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      如何由圖象確定字母或代數(shù)式的符號(hào)

      2022-07-06 04:38:26孫曉莉
      數(shù)理天地(初中版) 2022年19期
      關(guān)鍵詞:代數(shù)式圖象字母

      孫曉莉

      【摘要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一,其圖象是一種直觀形象的交流語(yǔ)言,含有大量有價(jià)值的信息,用好這些信息有助于培養(yǎng)和提高同學(xué)們分析問題,解決問題的能力.

      【關(guān)鍵詞】圖象;系數(shù);字母;代數(shù)式;符號(hào)

      二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系的相關(guān)考題是歷年各地中考的熱點(diǎn),這是一類比較難的題型.特別是根據(jù)圖象來判斷字母或代數(shù)式的符號(hào)問題,不少同學(xué)感到困難,而此類問題是近年來中考中出現(xiàn)比較頻繁的一類題型,應(yīng)該說它的再生力和潛在力比較強(qiáng),應(yīng)值得大家注意.這里對(duì)其常見考題進(jìn)行解析,以便同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中能更好地去把握它.

      1系數(shù)a,b,c符號(hào)的確定

      1.1a的確定

      二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,a作為二次項(xiàng)系數(shù),顯然a≠0.

      ①當(dāng)a>0時(shí),拋物線開口向上,a的值越大,開口越小,反之a(chǎn)的值越小,開口越大;

      ②當(dāng)a<0時(shí),拋物線開口向下,a的值越小,開口越小,反之a(chǎn)的值越大,開口越大.

      1.2b的確定

      在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下,b決定了拋物線的對(duì)稱軸.

      ①在a>0的前提下,

      ②在a<0的前提下,結(jié)論剛好與上述相反,即

      1.3c的確定

      ①當(dāng)c>0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方,即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正;

      ②當(dāng)c=0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;

      ③當(dāng)c<0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方,即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).

      總結(jié)起來,c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.

      2判斷a與c,b與c的關(guān)系

      解答策略:先根據(jù)對(duì)稱軸判斷a與b之間的關(guān)系.再結(jié)合①x=±1時(shí),出現(xiàn)a±b+c;②x=±2時(shí),出現(xiàn)4a±2b+c;③x=±3時(shí),出現(xiàn)9a±3b+c;消元即可推出a與c,b與c的關(guān)系.

      3出現(xiàn)2c時(shí)

      解答策略:通常代入x=1或x=-1,然后將得到的式子乘2,出現(xiàn)2c后,再根據(jù)對(duì)稱軸找到a和b之間的關(guān)系,進(jìn)行等量代換.

      4含4cb,b2,8a等式子時(shí)與函數(shù)最值之間的關(guān)系

      5判斷系數(shù)的取值范圍

      解答策略:通常把要判斷的字母轉(zhuǎn)化成c,根據(jù)與y軸交點(diǎn)的范圍,判斷原系數(shù)的取值范圍.

      6與不等式ax2+bx+c>n結(jié)合,求x的取值范圍

      解答策略:結(jié)合圖象判斷而不是去解不等式.

      7一元二次方程當(dāng)y=n時(shí)根的情況或者求根與系數(shù)的關(guān)系

      解答策略:令y=n,現(xiàn)察圖象對(duì)應(yīng)x的情況.根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

      8判斷a+b≥m(am+b)時(shí)

      解答策略:不等式左右兩邊分別加上c,不等式的左邊為函數(shù)的最值,右邊為x=m時(shí)對(duì)應(yīng)y的值.

      例1已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖1所示,有下列5個(gè)結(jié)論:

      ①abc>0;

      ②b2<4ac;

      ③2c<3b;

      ④a+2b>m(am+b)(m≠1);

      (A)2個(gè).(B)3個(gè).(C)4個(gè).(D)5個(gè).

      =m(m≠1)時(shí),即a+b+c>am2+bm+c,則可對(duì)④進(jìn)行判斷;由于方程ax2+bx+c=1有2個(gè)根,方程ax2+bx+c=-1有2個(gè)根,則利用根與系數(shù)的關(guān)系可對(duì)⑤進(jìn)行判斷.

      解①因?yàn)閽佄锞€開口方向向下,所以a<0,因?yàn)閽佄锞€與y軸交于正半軸,所以c>0,因?yàn)閷?duì)稱軸在y軸右側(cè),所以b>0,

      所以abc<0,①錯(cuò)誤;

      ②因?yàn)閽佄锞€與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),

      所以b2-4ac>0,

      所以b2>4ac

      故②錯(cuò)誤;

      ③因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為直線x=1,

      由圖象得,當(dāng)x=-1時(shí),y=a-b+c<0,

      所以2c<3b,

      故③正確;

      ④當(dāng)x=1時(shí),y=a+b+c的值最大,

      所以當(dāng)x=m(m≠0)時(shí),a+b+c>am2+bm+c,

      所以a+b>m(am+b)(m≠1),

      因?yàn)閎>0,

      所以a+2b>m(am+b)(m≠1),

      故④正確;

      所以正確的結(jié)論是③④,故選(A).

      注本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系:對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.當(dāng)a>0時(shí),拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開口;一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置.當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱軸在y軸左側(cè);當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右側(cè).常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置:拋物線與y軸交于(0,c).拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由Δ決定:

      Δ=b2-4ac>0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn);

      Δ=b2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);

      Δ=b2-4ac<0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

      例2如圖2,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),對(duì)稱軸為x=-1,結(jié)合圖象給出下列結(jié)論:

      ①a+b+c=0;

      ②a-2b+c<0;

      ③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別為-3和1;

      ④若點(diǎn)(-4,y1),(-2,y2),(3,y3)均在二次函數(shù)圖象上,則y123;

      ⑤a-b

      (A)1個(gè).(B)2個(gè).(C)3個(gè).(D)4個(gè).

      分析根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可判斷.

      解因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),所以當(dāng)x=1時(shí),a+b+c=0,故結(jié)論①正確;根據(jù)函數(shù)圖象可知,當(dāng)x=-1,y<0,

      即a-b+c<0,

      根據(jù)拋物線開口向上,得a>0,

      所以b=2a>0,

      所以a-b+c-b<0,

      即a-2b+c<0,

      故結(jié)論②正確;

      根據(jù)拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(1,0),

      對(duì)稱軸為x=-1可知:拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(-3,0),

      所以關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別為-3和1,故結(jié)論③正確;

      根據(jù)函數(shù)圖象可知:y213,故結(jié)論④錯(cuò)誤;當(dāng)x=m時(shí),y=am2+bm+c=m(am+b)+c,所以當(dāng)m=-1時(shí),a-b+c=m(am+b)+c,即a-b=m(am+b),故結(jié)論⑤錯(cuò)誤.

      綜上:①②③正確,故選(C).

      注本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì),正確理解二次函數(shù)與方程的關(guān)系.

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