“四元五環(huán)”教學(xué)模式在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用對(duì)策探析

李秀俊

摘 要：在新課程改革的背景下，初中課堂教學(xué)質(zhì)量逐漸被教育工作者所重視。如何才能提高教學(xué)質(zhì)量，成為教育工作者需要考慮和探究的首要問題。隨著“四元五環(huán)”教學(xué)模式的出現(xiàn)，不僅能夠有效解決上述問題，還能創(chuàng)新教學(xué)模式，提高教學(xué)質(zhì)量?！八脑瀛h(huán)”教學(xué)模式是對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)模式的一種優(yōu)化和創(chuàng)新，不再是以教師為主體的全包圓教學(xué)，而是更加注重學(xué)生的主體性，但在實(shí)施時(shí)需要根據(jù)實(shí)際情況對(duì)癥下藥，才能體現(xiàn)“四元五環(huán)”教學(xué)模式的優(yōu)勢(shì)和作用。

關(guān)鍵詞：四元五環(huán);初中數(shù)學(xué);教學(xué)創(chuàng)新

中圖分類號(hào)：G633.6?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1673-8918（2022）16-0078-06

一、 “四元五環(huán)”的概念和意義

（一）概念

“四元五環(huán)”，所謂的“四元”指的是“讀、悟、議、用”，也就是讀清楚、領(lǐng)悟透、議論深、靈活用;“五環(huán)”即是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入情境、自我學(xué)習(xí)和感悟、相互交流和溝通、提出質(zhì)疑并解答以及巧妙拓展和延伸。這五步可以說是環(huán)環(huán)相扣、循序漸進(jìn)，讓每個(gè)知識(shí)點(diǎn)以及教學(xué)內(nèi)容緊緊相扣。

“讀”是在教學(xué)中，教師需要讓學(xué)生帶著疑問或者教學(xué)提綱，仔細(xì)分析、探究課本，并充分了解教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)讓學(xué)生養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣。比如，在自學(xué)過程中了解到了什么知識(shí)，存在什么樣的問題，都一一記錄，然后在正式上課時(shí)提出來，與同學(xué)、教師一起來解決這些問題。

“悟”如今處于信息社會(huì)，知識(shí)和信息是不會(huì)缺失的，但如何才能正確判斷知識(shí)、加工整合運(yùn)用，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新和優(yōu)化才是重中之重。

“議”根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和問題，以小組為單位進(jìn)行探究和交流，然后在全班匯報(bào)。這種方式能夠鍛煉學(xué)生口頭表達(dá)能力和辯論能力，同時(shí)也能拓寬學(xué)生的知識(shí)面和提升參與度，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，最主要是能夠讓學(xué)生互相學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步。

“用”是要結(jié)合所學(xué)知識(shí)解決生活中的困難和難題，而這個(gè)解決過程便是學(xué)生鞏固知識(shí)、理解知識(shí)、內(nèi)化知識(shí)的過程。

（二）意義

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，中小學(xué)課堂教學(xué)出現(xiàn)許多教學(xué)模式，比如，“發(fā)現(xiàn)法”“程序教學(xué)法”“嘗試教學(xué)法”“自主探究學(xué)習(xí)教學(xué)法”以及“生本課堂教學(xué)法”等。教學(xué)研究的重心已經(jīng)從以往的研究教師如何“教”，走向了研究學(xué)生如何“學(xué)”，教師在其中的身份也發(fā)生了變化，不再是主體，而是引導(dǎo)者和輔助者，教師要找準(zhǔn)自身的定位，建立現(xiàn)代化的師生關(guān)系，維持好課堂秩序，正確引導(dǎo)學(xué)生，整合、誘導(dǎo)教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)多樣化的教學(xué)環(huán)節(jié)，將知識(shí)以層層遞進(jìn)的方式呈現(xiàn)，確保教學(xué)過程的科學(xué)性、合理性和靈活性?！八脑瀛h(huán)”教學(xué)模式以合作探究的模式，將千姿百態(tài)的課堂變成各個(gè)小組，再以小組之間的互相幫助，合理分工，環(huán)環(huán)相扣，在了解學(xué)習(xí)情況下完成任務(wù)。培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作的意識(shí)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中懂得互幫互助，有問題首先自己想辦法解決或者與同伴共同解決，這樣一來在學(xué)習(xí)過程中就避免了一味依賴教師。課堂作為學(xué)生展示能力的平臺(tái)，通過讓學(xué)生對(duì)預(yù)習(xí)的結(jié)果進(jìn)行展示，不僅可以讓學(xué)生在展示的過程中獲得成功的快樂，還能夠增加學(xué)生體驗(yàn)，使學(xué)生成為課堂的主體。

