一階線性非齊次微分方程教學(xué)方法研究

易高明 耿秀榮

摘? 要? 本科大學(xué)微積分教材中的常數(shù)變易法用來探討和計(jì)算一階線性微分方程，然而對(duì)于常微分初學(xué)者而言，常數(shù)變易法的直接使用讓他們迷惑不解：為什么可以這么變？教師在講解這部分內(nèi)容的時(shí)候應(yīng)當(dāng)向?qū)W生解釋清楚常數(shù)變易法的由來思路，并且適當(dāng)介紹微積分教材中缺少的積分因子法，以達(dá)到教學(xué)的邏輯連貫性和技巧性相統(tǒng)一的目標(biāo)，使得教師教和學(xué)生學(xué)都更自然容易些。

關(guān)鍵詞? 微積分教材;常數(shù)變易法;一階線性微分方程;積分因子法

中圖分類號(hào)：G642? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2022）06-093-03

Research on Teaching Methods of First Order Linear Non-homogeneous Differential Equations//YI Gaoming， GENG Xiurong

Abstract? The constant variation method in the calculus text-books of domestic undergraduate universities is used to ex-plore and calculate the first-order linear differential equation. However， the author finds that for ordinary differential be-ginners， the direct use of constant variation method puzzles students： why can it be changed like this？ When explaining this part of the content， teachers should explain the origin and?idea of constant variation method to students， and appro-priately introduce the integral factor method missing in calcu-lus teaching materials， so as to achieve the goal of unifying logical coherence and technology in teaching， and make it easier for teachers to teach and students to learn.

Key words? calculus textbooks; constant variation method; first order linear differential equation; integral factor method

0? 引言

對(duì)于大學(xué)本科低年級(jí)的理工科經(jīng)管類學(xué)生而言，學(xué)好弄通微分方程是提高學(xué)科專業(yè)水平和應(yīng)用能力的必由之路[1]，掌握微分方程的求解可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。在非數(shù)學(xué)專業(yè)的高等數(shù)學(xué)教材中，常微分知識(shí)的介紹篇幅普遍不多[2]，而且受到一般國(guó)內(nèi)微積分教材講解的影響，大部分教師多是采用常數(shù)變易法求解一階線性微分方程[3]。然而，筆者經(jīng)過教學(xué)總結(jié)發(fā)現(xiàn)，如果照搬傳統(tǒng)的常數(shù)變易法教學(xué)思路，大部分教師會(huì)選擇性忽視C（x）的由來，使得學(xué)生學(xué)起來非常迷惑，并不利于對(duì)后面知識(shí)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)。常數(shù)變易雖然直接給出通解的公式，但是依靠學(xué)生死記硬背數(shù)學(xué)公式顯然不符合教學(xué)改革的方向，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力的養(yǎng)成[4]。對(duì)此，筆者介紹兩種不同的方法，以啟發(fā)一階線性非齊次微分方程的教與學(xué)。

首先，教學(xué)對(duì)象是一個(gè)一階線性微分方程[5]，形如：

此為一階線性微分方程，如果右端的自由項(xiàng)等于0，則該微分方程為：

此為一階齊次線性微分方程。當(dāng)然，方程（2）是一個(gè)非常容易求解和講授的可分離的微分方程。首先分離變量得：

兩端取積分有l(wèi)ny=-∫P（x）dx+lnC，通解形式：

y=Ce-∫P（x）dx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

式（3）中假定∫P（x）dx中不包含任何異常數(shù)。

上面給出一階齊次線性微分方程的求解思路，推導(dǎo)通解的過程是非常清晰的，學(xué)生也是非常容易接受的[6]，不存在任何講授學(xué)習(xí)的困難。但是當(dāng)將研究問題轉(zhuǎn)向方程（1）一階非齊次線性微分方程的時(shí)候，教師又該如何推導(dǎo)它的通解，而且讓學(xué)生容易明白呢？筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛约旱捏w會(huì)與思考。

