石宇靜， 胡昌敏， 李善強

(1.福建工程學(xué)院 計算機科學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 福州 350118；2. 哈爾濱理工大學(xué) 數(shù)學(xué)系，黑龍江 哈爾濱 150080)

0 引 言

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)普遍存在于我們的生活以及工程中， 如萬維網(wǎng)、互聯(lián)網(wǎng)、生命科學(xué)[1]等。近幾年， 由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的廣泛應(yīng)用，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究吸引了越來越多學(xué)者關(guān)注。同步是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一種普遍現(xiàn)象。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步控制的方法主要包括牽制控制[2-3]、脈沖控制[4]、滑模控制[5-6]和間歇控制[7]等。

目前復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步控制的研究多數(shù)采用狀態(tài)反饋控制方法。但在實際中，由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)包含眾多節(jié)點以及各種條件的限制，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的狀態(tài)往往不便測量或者測量成本過高，因此研究有效的輸出反饋同步控制方法是極具現(xiàn)實意義的。文獻(xiàn)[8]研究了基于狀態(tài)觀測器方法的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)輸出反饋同步控制問題， 利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，得到了保證復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的充分條件。文獻(xiàn)[9]研究了帶有執(zhí)行器飽和以及概率故障的時滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)輸出反饋同步控制問題。利用Lyapunov-Krasovskii函數(shù)法和隨機分析技術(shù)證明了同步誤差系統(tǒng)和觀測誤差系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，并且給出了原點吸引域估計的凸優(yōu)化算法。文獻(xiàn)[10]研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)輸出反饋同步控制問題，考慮了系統(tǒng)執(zhí)行器的偏差故障，利用線性矩陣不等式技術(shù)得到了同步誤差范數(shù)有界的充分條件。

另一方面，在網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)中，由于信號傳輸過程中傳輸容量的限制、 數(shù)據(jù)包的有限字長等原因,通常需要對經(jīng)由有限速率網(wǎng)絡(luò)傳輸給下一個節(jié)點的信號進行量化。量化器的引入解決了一些數(shù)字信號不易編碼的問題，同時也減輕了信息傳輸對網(wǎng)絡(luò)帶寬的壓力。量化現(xiàn)象對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步性能的影響不容忽略，因此，近些年對于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的量化同步控制問題已涌現(xiàn)了一些研究結(jié)果。例如，文獻(xiàn)[11]設(shè)計了量化牽制同步控制器，其特點是控制器中不含有符號函數(shù)避免了抖動現(xiàn)象，并給出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)固定時間穩(wěn)定的判別準(zhǔn)則。文獻(xiàn)[12]利用量化同步控制的方法，研究了具有不連續(xù)節(jié)點的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)有限時間同步控制問題。文獻(xiàn)[13]設(shè)計了量化間歇同步控制器，利用多重Lyapunov函數(shù)法和凸組合技術(shù)，研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步控制問題，并給出了設(shè)定時間估計的最優(yōu)算法。但上述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)量化同步控制的研究都是采用狀態(tài)反饋控制策略，而當(dāng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的狀態(tài)不可測時，上述控制策略均不能適用。

基于上述分析，本文研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的輸出反饋量化同步控制問題。主要貢獻(xiàn)可歸納如下：1)為了減輕信號傳輸對網(wǎng)絡(luò)帶寬的壓力，采用對數(shù)量化器對控制輸入信號進行量化。并利用范數(shù)有界不確定性的方法處理控制量化問題，分析量化對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步性能的影響。2)通過設(shè)計狀態(tài)觀測器獲得網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的狀態(tài)估計，以該狀態(tài)估計為基礎(chǔ)給出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)輸出反饋量化同步控制器的設(shè)計方法。3)通過Lyapunov 穩(wěn)定性理論以及線性矩陣不等式技術(shù), 得到保證觀測誤差和同步誤差漸近收斂的充分條件。

1 問題描述

考慮由N個節(jié)點構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，且第i個節(jié)點的動態(tài)模型為：

(1)

其中xi(t)∈n,ui(t)∈m,yi(t)∈q分別表示復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)第i個節(jié)點的狀態(tài)向量，控制輸入和測量輸出。A∈n×n,B∈n×m,C∈q×n，且矩陣B為列滿秩矩陣。g(·)∈n是一個非線性函數(shù)向量。Γ是對角的內(nèi)部耦合矩陣。Φ=(φij)N×N表示外部耦合矩陣，當(dāng)i≠j時，若第i個節(jié)點與第j個節(jié)點有連接，則φij>0，否則φij=0，且

