潘楚光，譚 平，熊瑞平，楊 康

(四川大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，成都 610065)

0 引言

擬人機(jī)械手作為一種模擬人類手臂運(yùn)動(dòng)機(jī)制的仿生機(jī)構(gòu)具有與人類手臂類似的優(yōu)點(diǎn)[1]。然而，受工作環(huán)境和機(jī)械結(jié)構(gòu)的限制，擬人機(jī)械手的總長(zhǎng)度往往受到一定程度的限制，這極大影響其運(yùn)動(dòng)性能[2]。在滿足約束的前提下，通過(guò)優(yōu)化擬人機(jī)械手的連桿長(zhǎng)度來(lái)提高運(yùn)動(dòng)性能已成為擬人機(jī)械手設(shè)計(jì)的重要工作。

為了更好地模擬人體手臂的操作，擬人機(jī)械手既要具備良好的靈活性，又要保證機(jī)械手末端具有較高的精度。因此，擬人機(jī)械手的靈活性/可操作性和端部剛度性能成為優(yōu)化連桿長(zhǎng)度參數(shù)的主要參考[3]。為了提升擬人機(jī)械手的靈活性，賈世元等[4]提出使用可操作性作為連桿長(zhǎng)度參數(shù)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，研究了機(jī)械手的尺寸優(yōu)化方法。劉亞軍等[5]揭示了機(jī)械臂可達(dá)工作空間隨結(jié)構(gòu)尺度參數(shù)和關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍的變化規(guī)律，綜合得出一組最優(yōu)的機(jī)械臂結(jié)構(gòu)尺度參數(shù)。劉海濤等[6]基于工作空間、奇異性、各向同性等性能評(píng)價(jià)指標(biāo)優(yōu)化機(jī)械臂連桿長(zhǎng)度參數(shù)。陳世鐘等[7]基于靜態(tài)剛度模型，分析了如何通過(guò)優(yōu)化機(jī)械手的長(zhǎng)度和配置來(lái)提高剛度。提出了一個(gè)全局剛度性能指標(biāo)，并將其用作優(yōu)化機(jī)械手連桿長(zhǎng)度的目標(biāo)函數(shù)。焦嘉琛等[8]基于靜態(tài)剛度模型設(shè)計(jì)了六自由度串聯(lián)機(jī)器人的綜合剛度性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。陳偉海等[9]分析了繩驅(qū)動(dòng)七自由度擬人機(jī)械手的笛卡爾剛度，并提出一種優(yōu)化算法以提高機(jī)械手在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的剛度性能。

對(duì)于擬人機(jī)械臂的連桿長(zhǎng)度參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，大多數(shù)研究?jī)H從可操作性或剛度性能單方面展開(kāi)。然而，僅以剛度性能指標(biāo)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)優(yōu)化機(jī)械手的連桿長(zhǎng)度，并不能保證機(jī)械手的可操作性[10]。因此，為了平衡擬人機(jī)械手的可操作性和剛度性能，本文綜合考慮可操作性以及端部剛度性能建立多目標(biāo)優(yōu)化模型，利用MOGMO求解擬人機(jī)械手連桿長(zhǎng)度參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。

1 人體手臂的運(yùn)動(dòng)機(jī)制和配置分析

1.1 人體手臂運(yùn)動(dòng)機(jī)制

開(kāi)發(fā)擬人機(jī)械手時(shí)需要對(duì)人體手臂的運(yùn)動(dòng)機(jī)制進(jìn)行分析，以便更好地模擬人體手臂。在人體運(yùn)動(dòng)解剖學(xué)中，人體手臂自上而下由肩關(guān)節(jié)、上臂、肘關(guān)節(jié)、前臂和腕關(guān)節(jié)組成，其運(yùn)動(dòng)主要來(lái)自于關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)。人體手臂通常被簡(jiǎn)化為具有7個(gè)自由度的機(jī)構(gòu)，包括肩關(guān)節(jié)的3個(gè)自由度、肘關(guān)節(jié)的1個(gè)自由度和腕關(guān)節(jié)的3個(gè)自由度[11]。

