一種改進兩步加權(quán)最小二乘的TDOA定位算法*

孟天次，張貞凱，林云航

(江蘇科技大學 海洋學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212028)

0 引 言

水下聲源定位技術(shù)作為現(xiàn)代研究的熱點技術(shù)之一，被廣泛應用于信號處理、無線傳感網(wǎng)等領(lǐng)域[1-2]。現(xiàn)有的水下定位方法包含到達時間(Time of Arrival,TOA)、到達角度(Angle of Arrival,AOA)、到達時間差(Time Difference of Arrival，TDOA)、接收信號強度(Received Signal Strength,RSS)等[3-4]。TOA定位方法需要傳感器與被定位目標之間保持精確的時間同步，但實際定位過程中很難保證兩者之間的時間同步，所產(chǎn)生的較大誤差導致定位精度下降。TDOA定位方法只需要保持傳感器之間的時間同步而不考慮聲源發(fā)射聲波的初始時刻，相比于TOA定位精度有所提高，故本文主要針對TDOA算法進行研究。

TDOA定位方法是一種經(jīng)典的測距技術(shù)，主要通過測量目標源到達不同傳感器的時間差來獲得距離差，通常采用三個不同的傳感器可以測得兩個TDOA，目標源點位于兩個TDOA決定的雙曲線焦點上[5]。常用的定位算法包括Chan氏算法、Taylor算法以及兩步加權(quán)最小二乘(Two-Stage Weighted Least Squares，TSWLS)算法。文獻[6]中的Chan氏算法只有在測距誤差較小的情況下才能獲得較好的定位結(jié)果，但實際的水聲信道是多徑、時變的[7]，測距過程會產(chǎn)生較大的誤差值，導致定位精度下降。文獻[8]中的Taylor算法則是一種循環(huán)迭代的遞歸算法，相比于Chan氏算法具有良好的估計性能。但其在迭代計算中需要一個初始值，當選取的初值偏離目標真實值較大時，定位精度必將受到影響，導致定位結(jié)果變差。為了克服以上兩種算法的缺點，文獻[9]提出了兩步加權(quán)最小二乘算法。該算法分為兩步，首先利用加權(quán)最小二乘(Weighted Least Squares，WLS)算法初步估計出目標位置；隨后引入目標位置誤差修正初步估計值，提高了定位精度。由于該算法是閉式解，故不存在收斂問題，但其因平方以及開方等非線性運算，致使計算過程中均忽略了二階誤差項，當測距誤差較大時定位精度有所下降。

文獻[10]提出了一種改進的兩步加權(quán)最小二乘(Improved Two-Stage Weighted Least Squares，ITSWLS)算法，通過對中間變量進行兩次泰勒展開，避免了二階誤差項的引入，獲得了更高的定位精度。但兩次泰勒展開均忽略了展開的高階項，一定程度上會影響算法的定位性能。在此基礎(chǔ)上，本文提出了一種改進算法。首先引入時差方程，構(gòu)建新的定位方程，利用加權(quán)最小二乘算法初步估計目標位置，有效避免了平方過程忽略的二階誤差項；接著引入中間變量并進行泰勒展開，利用中間變量與目標位置誤差之間的非線性函數(shù)關(guān)系構(gòu)建定位方程，對目標位置初步估計值進行校正，同樣也避免了二階誤差項的丟失，最終得到更加精確的目標位置估計值。

1 定位模型

根據(jù)上述定義，聲源與第i個傳感器的距離為

(1)

(2)

2 改進算法

為了解決TSWLS算法在第一步和第二步因平方以及開方等非線性運算丟失平方的二階誤差項的問題，本文在原算法的基礎(chǔ)上引入時差方程，避免了二階誤差項的丟失，一定程度上提高了算法的抗噪聲性能。接下來給出改進算法的詳細推導過程。

2.1 初步估計

(3)

式(3)可以改寫為

(4)

將式(2)時差方程代入式(4)可得

(5)

(6)

將式(6)表示為向量形式：

h1-A1θ1=B1n=ε1。

(7)

(8)

(9)

(10)

與傳統(tǒng)TSWLS不同的是，對于式(3)，本文并沒有采取對(ri1-ni1)進行平方，而是采取式(4)的計算方式并引入時差方程，避免了因平方而引入的二階誤差項。對式(7)利用加權(quán)最小二乘可得聲源位置初步估計值為

(11)

加權(quán)矩陣W1=E[ε1ε1T]-1，由(7)式可得

W1=E[B1nnTB1T]-1=(B1QnB1T)-1。

(12)

(A1TW1A1)-1A1TW1ε1。

(13)

(14)

2.2 修正初步估計值

(15)

(16)

已知Δθ1的均值近似為零，故Δu的均值也近似為零，則有

03×1=Δu-Δu。

(17)

結(jié)合式(16)、(17)可得

h2-A2Δu=B2Δθ1=ε2。

(18)