1? 常數(shù)變易法的教學(xué)思考

大學(xué)數(shù)學(xué)教材中普遍不加解釋、不加推理地給出這樣一個(gè)猜想[7]：由于已得到y(tǒng)=Ce-∫P（x）dx是一階線性齊次微分方程的通解，那么根據(jù)齊次與非齊次的解一定有某種聯(lián)系和相似點(diǎn)，因此，教材進(jìn)一步設(shè)想描述把y=Ce-∫P（x）dx前面的任意常數(shù)擴(kuò)充替換成一個(gè)x的函數(shù)C（x）[8]，即猜想y=C（x）e-∫P（x）dx是一階非齊次線性微分方程（1）的通解。大部分教材后續(xù)的篇幅大都開始反向推導(dǎo)這個(gè)C（x）是一個(gè)什么樣的具體函數(shù)，最后給出方程（1）的通解表達(dá)式[9]。然而，筆者發(fā)現(xiàn)從C跳躍到C（x），在實(shí)際的教學(xué)過程中很容易讓學(xué)生產(chǎn)生疑問：這樣的猜想是否說得通？有何依據(jù)？帶著教學(xué)上的思考和疑惑，筆者認(rèn)為應(yīng)該按照以下方式向?qū)W生講解所謂的常數(shù)變易法的由來。

首先回到最初的問題上，要解決的是求下面這個(gè)微分方程的通解：

這個(gè)時(shí)候的學(xué)生并不知道常數(shù)變易法，只掌握前面所學(xué)的可分離變量的微分方程的求解，那不妨按照求解方程（2）的方法，對(duì)方程（1）作相似的變量分離操作，同時(shí)將y視作x的函數(shù)，這個(gè)時(shí)候的方程（1）就可以被看作可分離的微分方程，分離變量的過程如下[10]：

dy=[Q（x）-P（x）y（x）]dx

上式兩邊同時(shí)取積分計(jì)算：

最后雖然通過變量分離也并沒有計(jì)算出方程（1）的通解，但是通過觀察式（8），可以發(fā)現(xiàn)非齊次線性微分方程的通解的基本結(jié)構(gòu)是乘以基本項(xiàng)e∫-P（x）dx。到這里已經(jīng)可以發(fā)現(xiàn)一階非齊次線性微分方程的通解組成形式，教師可以引導(dǎo)學(xué)生作出合乎邏輯的猜想：一階非齊次線性微分方程的通解是y=C（x）e-∫P（x）dx。后續(xù)的求解驗(yàn)證和大部分教材一致，不再贅述。

2? 積分因子法的教學(xué)補(bǔ)充

常數(shù)變易法雖然通過補(bǔ)充推導(dǎo)，變得容易被學(xué)生理解掌握，但并不是那么實(shí)用，特別是在實(shí)際的解題中，學(xué)生需要記住一大串通解的公式，而知識(shí)點(diǎn)通過死記硬背才能掌握，并不符合大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的理念和方向。因此，筆者建議教師在課堂上向?qū)W生補(bǔ)充更加靈活的計(jì)算方法，而積分因子法是一個(gè)非常好的補(bǔ)充。如何講授好積分因子？筆者認(rèn)為也需要向?qū)W生清晰地展示數(shù)學(xué)的邏輯思維過程。再回到這個(gè)方程（1）：

現(xiàn)在要計(jì)算的是這個(gè)方程的通解。隱函數(shù)亦可以作為微分方程的通解，需要將微分方程的導(dǎo)數(shù)或者微分消掉，因此可以采用求導(dǎo)的逆運(yùn)算求積分這個(gè)工具得到問題的通解。然而上面方程的左端并不是一個(gè)完全微分式，即使將左端取積分，也不好直接得出漂亮的結(jié)果。到這里，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更多思考并作出提示。兩個(gè)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)公式是[11]：

[u（x）v（x）]′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x）? ? （9）

從式（9）的右端開始看，兩個(gè)函數(shù)相加也可以作為完全微分式?；氐絾栴}，可以將方程（1）左右兩端同乘以一個(gè)函數(shù)u（x），此時(shí)有微分方程：

觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)滿足u′（x）=u（x）P（x）的時(shí)候，方程（10）左端就是一個(gè)完全微分式，這個(gè)時(shí)候有 [u（x）y]′=u（x）Q（x），再兩端積分，就可以消掉導(dǎo)數(shù)，得到想要的通解：u（x）y=∫u（x）Q（x）dx+C。最后只需要計(jì)算函數(shù)u（x）。由于上面的討論u（x）滿足u′（x）=u（x）P（x），顯然這是一階齊次線性微分方程，直接帶入一階齊次線性微分方程通解公式，有積分因子：

