵匠讨?-y≠0，即y≠2，即，即m≠5。結(jié)合不等式組的解集2≤m＜7，可得m取值范圍為2≤m＜7 且m≠5，m的整數(shù)解為2，3，4，6，和為15。此題中，不等式組有有限個(gè)特殊解，分式方程有特殊解，分式有意義，分母不等于0……都是本題的易錯(cuò)點(diǎn)。分式與不等式的碰撞，讓我們的解題更加“步步驚心”。

三、分式與連等式的碰撞——消元中的對(duì)稱

例3已 知 實(shí) 數(shù)a，b，c滿 足，求的值。

【解析】把設(shè)，則ak=b+c，bk=a+c，ck=a+b，將三式相加得2（a+b+c）=k（a+b+c）。此時(shí)分類討論：

①若a+b+c=0，則a+b=-c，b+c=-a，

②若a+b+c≠0，則k=2，所以b+c=2a，a+c=2b，a+b=2c，得

此類連等式題中未知數(shù)較多，解決時(shí)最重要的就是消元。我們可以利用其對(duì)稱性解決此題。

初中數(shù)學(xué)分為代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)、概率四大板塊，每一塊中又有許多不同的知識(shí)點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)并不是單獨(dú)存在的，而是互相聯(lián)系，互相依存。我們只有把不同的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，形成體系，才能更全面、更深刻地理解知識(shí)，從而把數(shù)學(xué)學(xué)好、學(xué)深、學(xué)透。

教 師 點(diǎn) 評(píng)

小作者從整式的加、減、乘法說起，揭開分式與整式之間的關(guān)聯(lián)，說明他已理清本章知識(shí)從哪里來，怎么形成的，又將到哪里去的問題。同時(shí)，小作者能以本章的易錯(cuò)點(diǎn)及重難點(diǎn)為突破口，從方程、不等式、連等式三個(gè)角度對(duì)分式進(jìn)行深度剖析，使得分式的學(xué)習(xí)更加精準(zhǔn)有效。