令x0(t)∈n是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中孤立節(jié)點的狀態(tài)，假定它是唯一的, 并且滿足如下方程:

(2)

其中y0(t)∈q是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)孤立節(jié)點的測量輸出。

考慮系統(tǒng)(1)中的狀態(tài)是不可測的，設(shè)計如下形式的狀態(tài)觀測器：

(3)

LiCξi(t)。

(4)

定義同步誤差為ei(t)=xi(t)-x0(t)，由式(1)和式(2)可得，同步誤差動態(tài)方程可以表示為

Bui(t)。

(5)

其中f(ei(t))=g(xi(t))-g(x0(t))。

假設(shè)1:對于任意的a,b∈n，非線性向量函數(shù)g(xi(t))滿足以下條件：

‖g(a)-g(b)‖≤d‖a-b‖,

其中d≥0是一個已知的常數(shù)。

引理1[14]對于任意的兩個向量x,y∈n，有下列不等式成立：

xΤy+yΤx≤λxΤx+λ-1yΤy。

其中λ>0是一個常數(shù)。

引理2[15]M,N,F是具有適當(dāng)維數(shù)的實矩陣，且F滿足FΤF≤I，那么對于任意的標(biāo)量ε>0，有

MFN+NΤFΤMΤ≤ε-1MMΤ+εNΤN。

2 量化同步控制器設(shè)計

令φ(·):→為對數(shù)量化器，其中={±ωi:ωi=ρiω0,i=±1,±2,…,}∪{±ω0}∪{0}，且ω0>0。對于?τ∈，相應(yīng)的對數(shù)量化器可表示為：

(6)

對于第i個節(jié)點，設(shè)計如下量化控制器：

(7)

又由式(6)可得

[In+Λi](ei(t)-ξi(t))。

(8)

其中Λi=diag{Λi1,Λi2,…,Λin}，且Λij∈[-δi,δi]。

根據(jù)式(8)，量化控制器式(7)可以進一步表示成如下形式：

ui(t)=-Ki[In+Λi]ei(t)+Ki[In+Λi]ξi(t)。

(9)

將式(9)代入式(5)，則同步誤差系統(tǒng)可以改寫為

BKi[In+Λi]ei(t)+

BKi[In+Λi]ξi(t)。

(10)

(11)

由于矩陣B∈n×m列滿秩，即rank(B)=m，則有那么存在正交矩陣U∈Nn×Nn，V∈Nm×Nm使得下列等式成立：

(12)

(13)

其中P11>0∈Nm×Nm，P22>0∈N(n-m)×N(n-m)，則存在非奇異矩陣R∈Nm×Nm使得

另外，容易得到觀測誤差動態(tài)系統(tǒng)(4)的增廣形式為

(14)

若令η(t)=[eΤ(t)ξΤ(t)]Τ，由式(11)和式(14)可得如下閉環(huán)系統(tǒng)方程：

(15)

其中

3 主要結(jié)果

(16)

其中

(IN?AΤ+ΦΤ?Γ)P1-

(IN?AΤ+ΦΤ?Γ)P2-

則在量化控制器(7)的作用下閉環(huán)系統(tǒng)(15)漸近穩(wěn)定，且控制器和觀測器增益矩陣分別為

證明：選取如下Lyapunov函數(shù)

V(t)=ηΤ(t)Pη(t)

(17)

由假設(shè)1可知：

‖f(ei(t))‖=‖g(xi(t))-g(x0(t))‖≤

di‖xi(t)-x0(t)‖=

di‖ei(t)‖。

從而有

eΤ(t)(D?In)e(t)。

(18)

hΤ(ξ(t))h(ξ(t))≤ξΤ(t)(Θ?In)ξ(t)。

(19)

(20)

(21)

將式(20)和式(21)代入式(17)，則有：

λ1Ξ+λ2Q]η(t)=ηΤ(t)Ωη(t)。

(22)

(23)

其中

(IN?AΤ+ΦΤ?Γ)P1-

根據(jù)引理3可知，存在非奇異矩陣R∈Nm×Nm使得由式(12)和式(13)可得

即有：

因此R=(VΤ)-1Σ-1P11ΣVΤ，由此可得：

(24)

其中

由式(24)，應(yīng)用Schur補引理可知，若有下面的不等式成立，則可保證Ω<0。

(25)

