黃 健

（華東師范大學教師教育學院 上海 200062）

一、國際視角下數(shù)學建模教學的緣起

著名數(shù)學家克萊因（Felix C.Klein）在20世紀初便提出了一個新的教學大綱，強調在（高等）學校系統(tǒng)的數(shù)學教育中納入數(shù)學建模的必要性。之后，世界上許多國家開發(fā)了大型課程項目，這些項目多多少少涉及了數(shù)學建模，甚至部分項目完全集中于此。伴隨著一系列課題研究與教學實踐的發(fā)展，數(shù)學建模教學的意義與價值越來越受到關注與肯定。

1976年的第三屆國際數(shù)學教育大會（ICME-3）上，波拉克（Henry O.Pollak）發(fā)布了題為《數(shù)學和其他學校學科的相互作用》的調查報告，從而把數(shù)學應用與數(shù)學建模帶到了前沿，數(shù)學建模逐漸成為相關國際會議的重要專題。1983年，在埃克塞特大學（University of Exeter）開啟了兩年一度的國際數(shù)學建模教學和應用會議（International Conferences on the Teaching of Mathematical Modeling and Applications，簡稱ICTMA）。自此，國際數(shù)學建模教學研究開始走向成熟。

進入2l世紀，各國與各地區(qū)相繼啟動的數(shù)學課程改革都將學生數(shù)學建模思想的形成和數(shù)學建模能力的培養(yǎng)作為數(shù)學教育的重要目標之一。德國、美國、澳大利亞、瑞典等發(fā)達國家也都把數(shù)學建模列入課程標準中。頒布于2003年底的德國數(shù)學教育標準明確提出，數(shù)學建模能力是學生應該發(fā)展的六大數(shù)學能力之一。[1]2010年美國出臺的《州共同核心數(shù)學課程標準》（Common Core State Standards for Mathematics，簡稱CCSSM）將數(shù)學建模視為問題解決的一種方式，是高中數(shù)學六大核心內容之一。澳大利亞課程、評估和報告管理局也在2010年發(fā)布的高中數(shù)學課程標準意見草稿中將數(shù)學建模列為基本的數(shù)學活動。[2]瑞典現(xiàn)行的課程標準指出：教育的一個目的是發(fā)展學生設計和使用數(shù)學模型的能力，以及批判地評價條件、機會和不同模型的局限。[3]

在我國，數(shù)學建模從1996年開始進入基礎教育數(shù)學課程標準。[4]2010年后，我國啟動新一輪的基礎教育數(shù)學課程標準修訂工作，模型思想和數(shù)學建模再次作為核心內容進入中小學數(shù)學課程標準。并且，這次修訂的數(shù)學課程標準從核心素養(yǎng)的角度賦予了模型思想和數(shù)學建模新的含義。[5]例如，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出了數(shù)感、符號意識、運算能力等十大數(shù)學核心概念，模型思想便是其中之一，同時將數(shù)學建模列為六個數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一。

與各國的數(shù)學教學相同，我國的高中數(shù)學建模教學也正在緊鑼密鼓地開展中。如何有效開展數(shù)學建模教學，如何切實提高學生數(shù)學建模素養(yǎng)是目前亟待解決的問題。本文基于研究綜述，從國際視角列舉數(shù)學建模教學的有效經驗，以期為我國進一步的高中數(shù)學建模教學實踐提供借鑒。

二、數(shù)學建模學習經驗的三個水平

史寧中[6]強調，學生的數(shù)學學習除了要注重基本知識和基本技能外，還要發(fā)展基本數(shù)學思想方法和積累基本數(shù)學活動經驗。徐斌艷[7]亦認為基本數(shù)學活動經驗的提出是我國數(shù)學教育上的一個重要進展，對我國數(shù)學教育發(fā)展是一個挑戰(zhàn)。數(shù)學建模作為一項明確且完整的學習活動，更應該注重活動經驗的積累。新加坡研究者洪慶成（Ang Keng Cheng）[8]將數(shù)學建模學習經驗（learning experiences）分為三個水平。