二、 “四元五環(huán)”教學(xué)模式的主要思想和理念

“四元五環(huán)”教學(xué)模式體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性。第一環(huán)是自主學(xué)習(xí)，第二環(huán)是主動(dòng)探究，第三環(huán)是合作交流，第四環(huán)是雙主體，第五環(huán)是實(shí)踐應(yīng)用?！八脑瀛h(huán)”課堂教學(xué)模式創(chuàng)新之一體現(xiàn)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論;創(chuàng)新之二體現(xiàn)創(chuàng)新教育理論，以“問題”為驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生嘗試探究，合作交流;創(chuàng)新之三體現(xiàn)生本教育理論;創(chuàng)新之四體現(xiàn)翻轉(zhuǎn)課堂理論;創(chuàng)新之五運(yùn)用“學(xué)習(xí)金字塔”理論。

“學(xué)習(xí)金字塔”理論也是目前最為重視并強(qiáng)調(diào)自主學(xué)習(xí)、探究、解決問題、展示成果理論依據(jù)。該理論主要是告訴我們采取不同的學(xué)習(xí)方式會(huì)出現(xiàn)不一樣的學(xué)習(xí)效果。相關(guān)研究可以看出，學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的保持率是5%至90%。以往的教學(xué)方式：用耳朵來學(xué)習(xí)知識(shí)，知識(shí)只能保留在5%左右;用眼睛去閱讀知識(shí)，則能夠保留10%;眼睛和耳朵相結(jié)合，能夠保留20%;表演、演示等形式能夠保留30%;現(xiàn)代化、充滿趣味的教學(xué)方式能夠保留50%;動(dòng)手操作可以保留75%;與他人相互學(xué)習(xí)并快速運(yùn)用可以保留90%。所以說學(xué)習(xí)方式對(duì)學(xué)習(xí)效果的影響非常大。同時(shí)學(xué)習(xí)內(nèi)容保留率低于50%的學(xué)習(xí)方式，基本上都是被動(dòng)學(xué)習(xí)方式，而高于50%的學(xué)習(xí)方式則是自主學(xué)習(xí)或者共同學(xué)習(xí)。我們要知道學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)并不只是書本，還需要與實(shí)際問題相結(jié)合，同時(shí)學(xué)習(xí)也是一個(gè)不斷拓展延伸的過程，構(gòu)建學(xué)習(xí)模式，單靠教師一人的傳授根本行不通，必須要讓學(xué)生自己愿意學(xué)，并且能夠?qū)⒆陨硭@取的知識(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)部消化，然后再巧妙運(yùn)用到實(shí)際問題中，以意義建構(gòu)的方式豐富、創(chuàng)新知識(shí)。隨著新課改的不斷深入，再一次強(qiáng)調(diào)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，教師在教學(xué)中采取“四元五環(huán)”教學(xué)模式，需要采取自主、探究、合作的教學(xué)模式，給學(xué)生留有充足的時(shí)間去自主探究知識(shí)的形成過程。