人體手臂的肩關(guān)節(jié)是典型的球窩關(guān)節(jié)，是人體最靈活的關(guān)節(jié)。其運(yùn)動(dòng)形式包括前屈后伸、外展內(nèi)收、內(nèi)旋外旋。肘關(guān)節(jié)是單自由度旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，可實(shí)現(xiàn)人體手臂的屈曲和伸展。腕關(guān)節(jié)由橈關(guān)節(jié)和腕骨關(guān)節(jié)組成。由于兩個(gè)關(guān)節(jié)可以相互獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，因此腕關(guān)節(jié)可以看作是由具有單自由度的環(huán)軸關(guān)節(jié)和具有兩個(gè)自由度的髁關(guān)節(jié)組成。腕關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)形式包括伸屈、橈屈和尺屈、前后旋轉(zhuǎn)。通過(guò)實(shí)際測(cè)量和數(shù)據(jù)分析，可以得到人體手臂的運(yùn)動(dòng)形式和相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)范圍，如表1所示。

表1 人體手臂運(yùn)動(dòng)形式和運(yùn)動(dòng)范圍

1.2 人體手臂的配置分析

開(kāi)發(fā)擬人機(jī)械手的基本出發(fā)點(diǎn)是使其在工作環(huán)境中更具靈活性和適應(yīng)性，從而實(shí)現(xiàn)與人類手臂類似的運(yùn)動(dòng)性能和工作空間。受機(jī)械結(jié)構(gòu)的限制，難以完全復(fù)制人類手臂的結(jié)構(gòu)。人體手臂的每個(gè)關(guān)節(jié)都可以等效為一個(gè)具有相同運(yùn)動(dòng)形式的機(jī)械運(yùn)動(dòng)副，然后可以根據(jù)具體的配置選擇合理的設(shè)計(jì)方案。目前人體手臂大多采用7自由度配置，肩關(guān)節(jié)由3個(gè)串聯(lián)的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)組成，肘關(guān)節(jié)為1個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，腕關(guān)節(jié)與肩關(guān)節(jié)類似由3個(gè)串聯(lián)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)組成。

對(duì)于7自由度人體手臂結(jié)構(gòu)，不同關(guān)節(jié)設(shè)置的擬人機(jī)械手具有不同的配置，如圖1所示的配置被認(rèn)為是最佳的。與廣泛使用的6自由度機(jī)械手配置相比，該配置在關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)4之間沿兩條平行軸的公共法線方向增加了一個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)3。

圖1 最佳的擬人機(jī)械手配置

2 擬人機(jī)械手的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

具有7自由度的擬人機(jī)械手不僅可以消除工作空間中的奇異構(gòu)型，還可以靈活避開(kāi)關(guān)節(jié)限制和空間障礙，實(shí)現(xiàn)人體手臂的操作姿態(tài)和功能。在確定配置后，根據(jù)具體的任務(wù)需求優(yōu)化機(jī)械手的連桿長(zhǎng)度參數(shù)是擬人機(jī)械手設(shè)計(jì)過(guò)程中的關(guān)鍵步驟。本文主要依據(jù)可操作性和端部剛性性能指標(biāo)對(duì)擬人機(jī)械手的連桿長(zhǎng)度參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2.1 擬人機(jī)械手的正運(yùn)動(dòng)學(xué)

對(duì)于圖1所示的擬人機(jī)械手的配置，連桿長(zhǎng)度分別為l1、l2、l3、l4、l5、l6、l7，如圖2所示。

圖2 擬人機(jī)械手的連桿參數(shù)

圖中，d1=l1+l2；d2=l3+l4；d3=l5+l6；d4=l7。

利用螺旋理論建立擬人機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。首先，建立基坐標(biāo)系Os-XsYsZs以及末端坐標(biāo)系Ot-XtYtZt，如圖3所示。其中ωi是關(guān)節(jié)i旋轉(zhuǎn)軸的單位向量。

圖3 擬人機(jī)械手的螺旋坐標(biāo)

機(jī)械手初始姿態(tài)的齊次變換矩陣為：

(1)

關(guān)節(jié)i對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸單位向量ωi=(ωix,ωiy,ωiz)T以及位置向量pi=(pix,piy,piz)T，因此對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)螺旋坐標(biāo)ξi為：

(2)

每個(gè)關(guān)節(jié)的單位旋轉(zhuǎn)軸向量ωi和位置向量pi如表2所示。

表2 擬人機(jī)械手關(guān)節(jié)軸向量與位置坐標(biāo)

根據(jù)表2及式(2)可以得到每個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)螺旋坐標(biāo)ξi如表3所示。

表3 擬人機(jī)械手關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)螺旋坐標(biāo)

(3)

(4)

姿態(tài)矩陣的指數(shù)形式為：

(5)

運(yùn)動(dòng)螺旋矩陣的指數(shù)形式為：

(6)

根據(jù)上述公式，可以得到每個(gè)關(guān)節(jié)的指數(shù)積。

因此擬人機(jī)械手的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)為：

(7)