在最基本的水平一階段，學生重點是獲得可能直接或間接與數(shù)學建模相關的技能。這些技能既可以是在建模環(huán)境中呈現(xiàn)的純數(shù)學技能，也可以是在數(shù)學建?；顒又薪洺Ｊ褂玫奶囟寄?。例如，學生解決了一個將特定函數(shù)及其圖像的知識應用于現(xiàn)實生活中的數(shù)學應用問題，便可以被視為積累了水平一的數(shù)學建模學習經驗。又如，學生使用信息技術工具（如計算器或計算機）擬合曲線也可以歸為水平一。因為在實際問題的解決中，經常需要收集數(shù)據(jù)，然后找到最符合數(shù)據(jù)的合適函數(shù)，所以與圖形繪制和尋找最佳擬合函數(shù)相關的技能對于成功完成數(shù)學建模任務至關重要。因此，大多數(shù)常規(guī)的數(shù)學應用課程都可以認為是在積累學生水平一的學習經驗。一般來說，基于數(shù)學建模學習經驗水平一而設計的數(shù)學建模課大概需要一至兩個課時的常規(guī)數(shù)學教學時間。

在水平二階段，學習的重點目標是發(fā)展數(shù)學建模能力。在此，可以對能力（competencies）與技能（skills）進行簡單區(qū)分，即水平一關注數(shù)學建模相關的技能，而水平二注重數(shù)學建模本身的能力。相比之下，能力指的是在建模問題中能夠應用數(shù)學建模特定知識解決問題的才能（capability）。水平二的學習經驗可能涉及建模周期中固有的建模能力，例如，作出假設以簡化問題、確定影響因變量的因素（參數(shù)）、返回現(xiàn)實解釋數(shù)學結果等。這些能力也可以認為是數(shù)學建模的子能力，如布盧姆（W.Blum）和凱瑟（G.Kaiser）[9]便根據(jù)數(shù)學建模的五個構建步驟所需要的能力，列出了推進數(shù)學建模過程的五個子能力：結構化情境；數(shù)學化（從現(xiàn)實翻譯到數(shù)學）；處理模型（在數(shù)學領域內工作）；轉譯（用現(xiàn)實的語言解釋數(shù)學模型）；反思，分析，批判模型和模型結果。此外，基于水平二的數(shù)學建模課程也包括學習和應用已知的、現(xiàn)有的或標準的數(shù)學模型，其中的相關數(shù)學建模能力則是識別模型（或可能成為模型的數(shù)學函數(shù)或方程等）的行為及在現(xiàn)實問題中應用模型的能力。一般來說，水平二的課程應該比水平一的課程占用更多的教學時間。

在最高的水平三階段，學生將學習解決一個完整的數(shù)學建模任務。這個水平的建模任務應該是真實的且具有一定復雜性，要求學生在此期間應用各種建模技能，并允許他們進一步發(fā)展數(shù)學建模能力。這時的學生可以以小組的形式開展活動，進行討論，建立模型，解決問題并作報告等。換句話說，水平三的數(shù)學建模學習經驗通常被研究人員和數(shù)學教育者稱為數(shù)學建模任務。因此，完成一個基于水平三的建模學習將占用相當多的教學時間，可能需要幾天。

在數(shù)學建模課程規(guī)劃中，教師對課程設置有一個清晰的概念是非常重要的一步，它為教師提供了課程的目標和結構。此外，它將幫助教師設計和準備必要的腳手架，以幫助學生成功地完成建模任務。如果學生沒有準備好或準備得不夠充分，那么教師可以在一段時間內通過從一個水平到下一個水平的過渡來逐步培養(yǎng)他們的能力。綜上可見，數(shù)學建模不僅僅是應用數(shù)學，它還包括學習數(shù)學（包括知識與技能）和欣賞數(shù)學的能力等。