三、 “四元五環(huán)”教學(xué)設(shè)計(jì)探析

（一）問題導(dǎo)之，發(fā)展能力

教師精心創(chuàng)設(shè)問題，通過問題引領(lǐng)，激活學(xué)生思維，使得在知識(shí)產(chǎn)生的必要性中體悟知識(shí)的內(nèi)涵，在最近發(fā)展區(qū)中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并獲得新知，從中學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，并解決問題。

（二）思想滲之，培育素養(yǎng)

除了關(guān)注教學(xué)的邏輯性，教師還關(guān)注知識(shí)的思想性，教師遵循知識(shí)的發(fā)生發(fā)展規(guī)律及學(xué)生的認(rèn)知自然規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生思考，內(nèi)化知識(shí)，深度理解，使學(xué)生真正理解知識(shí)，領(lǐng)悟思想，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（三）明暗織之，把握本質(zhì)

特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想這一“知識(shí)暗線”貫穿數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的全過程。在提出問題，探究問題，解決問題，應(yīng)用體悟的“活動(dòng)明線”中，學(xué)生經(jīng)歷從認(rèn)知沖突到激發(fā)思維，從動(dòng)手操作到歸納概括，從直觀感知到代數(shù)闡述，從淺層認(rèn)知到深入理解的思維“活動(dòng)暗線”，明暗交織，促使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究的一般方法，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（四）教學(xué)設(shè)計(jì)

“四元”是教學(xué)設(shè)計(jì)要素，教師必須對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)有深刻的理解，圍繞“知識(shí)明線、知識(shí)暗線、活動(dòng)明線、活動(dòng)暗線”這四個(gè)要素設(shè)計(jì)出好的教學(xué)方案，教學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)完整，層次清晰?！拔瀛h(huán)”：導(dǎo)學(xué)環(huán)、探究環(huán)、體驗(yàn)環(huán)、內(nèi)化環(huán)、應(yīng)用環(huán)。這五個(gè)環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣、循序漸進(jìn)，一氣貫通。

案例一：5.1 相交線（第1課時(shí)）的教學(xué)設(shè)計(jì)

知識(shí)明線：從圖中辨認(rèn)鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角，能畫鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角→掌握鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的數(shù)量關(guān)系，能推理“對(duì)頂角相等”這一重要性質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用該性質(zhì)。

知識(shí)暗線：幾何直觀→數(shù)形結(jié)合思想→類比思想→分類討論思想。

活動(dòng)明線：直觀感知→圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言→形成知識(shí)結(jié)構(gòu)有效化。

活動(dòng)暗線：培養(yǎng)圖形直觀認(rèn)識(shí)→養(yǎng)成幾何推理嚴(yán)謹(jǐn)性→形成幾何知識(shí)體系。

導(dǎo)學(xué)環(huán)：采用圖片、剪刀剪紙引起角變化來引出兩直線相交形成的四個(gè)角的問題。

探究環(huán)：兩直線相交形成的四個(gè)角中根據(jù)其位置關(guān)系進(jìn)行分類，并給出鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角的概念，名稱也反映了它們的本質(zhì)特征。

體悟環(huán)：從鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角的定義出發(fā)，推出“對(duì)頂角相等”這一重要性質(zhì)，為學(xué)生提供了一種通過實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的簡(jiǎn)單推理得到數(shù)學(xué)結(jié)論的方法，該過程要運(yùn)用幾何語(yǔ)言來描述，充分體現(xiàn)推理的邏輯性與嚴(yán)謹(jǐn)性。

內(nèi)化環(huán)：理解鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角的概念，掌握“對(duì)頂角相等”的性質(zhì)。

應(yīng)用環(huán)：形成自己知識(shí)結(jié)構(gòu)有效化。

案例二：12.1 全等三角形的教學(xué)設(shè)計(jì)

知識(shí)明線：全等形的識(shí)別→全等的表示→全等的對(duì)應(yīng)元素→全等的性質(zhì)。

知識(shí)暗線：圖形直觀意識(shí)→符號(hào)意識(shí)→字母思想→特殊到一般思想。

活動(dòng)明線：觀察識(shí)別圖形，引出全等三角形的概念、符號(hào)表示→在圖形全等變換中找出對(duì)應(yīng)元素→從圖形的重合中發(fā)現(xiàn)全等的性質(zhì)。