4 仿真

根據(jù)文獻(xiàn)[17]，考慮由5個蔡氏電路構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。單個蔡氏電路如圖1所示，且其動態(tài)方程描述如下：

圖1 蔡氏電路

其中：v1、v2分別表示電容C1、C2兩端的電壓；i3表示通過電感器L的電流；R0、R是線性電阻；f(v1)表示通過非線性電阻NR的電流，且

f(v1)=Gb1v1+0.5(Ga1-Gb1)(|v1+1|-|v1-1|)。

根據(jù)文獻(xiàn)[18]，將反饋控制與電感串聯(lián)構(gòu)成電源u(t)，因此復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以表示成如下形式：

令復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的外部耦合矩陣為：

如文獻(xiàn)[18]，選擇p=9.1，q=1，r=1，Gb1=-0.755 9，Ga1=-1.393 86，v=16.581 1，z=0.138 083，w=0.09。選擇量化密度ρ=0.7，參數(shù)d=0.039，q=0.033。選擇內(nèi)部耦合矩陣為Γ=diag{0.05,0.05,0.05}以及網(wǎng)絡(luò)各個節(jié)點和孤立節(jié)點的初始狀態(tài)分別為：

x1(0)=[0.01,-0.01,0]T；

x2(0)=[0.03,-0.02,-0.05]T；

x3(0)=[0.07,-0.02,-0.03]T；

x4(0)=[0.01,-0.02,0]T；

x5(0)=[0.03,0.02,-0.05]T；

x0(0)=[0.02,0.01,-0.01]T。

首先, 考慮不對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)施加控制的開環(huán)響應(yīng)如圖2所示，從圖2可見開環(huán)情況下同步誤差軌跡是發(fā)散的。

圖2 開環(huán)軌跡

然后，將量化輸出反饋同步控制器式(7)作用于蔡氏電路網(wǎng)絡(luò)，且選擇觀測器的初始狀態(tài)為：

ξ1(0)=[0.01,-0.01,0]Τ；

ξ2(0)=[0.03,-0.02,-0.05]Τ；

ξ3(0)=[0.07,-0.02,-0.03]Τ；

ξ4(0)=[0.01,-0.02,0]Τ；

ξ5(0)=[0.03,0.02,-0.05]Τ。

利用MATLAB LMI工具箱, 通過求解線性矩陣不等式(16)，根據(jù)定理1可求得觀測器增益矩陣為：

以及控制器增益矩陣為：

觀測誤差以及同步誤差在控制器(7)作用下的閉環(huán)軌跡如圖3和圖4所示。根據(jù)圖3和圖4發(fā)現(xiàn)可知觀測誤差動態(tài)以及同步誤差動態(tài)系統(tǒng)均可在量化輸出反饋控制器(7)的作用下達(dá)到漸近穩(wěn)定。

圖3 觀測誤差閉環(huán)軌跡

為了進一步說明本文所給控制方法的有效性，將本文設(shè)計的控制方法與文獻(xiàn)[19]中的控制方法進行對比。文獻(xiàn)[19]的自適應(yīng)控制器與自適應(yīng)更新律分別為如下形式：

ui(t)=-di(t)CΤεi(t)(1+‖εi(t)‖2(p-1))；

(26)

(27)

其中：εi(t)=yi(t)-y0(t)表示輸出誤差；di(t)是控制器的自適應(yīng)增益，i=1,…,N，p為正整數(shù)，κk為正常數(shù)。仿真時選擇參數(shù)κk=5，p=1，則在控制器式(26)，式(27)的作用下，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步誤差的軌跡如圖5所示。

比較兩種控制方法的同步誤差軌跡圖4和圖5，可見在控制器式(26)，式(27)的作用下，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步誤差達(dá)到穩(wěn)定的時間需要20 s，而利用本文設(shè)計的控制器只需要8 s，即利用本文所給的控制方法復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步誤差收斂的速度更快。

圖4 同步誤差閉環(huán)軌跡

圖5 采用文獻(xiàn)[19]控制方法的同步誤差軌跡

5 結(jié)論

本文主要研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的量化同步控制問題?；跔顟B(tài)觀測器，設(shè)計了帶有對數(shù)量化的輸出反饋同步控制器。應(yīng)用LMI技術(shù)給出了求解觀測器增益矩陣以及控制器增益矩陣的計算方法。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明了觀測誤差動態(tài)系統(tǒng)以及同步誤差動態(tài)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。最后，通過蔡氏電路仿真實驗驗證了所提控制方法的可行性和有效性。