三、將建模嵌入常規(guī)教學

基于以上三個水平的劃分，各國的數(shù)學建模教學經驗便可以進行一定的歸類。其中，水平一固然是重要的，因為學習過程的第一步應該是讓學生熟悉“工具”，這些“工具”包括熟悉模型中使用的數(shù)學符號、代數(shù)操作技巧、計算機技能、數(shù)學建模周期的階段等。[10]我們當然不能期望一個學生在沒有這些工具的前提下能夠開始建模任務并成功地執(zhí)行任務。不過，基于水平一的數(shù)學建模教學研究卻是較少的，因為其本身與傳統(tǒng)數(shù)學教學高度類似，因此需要教師在常規(guī)的數(shù)學教學中有意識地滲透數(shù)學建模思想，學習運用數(shù)學建模相關的各種基礎知識。

水平二的教學已經需要一定的真實的數(shù)學建模案例支撐了，但此時的建模任務可以是部分的或簡化的。比如，既可以在真實的情境下訓練學生提出問題的能力，或在已有的數(shù)學模型下訓練學生運用模型的能力（如課標中的剎車距離問題），又可以在求解模型后訓練學生檢驗與優(yōu)化模型的能力?！稊?shù)學建模教學與評估指南》[11]基于美國高中數(shù)學建模教學的經驗，為我們提供了在這一水平下教學的一些原則，比如：從小問題著手；用引導性的問題和課堂討論來支持初步經驗的形成；用普遍的日常經驗來激發(fā)數(shù)學方法的使用；使用小型的建模情境，使得只需一兩個要素便能組成一個完整的建模周期等。

綜合這些原則，其核心思想便是在課堂教學中，教師可以從具體的問題出發(fā)，自然地引入建模問題和活動，并借此發(fā)展學生的數(shù)學建模能力。例如，可以從結構合理的應用題入手，使用引導性的提問，以此拓展應用題的內容，使之逐步完備為簡單的數(shù)學建模問題。其間，教師既可以指導學生如何提出自己的問題，以及如何修改自己的初步想法并改進它們，也可以在得到的數(shù)學建模問題的基礎上，根據(jù)問題的具體特征，有意識地訓練學生的某個數(shù)學建模子能力。

以滬教版高中數(shù)學教科書必修一中的應用題為例：某小區(qū)要建造一個直徑為16米的圓形噴水池，并在池的周邊靠近水面的位置安裝一圈噴水頭，使噴出的水柱在離池中心3米的地方達到最大高度4米。各方向噴來的水柱在池中心上方某一點匯合，求該點離水面的高度。

該應用題希望學生通過構建二次函數(shù)關系并利用拋物線圖像的性質來解決問題。在課堂教學中，教師便可以基于此情境來促進學生的進一步思考與探索。例如，噴水池設計與自動灌溉系統(tǒng)異曲同工，皆為噴水模型。凱瑟等人[12]便使用過“花園灌溉系統(tǒng)規(guī)劃”的建模問題：加迪納（Gardena）公司提供了自動灌溉花園的灌溉泵，它可以灌溉圓形區(qū)域，半徑可以從2米到12米?，F(xiàn)在需要為一片花園區(qū)域規(guī)劃灌溉系統(tǒng)安裝方案，使其灌溉盡量均勻。灌溉系統(tǒng)會產生成本，因此噴水裝置的數(shù)量應盡可能少。這項任務包括根據(jù)給定花園的形狀和不需要灌溉的區(qū)域，找到理想的灌溉設備布置方案。

因此，教師便可以從原應用題情境出發(fā)，引導出該建模問題，并指導學生思考解決該問題的可能思路。應該注意的是，教師無須期望學生在半個或一個課時內便完整地解決該問題，而是應該注重學生在此期間為簡化問題、提出方案等所作的努力。