活動(dòng)暗線：辨析遷移→歸納概括能力→三種符號(hào)語(yǔ)言互相轉(zhuǎn)化能力→歸納概括能力→應(yīng)用知識(shí)解決問題能力。

【活動(dòng)1 導(dǎo)學(xué)環(huán)】：創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

問題1：觀察下列四組圖形，哪組圖形的形狀和大小都相同？

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)學(xué)生直觀觀察得出全等形的概念。

【活動(dòng)2 探究環(huán)】：數(shù)學(xué)探究，獲取新知

全等三角形的識(shí)別及表示、尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角及性質(zhì)。

1. 定義

（1）讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言敘述：全等三角形定義。

（2）全等三角形、對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角以及有關(guān)數(shù)學(xué)符號(hào)。

問題2：△ABC全等于△DEF能否記作△ABC≌△DFE？

設(shè)計(jì)意圖：提高學(xué)生數(shù)學(xué)三種語(yǔ)言互換能力以及辨析數(shù)學(xué)概念的能力。

例1：若△ABE≌△ACD，指出全等三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。

問題3：從例1中你獲取找對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法是什么？

設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)固化新知培養(yǎng)學(xué)生概括能力。

2. 平移、旋轉(zhuǎn)、翻折前后的兩個(gè)圖形關(guān)系

問題4：分別將圖①②③的△ABC進(jìn)行沿直線BC平移、繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，翻折，變換前后的兩個(gè)三角形還全等嗎？

問題5：你能找出各對(duì)全等三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角嗎？

設(shè)計(jì)意圖：在圖形變換中，通過找出全等三角形的對(duì)應(yīng)元素培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力。

3. 全等三角形的性質(zhì)

問題6：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角有何大小關(guān)系？

全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等;對(duì)應(yīng)角相等。

幾何語(yǔ)言：

∵△ABC≌△DEF，

∴AB=DE，AC=DF，BC=EF;

∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

設(shè)計(jì)意圖：通過圖形變換重疊，培養(yǎng)學(xué)生概括能力以及數(shù)學(xué)三種語(yǔ)言互換能力。

【活動(dòng)3 體驗(yàn)環(huán)】：數(shù)學(xué)體驗(yàn)，加深知識(shí)的理解

例2：已知：如圖，△ABC≌△DEF。

（1）若DF=10cm，則AC的長(zhǎng)為??? ;

（2）若∠A=100°，則：∠D的度數(shù)為??? ;

（3）若∠A=100°，∠B=30°，求∠F的度數(shù)。

例3：已知：△ABD≌△ACE，若∠B=25°，∠BOE=75°。求∠A的角度。

設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)固化新知及培養(yǎng)學(xué)生概括能力。

【活動(dòng)4 內(nèi)化環(huán)】數(shù)學(xué)內(nèi)化，感悟利用“運(yùn)動(dòng)法”來找全等的對(duì)應(yīng)元素和性質(zhì)

翻折法：找到中心線經(jīng)此翻折后能互相重合的兩個(gè)三角形，發(fā)現(xiàn)其對(duì)應(yīng)元素。

旋轉(zhuǎn)法：兩個(gè)三角形繞某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度能夠重合時(shí)，發(fā)現(xiàn)其對(duì)應(yīng)元素。

平移法：將兩個(gè)三角形沿某一直線推移能重合時(shí)也可找到對(duì)應(yīng)元素。

【活動(dòng)5 應(yīng)用環(huán)】：數(shù)學(xué)應(yīng)用，深化知識(shí)的理解

練習(xí)1. △ABD≌△ACE，若AB=9cm，AD=4cm，求BE的長(zhǎng)。

2. △ABC≌△FED，（1）寫出圖中相等的線段，相等的角;（2）試說明AB與EF的關(guān)系。

案例三：“勾股定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)