(8)

式中，

2.2 建立性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

由于雅可比矩陣J表示末端運(yùn)動(dòng)速度與關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)速度之間的映射關(guān)系，因此雅可比矩陣的代數(shù)特征，如行列式、條件數(shù)、最大和最小奇異值等通常作為評(píng)價(jià)擬人機(jī)械手靈活性的性能指標(biāo)。為了保證運(yùn)動(dòng)精度和動(dòng)態(tài)性能，需要同時(shí)考慮機(jī)械手的剛度性能。

(2)靜態(tài)剛度性能指標(biāo)。在擬人機(jī)械手的設(shè)計(jì)過(guò)程中，端部剛度也是一個(gè)重要的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。端部剛度取決于關(guān)節(jié)剛度矩陣和雅可比矩陣[13]。具有n個(gè)自由度機(jī)械手的關(guān)節(jié)i的剛度用Kqi(i=1,2,…,n)表示，關(guān)節(jié)剛度矩陣Kq表示為：

Kq=diag(Kq1,Kq2,…,Kqn)

(9)

擬人機(jī)械手的雅可比矩陣J∈R6×7，端部剛度矩陣K可以根據(jù)雅可比矩陣的廣義逆J+被表示為：

K=(J+)KqJ+

(10)

代入J+=JT(JJT)-1到式(10)并化簡(jiǎn)得：

K=(JJT)-TJKqJT(JJT)-1

(11)

取剛度矩陣K的最小奇異值為σmin(K)。對(duì)于整個(gè)工作空間，機(jī)械手末端在奇異值最小的位置剛度最弱，擬人機(jī)械手末端的變形最大。因此，最小奇異值σmin(K)越大，對(duì)應(yīng)的剛度越大。

為了衡量擬人機(jī)械手在整個(gè)工作空間的性能，可操作性指標(biāo)和靜態(tài)剛度性能指標(biāo)分別在整個(gè)工作空間上積分，得到對(duì)應(yīng)的全局性能指標(biāo)。

(12)

(13)

式中，f1為可操作性的全局性能指標(biāo)；f2為端部剛度性能的全局性能指標(biāo)；W為擬人機(jī)械手的工作空間；ψ為關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)空間；θi為擬人機(jī)械手的關(guān)節(jié)角。

3 擬人機(jī)械手的連桿長(zhǎng)度參數(shù)優(yōu)化

3.1 建立優(yōu)化模型

機(jī)械手連桿長(zhǎng)度參數(shù)優(yōu)化是在機(jī)械手的長(zhǎng)度約束范圍內(nèi)，尋找一組最優(yōu)的連桿長(zhǎng)度參數(shù)，在給定的優(yōu)化性能指標(biāo)下。擬人機(jī)械手的全局性能指標(biāo)f1和f2為機(jī)械手連桿長(zhǎng)度l1,l2,…,ln的函數(shù)。由于f1和f2這兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)相互之間矛盾性，因此建立如下所示的多目標(biāo)優(yōu)化模型：

根據(jù)機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，雅可比矩陣中的連桿長(zhǎng)度變量可以用d1、d2、d3、d4來(lái)表示，因此減少了優(yōu)化變量，加快了優(yōu)化計(jì)算速度。因此，最終的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型為：

在擬人機(jī)械手的設(shè)計(jì)過(guò)程中，機(jī)械手的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍通常設(shè)置得比實(shí)際人體手臂關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍稍大。機(jī)械手各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)約束可以根據(jù)表1的數(shù)據(jù)確定。連桿長(zhǎng)度參數(shù)的約束根據(jù)實(shí)際工作空間的需求而設(shè)置。擬人機(jī)械手的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍約束以及連桿長(zhǎng)度參數(shù)的約束如表4所示。

表4 關(guān)節(jié)以及連桿長(zhǎng)度的約束

3.2 多目標(biāo)灰狼優(yōu)化(MOGWO)算法

灰狼優(yōu)化(GWO)算法是一種模擬灰狼種群的社會(huì)領(lǐng)導(dǎo)力和捕獵行為的群智能優(yōu)化算法。為了對(duì)灰狼的社會(huì)等級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，最優(yōu)的解被認(rèn)為是α狼，第二個(gè)和第三個(gè)次優(yōu)解分別為β和δ狼。剩余的候選解為ω狼。在GWO中，優(yōu)化過(guò)程受α、β和δ狼的指引，ω狼跟隨這三者搜索最優(yōu)解。