對有經驗的建模者而言，上面的數(shù)學建模問題陳述已經足夠讓他們開展工作了，但對初學者來說卻是難以應對的。因此，根據(jù)“從小問題著手”原則，教師可以給予一定的條件限制（模型假設），讓學生從一些探索性的小問題入手去思考。如假設花園是長方形的，甚至假設長方形花園的長和寬為固定值。那么，學生便可以羅列出一些可能的解決方案（見圖1）。再基于此，讓他們展開分析和討論，比較不同方案的優(yōu)劣。這樣的過程為學生提供了一些可能的解決途徑，并幫助他們適應開放型問題，為之后更具創(chuàng)造性的建模活動打開一扇門。

圖1 花園灌溉系統(tǒng)規(guī)劃問題的可能方案

在學生們已經有一定成果后，教師再進一步放寬條件，讓他們思考更加一般化的情況。此時的問題已經有一些數(shù)學建模的特點了，學生需要根據(jù)一定的假設，嘗試不同的方案。這些問題可以幫助學生了解同一情境下不同的問題和不同的策略是如何產生與發(fā)展的。

因此，基于這種方式，將建模嵌入常規(guī)數(shù)學課堂，一方面降低了學生對數(shù)學建模的陌生感，最大限度地發(fā)揮了應用題的價值；另一方面通過系統(tǒng)地增加問題的復雜度，學生會更加適應將新的、更具挑戰(zhàn)性的條件納入模型的迭代中。此外，教師也可以有意識地將數(shù)學建模分為若干個子過程進行練習（如以上例子便可以重點訓練簡化模型與構建模型的能力），以培養(yǎng)學生的數(shù)學建模子能力，為綜合的數(shù)學建模能力發(fā)展打好基礎。

四、把建模作為活動課程

到了水平三的教學才是讓學生真正體會數(shù)學建模魅力的時候，此時學生需要完整地解決數(shù)學建模任務?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（2017年版）》在將數(shù)學建模列為必修內容的同時，也強調了要以“活動”形式開展。國際研究中，大多數(shù)數(shù)學建模教學案例也都是以活動形式開展的。可見，經歷完整的數(shù)學建?；顒邮菍W生數(shù)學建模學習過程中必不可少的階段。而且，與水平一和水平二階段不同，水平三一般需要在小組合作的模式下進行，這與數(shù)學建?；顒颖旧淼恼鎸嵭耘c復雜性特征是分不開的。

美國數(shù)學及其應用聯(lián)合會自1999年起一直有舉辦高中數(shù)學建模競賽（High School Mathematical Contest in Modeling，簡稱HiMCM）。HiMCM要求中學生以小組形式參加比賽，且在連續(xù)的36小時內完成一份建模論文。此外，自2014年起，美國數(shù)學及其應用聯(lián)合會還與香港儒蓮教科文機構共同創(chuàng)辦了國際數(shù)學建模挑戰(zhàn)賽（International Mathematical Modeling Challenge，簡稱IMMC）。這也是一項面向全球中學生的國際性新型數(shù)學建模競賽，其宗旨在于鼓勵參賽者應用數(shù)學建模，探索和解決現(xiàn)實世界的重要問題，以普及數(shù)學建模教育，增強中學生數(shù)學核心素養(yǎng)與科技創(chuàng)新能力。以上兩個數(shù)學建模比賽中，我國的參賽隊伍都很多，上海、香港、深圳等地的中學較早關注和參加該比賽。這種“以賽促教”的方式在一定程度上激勵了優(yōu)秀中學生的數(shù)學建模學習。

比賽很難輻射到全體高中生，因此，在課標的指導下，學校內還需要設計更加多元化的數(shù)學建?；顒樱员Ｕ蠈W生有充分的學習機會。項目化學習便是一個很好的途徑。德國學校一直有應用數(shù)學的傳統(tǒng)，這一傳統(tǒng)對數(shù)學項目學習與數(shù)學建?；顒拥榷籍a生了長遠的影響。[13]在德國的數(shù)學建模教學實踐中，開發(fā)了許多大大小小的數(shù)學建模項目，比如，數(shù)學建模周（7天）或數(shù)學建模日（2—3天）的項目活動。這些項目的共同特點是使用了高度復雜的建模問題，這些問題通常來自研究或工業(yè)，它們只被略加簡化，如網上預訂航班的定價、花園的最佳自動灌溉、游泳池的氯化處理、公交車站的優(yōu)化分布等。參與的學生被要求從提供的任務中選擇一個，之后他們根據(jù)興趣被分成不同的小組?；顒拥闹饕康氖鞘箤W生能夠獨立地進行建模問題，其間也會得到導師的指導。類似這樣的數(shù)學建模項目活動在我國中學學校內是可以開展的，如結合學校的拓展課程、校本課程、研究性學習課程等進行。