綜上，積分因子法只需要記住[e∫P（x）dxy]′=e∫P（x）dx·

Q（x），然后取積分求通解式。積分因子u（x）=e∫P（x）dx

的引入，目的非常明確，也非常易于學(xué)生學(xué)習(xí)和記憶，相比較常數(shù)變易法，也可以簡(jiǎn)化運(yùn)算難度。

簡(jiǎn)單來看一個(gè)例子，在不增加通解公式的記憶前提下，加深對(duì)積分因子法求解一階非齊次線性微分方程通解的理解。

【例1】求方程的通解。

【解】采用積分因子法，因?yàn)橛蟹e分因子：

然后方程兩邊同乘以積分因子，得到：

左端取完全微分的形式：

（y·x2）′=x-1? ? ? ? ? ? （14）

兩端積分得到通解：

3? 總結(jié)和反思

本文總結(jié)并討論改進(jìn)了兩種完全不同的處理一階非齊次線性微分方程的方法的教學(xué)技巧，即常數(shù)變易法和積分因子法。

對(duì)于常數(shù)變易法，教師應(yīng)該向?qū)W生循序漸進(jìn)地引入常數(shù)變易法，這種求解一階非齊次線性微分方程的方法，如果沒有合理地展示出來它的來龍去脈，就不可能做到承前啟后，不能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步地思考。微積分教學(xué)雖然是知識(shí)的傳授，但是教師應(yīng)該十分注意教的方法手段，使之必須符合學(xué)生現(xiàn)階段的認(rèn)知規(guī)律，必須符合學(xué)生接受問題的能力水平。常數(shù)變易法的技巧性很強(qiáng)，但是里面蘊(yùn)含的基本思想是簡(jiǎn)單有用的，也就是如何將一個(gè)復(fù)雜的研究對(duì)象轉(zhuǎn)化成一個(gè)已知的研究問題，然后引導(dǎo)學(xué)生用已經(jīng)掌握的知識(shí)去解決未知的問題。筆者認(rèn)為，常數(shù)變易法所體現(xiàn)的化歸思想比通解的公式記憶更加重要。總的來看，雖然常數(shù)變易法求解和猜想的過程是艱巨的，但國(guó)內(nèi)教材普遍采用這種方法講述常數(shù)變易法，一方面是因?yàn)槌?shù)變易法在后續(xù)的學(xué)習(xí)中有著重要的地位，另一方面是因?yàn)槌?shù)變易法給出的最后結(jié)果也間接性啟發(fā)了通解間的差異關(guān)系，因此需要引起教師的注意。

任何一種方法都不是萬能的，教師在課堂上應(yīng)當(dāng)適時(shí)補(bǔ)充其他更實(shí)用的方法，如積分因子法。積分因子法的技巧性雖然也很強(qiáng)，但是蘊(yùn)含的思想是值得探討的。積分因子法是以解決問題為導(dǎo)向的方法，非常突出問題意識(shí)。當(dāng)然，積分因子法也有不足，與后續(xù)的教學(xué)內(nèi)容有重復(fù)。

總之，不管是常數(shù)變易法還是積分因子法，教師應(yīng)當(dāng)避免填鴨式的課堂教學(xué)，要辯證地看待教材，不能過于依靠教材的內(nèi)容組織形式進(jìn)行課堂授課，教材只是教材編寫者對(duì)知識(shí)組織形式的一種主觀認(rèn)識(shí)。特別是大學(xué)微積分的教學(xué)，教師不僅僅要重視教授一般的必要的公式，更要重視知識(shí)的形成過程，應(yīng)當(dāng)力爭(zhēng)在課堂上展示問題的猜想與推導(dǎo)的全過程，鼓勵(lì)學(xué)生探索未知的問題，這也是微積分課程思政的應(yīng)有之義?！?/p>

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*項(xiàng)目來源：本文系2019年桂林航天工業(yè)學(xué)院校級(jí)本科教改項(xiàng)目“大數(shù)據(jù)背景下機(jī)器學(xué)習(xí)課程建設(shè)研究”（項(xiàng)目編號(hào)：2019JB28），2020年桂林航天工業(yè)學(xué)院教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)項(xiàng)目基金“數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)專業(yè)教學(xué)團(tuán)隊(duì)”（項(xiàng)目編號(hào)：2020JXTD16），2021年桂林航天工業(yè)學(xué)院校級(jí)本科教改項(xiàng)目“以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)挖掘與建模能力為導(dǎo)向的運(yùn)籌學(xué)課程創(chuàng)新考核機(jī)制研究與實(shí)踐”（項(xiàng)目編號(hào)：2021JB17）的研究成果。

作者：易高明，桂林航天工業(yè)學(xué)院理學(xué)院，助教，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論;耿秀榮，桂林航天工業(yè)學(xué)院理學(xué)院，教授，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論（541004）。