除了社會(huì)領(lǐng)導(dǎo)關(guān)系，為了模擬灰狼種群在捕獵過(guò)程中的包圍行為，采用以下方程更新灰狼的位置：

D=|C·Xp(t)-X(t)|

(14)

X(t+1)=Xp(t)-A·D

(15)

式中，t表示當(dāng)前迭代步；A和C為系數(shù)向量；Xp為獵物的位置向量；X表示灰狼的位置向量；·表示哈達(dá)瑪乘積。

系數(shù)向量A和C計(jì)算如下：

A=2a·r1-a

(16)

C=2r2

(17)

式中，a的元素在迭代過(guò)程中從2線性減小到0；r1和r2為[0,1]之間的隨機(jī)向量。

GWO算法利用模擬的社會(huì)領(lǐng)導(dǎo)關(guān)系和捕獵時(shí)對(duì)獵物的包圍機(jī)制來(lái)尋找優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。該算法保存迄今為止獲得的前3個(gè)最優(yōu)解，其他個(gè)體根據(jù)這3組解更新自身的位置。在優(yōu)化過(guò)程中每個(gè)個(gè)體根據(jù)以下公式來(lái)更新自身的位置搜索最優(yōu)解的區(qū)域。

Dα=|C1·Xα-X|

(18)

Dβ=|C2·Xβ-X|

(19)

Dδ=|C3·Xδ-X|

(20)

X1=Xα-A1·Dα

(21)

X2=Xβ-A2·Dβ

(22)

X3=Xδ-A3·Dδ

(23)

(24)

為了將GWO算法擴(kuò)展到多目標(biāo)優(yōu)化，在GWO算法基礎(chǔ)上加入存檔機(jī)制，將迄今為止搜索到的非支配帕累托最優(yōu)解保存。同時(shí)引入領(lǐng)導(dǎo)選擇策略從存檔中選擇α、β和δ解來(lái)領(lǐng)導(dǎo)灰狼個(gè)體的位置更新。

基于GWO擴(kuò)展得到的MOGWO算法的主要步驟如下：

步驟1：初始化灰狼種群Xi(i=1,2,…,n)，初始化a、A、C；

步驟2：計(jì)算每個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值，找到非支配帕累托最優(yōu)解并存檔；

步驟3：在存檔中選擇Xα，Xβ，Xδ，t=1；

步驟4：當(dāng)t小于最大迭代次數(shù)繼續(xù)，否則轉(zhuǎn)步驟9；

步驟5：根據(jù)式(18)～式(24)更新每個(gè)個(gè)體的位置，根據(jù)式(16)和式(17)更新a、A、C；

步驟6：計(jì)算每個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值，找到非支配帕累托最優(yōu)解并更新存檔；

步驟7：在存檔中選擇Xα，Xβ，Xδ；

步驟8：t=t+1，跳轉(zhuǎn)到步驟4；

步驟9：算法終止，返回存檔中的解。

MOGWO算法繼承了GWO算法的特點(diǎn)，具有與GWO算法相似的收斂屬性。兩者的主要區(qū)別在于MOGWO算法圍繞一組檔案成員進(jìn)行搜索，而GWO算法只保存迄今為止找到的前3個(gè)最優(yōu)解。

3.3 優(yōu)化模型求解

根據(jù)驅(qū)動(dòng)和傳動(dòng)部分的性能參數(shù)，每個(gè)關(guān)節(jié)的剛度為Kq1=Kq2=6.5e5 N·m/rad，Kq3=Kq4=3.0e4 N·m/rad，Kq5=Kq6=5.8e3 N·m/rad，Kq7=3.0e3 N·m/rad。因此，擬人機(jī)械手的關(guān)節(jié)剛度矩陣(單位：N·m/rad)為：

Kq=diag(6.5e5 6.5e5 3.0e4 3.0e4 5.8e3 5.8e3 3.0e3)

根據(jù)MOGWO算法的搜索最優(yōu)解的步驟，在MATLAB環(huán)境中對(duì)之前建立的多目標(biāo)優(yōu)化模型進(jìn)行求解。其中，設(shè)置灰狼種群的大小為GreyWolves=100，MOGWO算法的最大迭代次數(shù)為MaxIt=500，存檔大小為ArchiveSize=100。采用與多目標(biāo)粒子群優(yōu)化(MOPSO)算法類似的網(wǎng)格機(jī)制實(shí)現(xiàn)對(duì)Xα、Xβ、Xδ的選擇以及當(dāng)存檔達(dá)到上限值時(shí)對(duì)存檔進(jìn)行刪除、插入操作。因此，設(shè)置目標(biāo)函數(shù)空間每一維度的網(wǎng)格數(shù)為nGrid=10，領(lǐng)導(dǎo)者選擇壓力參數(shù)和存檔成員刪除壓力分別為beta=4，gamma=2。最終求解得到的非支配帕累托最優(yōu)解如圖4所示。