式中：ε2為噪聲誤差項，

(19)

(20)

(21)

對式(18)利用加權(quán)最小二乘可得聲源位置誤差Δu估計值為

(22)

式中：加權(quán)矩陣W2=E[ε2ε2T]-1。由式(14)、(18)可得

W2=E[B2Δθ1Δθ1TB2T]-1=

(23)

(24)

綜上所述，本文所提算法計算流程如下：

3 CRLB分析

(25)

(26)

(27)

(28)

由文獻[11]和文獻[13]可知，TDOA定位的CRLB矩陣可以表示為

(29)

(30)

(31)

因此，可以說明本文算法的定位精度在噪聲較小的情況下可以達到CRLB，其可以表示為

CRLB=trace{(J-1)}。

(32)

4 仿真結(jié)果與分析

對于水下三維定位場景，為了提高定位精度，獲得更加精確的估計結(jié)果，需保證式(7)為非欠定方程[14]，即傳感器的個數(shù)需滿足(M-1)≥(3+1)?？紤]實際應用問題，本文選取M=5個傳感器，其位置分別為s1=[200,250,150]T，s2=[300,0,500]T，s3=[0,400,800]T，s4=[-300,0,500]T，s5=[0,-400,200]T，單位均為m。其中s1為參考傳感器的坐標位置。已知TDOA測量向量r的協(xié)方差矩陣為E[nnT]=Qn，本文假設(shè)Qn=σ2ρ，其中σ2為TDOA測量噪聲的方差，ρ是對角線元素為1、其余元素均為0.5的(M-1)×(M-1)維矩陣。

(33)

(34)

根據(jù)目標距離傳感器位置的遠近分為近場目標和遠場目標，并分別對其進行仿真，仿真前設(shè)聲源的真實位置分別為u0=[200,300,400]Tm，u0=[20,30,120]Tm。仿真過程中不斷改變測距誤差大小，比較三種不同算法的定位精度。

4.1 近場目標仿真

由圖1可知，當測距誤差低于0.01 m時，各算法都趨近于克拉美羅下界，定位精度相對較高，然而隨著測距誤差的增加，各算法逐漸偏離CRLB，當測距誤差為10 m時，所提算法的定位誤差相比于Chan算法和文獻[10]算法分別減少了42.25 m和4.84 m，算法整體的定位精度分別提高了36.9%和4.7%。這是因為Chan算法和文獻[10]算法在計算過程中均有高階項的丟失，隨著誤差的增大，對其定位性能有一定的影響，導致兩種算法的定位精度下降。

圖1 近場目標各算法的RMSE對比圖

從圖2中可以看出，相比于其他兩種算法，隨著測距誤差的增加，本文所提算法的偏差最小，抗噪聲性能最好。

圖2 近場目標各算法的偏差對比圖

CDF是在某一個門限誤差下，算法定位誤差低于門限誤差的次數(shù)占仿真總次數(shù)的比例。圖中曲線上升的趨勢越快，表示低于門限誤差的次數(shù)越多，定位性能越好。圖3為測距誤差為1 m時，各算法的CDF曲線圖。由圖3可知，所提算法曲線上升最快，表明本文所提算法要優(yōu)于其他兩種算法。

圖3 近場目標各算法的CDF對比圖

4.2 遠場目標仿真

相比于近場目標的仿真結(jié)果，各算法對遠場目標的定位精度較差，相同噪聲下，所表現(xiàn)的RMSE較高。這是由于聲源目標越遠離傳感器受到水下環(huán)境的影響越大，定位性能也相對下降。由圖4可知，當測距誤差大于1 m時，Chan算法和文獻[10]算法已經(jīng)嚴重偏離CRLB，本文所提算法雖有些偏離，但依然好于其他兩種算法；當測距誤差為10 m時，所提算法的定位誤差相比于Chan算法和文獻[10]算法分別減少了108.16 m和17.64 m，算法整體的定位精度分別提高了84.1%和10.7%，說明對于遠場目標，噪聲較大時，本文算法相比于其他兩種算法依然有著良好的抗噪聲性能。

圖4 遠場目標各算法的RMSE對比圖

圖5和圖6分別比較了對遠場目標的定位偏差和各算法的CDF曲線，從圖中可以看出本文所提算法定位偏差最小且CDF曲線上升最快，進一步證明了本文所提算法的定位性能遠遠優(yōu)于其他兩種算法。

圖5 遠場目標各算法的偏差對比圖

圖6 遠場目標各算法的CDF對比圖

5 結(jié) 論

針對現(xiàn)有的TSWLS水下目標定位算法在計算過程中忽略二階誤差項，導致定位精度下降問題，本文提出了一種改進的TSWLS算法，有效避免了二階誤差項的丟失。理論分析和仿真實驗結(jié)果表明，不管是近場目標還是遠場目標，本文所提算法始終保持良好的定位性能和抗噪聲性能。