知識(shí)明線：經(jīng)歷勾股定理的探索過程→應(yīng)用定理解決實(shí)際問題。

知識(shí)暗線：特殊到一般思想→探索歸納→數(shù)形結(jié)合思想→方程思想。

活動(dòng)明線：畢達(dá)哥拉斯拼圖→趙爽弦圖→“構(gòu)造法”。

活動(dòng)暗線：觀察猜想→實(shí)踐驗(yàn)證→推理論證。

導(dǎo)學(xué)環(huán)：故事引入。

探究環(huán)：動(dòng)手操作，猜想勾股定理。

體驗(yàn)環(huán)：拼圖、弦圖、“構(gòu)造法”證明勾股定理，體驗(yàn)方法的多樣性。

內(nèi)化環(huán)：數(shù)學(xué)內(nèi)化，加深對(duì)定理的理解。

應(yīng)用環(huán)：數(shù)學(xué)應(yīng)用，深化知識(shí)的理解掌握。

在“勾股定理”的教學(xué)中，先探究網(wǎng)格中等腰直角三角形三邊關(guān)系（圖1），再探究網(wǎng)格中的一般直角三角形的三條邊之間關(guān)系（圖2）。最后從網(wǎng)格驗(yàn)證到脫離網(wǎng)格，通過計(jì)算推導(dǎo)出一般結(jié)論（如圖3）。用a，b表示c的面積。如圖4，用“割”的方法可得c2=12ab×4+（b-a）2;如圖5用“補(bǔ)”的方法可得c2=（b+a）2-12ab×4。經(jīng)過整理都可以得到a2+b2=c2。

案例四：“勾股逆定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)

知識(shí)明線：勾股定理導(dǎo)出→猜想逆定理→驗(yàn)證逆定理→應(yīng)用逆定理。

知識(shí)暗線：特殊到一般思想→探索歸納→數(shù)形結(jié)合思想。

活動(dòng)明線：回顧舊知→逆向思考提出問題→證明結(jié)論→形成定理→應(yīng)用。

活動(dòng)暗線：逆向思考能力→歸納概括能力→數(shù)形結(jié)合→應(yīng)用知識(shí)解決問題。

【活動(dòng)1 導(dǎo)學(xué)環(huán)】：復(fù)習(xí)鞏固，承前啟后

練習(xí) 在Rt△ABC中，∠B=90°，a=3，c=5，求b。

只要見到直角三角形，就可以“由形到數(shù)”得到它的三邊關(guān)系。反過來如果已知三邊關(guān)系，我們能不能“由數(shù)到形”判定一個(gè)三角形是直角三角形呢？

【活動(dòng)2 探究環(huán)】：動(dòng)手操作，猜想勾股定理的逆定理

1. 逆向思考 提出問題

問題 前面我們學(xué)習(xí)勾股定理的內(nèi)容是什么？

追問 勾股定理的題設(shè)是什么？結(jié)論是什么？題設(shè)結(jié)論互換命題還成立嗎？

設(shè)計(jì)意圖：提高學(xué)生反思問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生自然合理地提出問題用三邊的關(guān)系是否可以判斷一個(gè)三角形為直角三角形？

2. 精確驗(yàn)證 提出猜想——實(shí)驗(yàn)操作

（1）畫一畫三角形，下列的三組數(shù)分別是三角形的三邊a，b，c。

①3cm，4cm，5cm;②3cm，4cm，4.5cm;③3cm，4cm，6cm;

（2）量一量，用量角器分別測(cè)量上述各三角形的最大角的度數(shù)。你有什么發(fā)現(xiàn)？

（3）計(jì)算這三組邊滿足a2+b2=c2的數(shù)量關(guān)系嗎？

師生活動(dòng)：教師用幾何畫板展示具有a2+b2=c2的三條線段（長(zhǎng)度可變，數(shù)量關(guān)系不變），并以這三條線段為邊作三角形，通過度量發(fā)現(xiàn)最大角都是90°。