圖4 多目標(biāo)優(yōu)化模型的非支配帕累托最優(yōu)解

由圖4所示的多目標(biāo)優(yōu)化求解結(jié)果可得，提升擬人機(jī)械手的可操作性指標(biāo)與提高其端部剛度性能指標(biāo)之間是相互矛盾的。追求單個(gè)性能的最優(yōu)化會(huì)導(dǎo)致另一個(gè)性能的下降。因此，對(duì)擬人機(jī)械手的連桿長(zhǎng)度的設(shè)計(jì)應(yīng)該同時(shí)考慮這兩個(gè)性能指標(biāo)，根據(jù)實(shí)際的使用需求選擇一個(gè)合理的解決方案。

為了研究擬人機(jī)械手的連桿長(zhǎng)度參數(shù)對(duì)可操作性以及端部剛度的影響，分別選取f1和f2達(dá)到最大值所對(duì)應(yīng)的非支配帕累托最優(yōu)解，兩個(gè)解之間的比較如表5所示。

表5 單獨(dú)最優(yōu)的非支配帕累托最優(yōu)解比較

其中，*表示d4參數(shù)對(duì)可操作性以及端部剛度性能無(wú)影響，可在約束范圍內(nèi)根據(jù)需求選取。根據(jù)表5展示的結(jié)果可知，當(dāng)單一的性能達(dá)到最優(yōu)時(shí)，連桿長(zhǎng)度參數(shù)分別接近約束的上、下邊界，因此連桿長(zhǎng)度的約束成為限制單一性能繼續(xù)提升的主要因素。同時(shí)，根據(jù)表5所示的結(jié)果，f1相比于f2變化的幅度更大，說(shuō)明連桿長(zhǎng)度參數(shù)對(duì)可操作性能的影響大于對(duì)端部剛度性能的影響。

在獲得d1、d2、d3、d4的最優(yōu)解后，可根據(jù)d1、d2、d3、d4與l1、l2、l3、l4、l5、l6、l7之間的關(guān)系得到擬人機(jī)械手每個(gè)連桿的長(zhǎng)度，實(shí)現(xiàn)擬人機(jī)械手的連桿長(zhǎng)度設(shè)計(jì)，為后續(xù)的傳動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。

4 結(jié)論

針對(duì)擬人機(jī)械手的連桿長(zhǎng)度優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，基于螺旋理論建立了擬人機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型得到相應(yīng)的可操作性指標(biāo)以及端部剛度性能指標(biāo)?？紤]到兩個(gè)性能指標(biāo)之間的矛盾性，建立了擬人機(jī)械手連桿長(zhǎng)度參數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化模型。利用基于GWO算法擴(kuò)展得到的MOGWO算法對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化模型進(jìn)行了求解。

求解結(jié)果顯示，機(jī)械手的可操作性指標(biāo)與端部剛度性能指標(biāo)之間存在矛盾，單獨(dú)提升一個(gè)性能會(huì)導(dǎo)致另一個(gè)性能下降。機(jī)械手的連桿長(zhǎng)度參數(shù)的改變對(duì)可操作性指標(biāo)的影響大于對(duì)端部剛度性能指標(biāo)的影響。影響性能指標(biāo)提升的主要因素為機(jī)械手連桿長(zhǎng)度的約束。設(shè)計(jì)人員可以根據(jù)實(shí)際需求選擇一組帕累托最優(yōu)解作為機(jī)械手連桿長(zhǎng)度參數(shù)的初步設(shè)計(jì)，將該優(yōu)化算法應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人三維數(shù)字化設(shè)計(jì)仿真平臺(tái)上，可實(shí)現(xiàn)多種單組模型可重構(gòu)優(yōu)化(大于6種模型)。

由于只考慮了擬人機(jī)械手的連桿長(zhǎng)度參數(shù)以及可操作性和端部剛度這兩個(gè)性能指標(biāo)，得到的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果無(wú)法體現(xiàn)出機(jī)械手的綜合性能，因此，考慮更多性能指標(biāo)以及包含更多結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)的擬人機(jī)械手的優(yōu)化設(shè)計(jì)值得進(jìn)一步研究。