在開展數(shù)學建模項目學習的過程中，需要格外強調的是，近年來由于信息技術的發(fā)展，數(shù)字工具已經成為數(shù)學建模活動中必不可少的媒介。特別是在處理現(xiàn)實問題時，一臺計算機或一個裝備齊全的圖形計算器可以成為教師和學生的重要工具。數(shù)字工具可以在數(shù)學建模過程中輔助解決大量問題，如簡化運算、可視化數(shù)據(jù)、求解方程、檢驗模型等。與低年級相比，高中學生研究的數(shù)學建模問題將更加復雜，涉及更多的變量，因此需提供大量可能的技術。若缺少相應的數(shù)字工具，學生將很難在有限的時間內作出一些精確的估計。有實證研究也發(fā)現(xiàn)，使用數(shù)字工具進行數(shù)學建模教學時，學生在圖形和代數(shù)表達式之間的翻譯方面取得了進步，而且使用數(shù)字工具的學生可以產生更多種解決方案?？梢?，信息技術對數(shù)學建模具有不容忽視的作用。[14]一些研究者結合數(shù)字工具在數(shù)學建模中的應用，從理論角度描述了數(shù)字工具支持下的數(shù)學建模循環(huán)。蓋革（V.Geiger）[15]認為，數(shù)字工具幾乎適用于建模循環(huán)中的所有環(huán)節(jié)，并建立了技術支持下的數(shù)學建模循環(huán)模型（見圖2）。

圖2 數(shù)學建模循環(huán)模型

五、結語

以上國際經驗的梳理可為下一步的國內數(shù)學建模教學實踐的開展提供參考。從中可以發(fā)現(xiàn)，學生數(shù)學建模的學習具有階段性，因此教師也應該針對不同水平的教學目標來設計和開展教學。在水平二階段，教師應該注重從已有的應用題著手，有意識地培養(yǎng)學生數(shù)學建模的各個子能力。若希望達到水平三的學習經驗積累，那么完整的數(shù)學建?；顒咏洑v是必不可少的。此時，教學可以以項目的形式開展，參考美國建模競賽與德國建模項目的經驗，讓學生以小組形式，基于適當?shù)臄?shù)字工具，完成真實的數(shù)學建模任務。

不可否認的是，在具體的課堂教學實踐中，數(shù)學建模教學依舊是困難的。斯提爾曼（Gloria Stillman）等人[16]便提到了以下幾方面的障礙：（1）難以找到恰當?shù)默F(xiàn)實問題情境進行課堂教學；（2）難以選擇合適的教學方法進行數(shù)學建模的教學；（3）缺乏相應的教輔工具來更好地支撐課堂教學過程；（4）缺乏對學生數(shù)學建模能力的系統(tǒng)性評估。蔡金法等人[17]同樣認為這些問題也是中國數(shù)學建模課堂教學需要面對的問題。為了解決以上問題，各國研究者都在嘗試各種教學策略與方法。有綜述研究[18]對2012年1月至2017年11月內發(fā)表在國際數(shù)學教育領域核心期刊與主要會議中的論文進行了分析。其中，24篇使用實證研究方法的期刊文章中有6篇分析了某種數(shù)學建模教學方法的有效性。而在ICTMA的會議論文集中，這個比例達到37%（129篇會議論文中有48篇關注數(shù)學建模教學方法），這反映了研究人員對數(shù)學建模教學的興趣濃厚。未來還需要更多的實證研究與教學實踐，共同探索數(shù)學建模教學的有效途徑。