（4）提出猜想：

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過畫、測(cè)量、計(jì)算、猜想和歸納的方法探究幾何問題，是幾何學(xué)習(xí)的通法，讓學(xué)生在這個(gè)過程中體會(huì)幾何研究的一般思路。

【活動(dòng)3 體驗(yàn)環(huán)】：體會(huì)“構(gòu)造法”

已知：如圖△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2。求證：△ABC是直角三角形。

問題 要證明△ABC是直角三角形，只需證明（∠C=90°）？已知條件沒有直接給出關(guān)于角的相關(guān)信息，能直接證明嗎？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析：構(gòu)造Rt△A′B′C′（如圖2），使得∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b，則△A′B′C′是一個(gè)以a，b為直角邊長(zhǎng)的直角三角形，即可通過“構(gòu)造的90°角”證明“未知角為90°”，通過證明全等進(jìn)而證明角相等，然后引導(dǎo)學(xué)生探究全等的條件，找出第三個(gè)條件：證明AB=A′B′。

設(shè)計(jì)意圖：本問題難以直接證明△ABC是直角三角形，聯(lián)想到三角形全等這一工具，通過構(gòu)造直角三角形，證明當(dāng)前三角形與直角三角形全等，從而證明當(dāng)前三角形是直角三角形，讓學(xué)生體會(huì)這種證明思路的合理性，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。

【活動(dòng)4 內(nèi)化環(huán)】：數(shù)學(xué)內(nèi)化，加深對(duì)定理的理解。

例：判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形？

（1）a=13，b=14，c=15;（2）a=41，b=4，c=5;（3）a=15，b=17，c=8。

設(shè)計(jì)意圖：關(guān)注勾股定理逆定理的應(yīng)用，用幾何語(yǔ)言規(guī)范地書寫過程，介紹幾組特殊的勾股數(shù)“3，4，5”“5，12，13”“7，24，25”“8，15，17”。

【活動(dòng)5 應(yīng)用環(huán)】：數(shù)學(xué)應(yīng)用，深化知識(shí)的理解掌握

練習(xí) 已知△ABC中∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，下面以a、b、c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一個(gè)角是直角？

（1）a∶b∶c=3∶4∶5 （2）（a+c）2-b2=2ac

設(shè)計(jì)意圖：由具體數(shù)值上升為“比例”“關(guān)系式”，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“三邊數(shù)量關(guān)系”的應(yīng)用，深化知識(shí)的理解掌握。

案例五：24.2.2 切線的判定的教學(xué)設(shè)計(jì)

直線和圓相切是直線和圓的位置關(guān)系中特殊并且重要的一種，圓的切線是連接直線型與曲線型的重要橋梁，是研究三角形內(nèi)切圓、切線長(zhǎng)定理和正多邊形與圓的關(guān)系的基礎(chǔ)。切線的判定定理揭示了直線和圓的半徑的特殊位置關(guān)系，即切線過半徑外端并與這條半徑垂直。切線判定定理的探究過程體現(xiàn)了由一般到特殊的研究方法。

知識(shí)明線：回顧切線的判定方法→動(dòng)手操作畫切線→獲得切線的判定定理→應(yīng)用。

知識(shí)暗線：特殊與一般思想→轉(zhuǎn)化思想→應(yīng)用意識(shí)。

活動(dòng)明線：明確作圖的合理性→探究切線的判定方法→獲得切線的判定定理及三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化→體驗(yàn)切線判定定理的應(yīng)用，歸納總結(jié)→內(nèi)化應(yīng)用提升。

活動(dòng)暗線：動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)問題→數(shù)形結(jié)合，抽象概括→嘗試應(yīng)用→總結(jié)提升。

【活動(dòng)1 導(dǎo)學(xué)環(huán)】：復(fù)習(xí)回顧，動(dòng)手操作

問題1：通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，你知道直線與圓有哪幾種位置關(guān)系？

問題2：直線與圓相切具有特殊的地位，如何判斷直線和圓相切？

操作：在⊙O中，過圓上一點(diǎn)A畫⊙O的切線l。

問題3：根據(jù)你的作圖過程，你是如何判斷直線l和⊙O相切？

【活動(dòng)2 探究環(huán)】：觀察發(fā)現(xiàn)，探索新知

問題4：根據(jù)作圖我們可以得到什么結(jié)論？你能用一句話描述出來嗎？

【活動(dòng)3 體驗(yàn)環(huán)】：歸納生成，語(yǔ)言轉(zhuǎn)換

【歸納1】切線的判定定理：

問題5：根據(jù)切線的判定定理，我們判定直線與圓相切需要什么條件呢？

①直線垂直于這條半徑（表示出了圓心到直線的距離d）;

②直線經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)（說明d=r）。

兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線。

具體推理格式如下：

符號(hào)語(yǔ)言

∵OA是⊙O的半徑，直線l⊥OA于點(diǎn)A，

∴直線l是⊙O的切線。

【活動(dòng)4 內(nèi)化環(huán)】：明確需求，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)

例1：如圖，AB與⊙O交于C，OA=OB，CA=CB。求證：直線AB是⊙O的切線。

例2：如圖，OA=OB=5，AB=8，⊙O的直徑為6。求證：直線AB是⊙O的切線。

【歸納2】下面我們來總結(jié)一下直線與圓相切的判定方法：

方法1：定義法→與圓只有一個(gè)公共點(diǎn);

方法2：數(shù)量關(guān)系→d=r;

方法3：位置關(guān)系→經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑。

追問：在運(yùn)用切線的判定定理時(shí)，應(yīng)如何添加輔助線？

【歸納3】證切線時(shí)輔助線的添加方法：

①有交點(diǎn)，連半徑，證垂直;②無交點(diǎn)，作垂直，證半徑。

【活動(dòng)5 應(yīng)用環(huán)】：熟練應(yīng)用，總結(jié)提升

1. 如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，PE⊥AC于E。求證：PE是⊙O的切線。

2. 如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，O是BC的中點(diǎn)，OD⊥AB于D，以點(diǎn)O為圓心，OD的長(zhǎng)為半徑作⊙O。求證：AC是⊙O的切線。

四、 結(jié)語(yǔ)

總而言之，“四元五環(huán)”是一種以學(xué)生為主體，以生為本的教學(xué)模式，不同于以往的教學(xué)模式，其注重學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性研究，能拉近師生之間的關(guān)系，讓學(xué)生不再懼怕教師，能夠真正體現(xiàn)學(xué)生的主體性。教師采取“四元五環(huán)”教學(xué)模式，首先需要確保師生雙方站在同等的地位，師生之間的關(guān)系是和諧友好，平等相助的，教師既要合理地降低自身的姿態(tài)，也要以平等、溫柔的態(tài)度來對(duì)待學(xué)生，建立舒適和諧的教學(xué)環(huán)境，在課堂上讓學(xué)生獨(dú)立思考，分析問題，這樣才能做好一名引導(dǎo)者。因此，在教學(xué)中教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，準(zhǔn)確把控問題的難易度，以實(shí)事求是的態(tài)度，設(shè)計(jì)教學(xué)問題，真正落實(shí)“因材施教”的教學(xué)原則，唯有如此，才能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

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[4]吳翠英.初中數(shù)學(xué)“五環(huán)”導(dǎo)學(xué)案編寫策略研究：以《統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)》導(dǎo)學(xué)案編寫為例[J].新課程導(dǎo)學(xué)，2019（4）：35-37.

[5]畢漁民，王玉文.構(gòu)建五環(huán)綜合數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)形式的探索與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015（2）：12-16.

[6]張平元.核心素養(yǎng)背景下的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式轉(zhuǎn)變分析[J].當(dāng)代家庭教育，2019（2）：44.