基于卡爾曼GM(1，1)模型的基坑變形分析研究

王炳新

(遼寧省有色地質(zhì)一○一隊(duì)有限責(zé)任公司，遼寧 撫順 113006)

1 引 言

隨著社會經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，現(xiàn)代城市樓房的高度越來越高，高樓層有利于提高空間利用率，減少土地資源的浪費(fèi)，提升城市形象等優(yōu)點(diǎn)，但同時也存在樓層過高，高樓層結(jié)構(gòu)變形及樓層基坑變形也更加復(fù)雜。為了保證建筑物基坑在施工期間的穩(wěn)定性，有必要在施工期間對基坑進(jìn)行變形監(jiān)測，對基坑變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，分析基坑形變規(guī)律，合理預(yù)測基坑變形趨勢，對建筑物安全施工具有重要的意義。在變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理和分析方面，國內(nèi)外已有許多學(xué)者針對Kalman濾波和GM(1，1)模型在沉降數(shù)據(jù)分析和預(yù)測進(jìn)行了研究。孫昌瑜等人研究傳統(tǒng)GM(1，1)模型和改進(jìn)背景值的GM(1，1)模型，對傳統(tǒng)灰色理論GM(1，1)的背景值進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，證明了改進(jìn)背景值的新陳代謝GM(1，1)模型在建筑物結(jié)構(gòu)變形中預(yù)測分析的優(yōu)越性和合理性，有效分析并預(yù)測了建筑物特征點(diǎn)的變形規(guī)律。姜剛[2]結(jié)合變形體變形規(guī)律特點(diǎn)，利用Kalman濾波理論消除了變形監(jiān)測數(shù)據(jù)中的隨機(jī)噪聲的擾動影響，再結(jié)合傳統(tǒng)灰色模型理論進(jìn)行變形規(guī)律分析和預(yù)測，驗(yàn)證了其建立的GM(1，1)模型的可靠性。蔣濤[3]針對含有噪聲的數(shù)據(jù)不能用單一GM(1，1)進(jìn)行預(yù)測估計(jì)問題，提出了基于Kalman濾波的GM(1，1)濾波的穩(wěn)健估計(jì)模型，有效解決了大壩觀測數(shù)據(jù)擾動噪聲大而導(dǎo)致的數(shù)據(jù)預(yù)測不準(zhǔn)問題。

2 灰色理論GM(1，1)模型理論

灰色理論GM(1，1)的建模流程可按如下進(jìn)行，首先假設(shè)一組初試數(shù)據(jù)序列，記為X(0)。

(1)

對初始數(shù)據(jù)序列X(0)進(jìn)行一次疊加計(jì)算，即可得到一組新數(shù)據(jù)序列X(1)。

(2)

根據(jù)X(1)數(shù)據(jù)序列，計(jì)算其平均值序列Z(1)。計(jì)算平均值序列結(jié)果如下：

(3)

推導(dǎo)灰色模型微分方程形式如下：

X(0)(k)+aZ(1)(k)=b

(4)

注(4)：α為發(fā)展系數(shù)，b為灰作用量。

根據(jù)(4)推導(dǎo)其白化型微分方程為：

(5)

則(4)推導(dǎo)其差分形式為：

X(0)(ki)+aZ(1)(ki)=b

(6)

對白化微分方程積分，灰色發(fā)展參數(shù)α和灰作用力b利用最小二乘法求得：

(7)

推導(dǎo)響應(yīng)函數(shù)如下，則灰色理論GM(1，1)模型預(yù)測方程為：

(8)

(9)

3 卡爾曼濾波

Kalman濾波是一種針對數(shù)據(jù)降噪處理的濾波算法，Kalman濾波算法能減少隨機(jī)誤差的影響，較為真實(shí)地還原數(shù)據(jù)中包含的有效信息，通過對被提取信號進(jìn)行濾波處理，獲得被提取信號的過濾方法，達(dá)到過濾觀測數(shù)據(jù)中噪聲信號的作用[4～6]。

離散Kalman的狀態(tài)和觀測方程可表示如下。

(10)

式中Xk為k時刻的n×1的系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，同理Xk-1為上一時刻的系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，式中所有k代表時刻。Fk/k-1為n×n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Bk-1為n×r控制輸入增益矩陣，uk-1為r×1的控制輸入矩陣，wk-1為r×1的狀態(tài)方程動態(tài)誤差(process noise)。Lk為n×1的觀測矩陣，Hk為m×n的觀測矩陣，vk為動態(tài)觀測噪聲(measurement noise)。其中，wk-1和vk為高斯白噪聲，協(xié)方差分別為Q和R，Q和R均滿足高斯分布條件，即：

p(w)∈N(0，Q)，p(v)∈N(0，R)

(11)

根據(jù)最小二乘原理，遞推隨機(jī)卡爾曼濾波公式如下：

(12)

卡爾曼濾波一步預(yù)測推導(dǎo)方程如下：

(13)

Kalman濾波增益矩陣為：

(14)

Kalman濾波狀態(tài)矩陣估計(jì)量如下：

(15)

根據(jù)Kalman濾波的狀態(tài)矩陣方差矩陣為

Pk=(I-KgkHk)Pk/k-1

(16)

4 工程案例

根據(jù)沈陽市某工程施工期間基坑監(jiān)測數(shù)據(jù)展開分析，基坑周圍共布設(shè)有15個監(jiān)測點(diǎn)(圖1中用藍(lán)色三角形表示基坑監(jiān)測點(diǎn))，選取5#基坑監(jiān)測點(diǎn)的第50-60期監(jiān)測數(shù)據(jù)展開數(shù)據(jù)分析。

圖1 基坑位移監(jiān)測點(diǎn)平面布置圖

4.1 Kalman濾波模型

首先通過MATLAB 2016a軟件編程實(shí)現(xiàn)Kalman濾波原理，通過Kalman濾波處理原始監(jiān)測數(shù)據(jù)，減小由觀測噪聲引起的數(shù)值波動，得到相對平滑且更真實(shí)變形規(guī)律的過濾值[9]。

根據(jù)Kalman推導(dǎo)理論，基于MATLAB建立Kalman濾波數(shù)學(xué)模型，對選取的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波降噪處理。選取5#號點(diǎn)沉降變形方向進(jìn)行Kalman濾波處理，選5#號點(diǎn)第50期-59期沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，5#監(jiān)測點(diǎn)經(jīng)過長時間推移，變形趨勢基本趨于穩(wěn)定，理論上認(rèn)為其監(jiān)測點(diǎn)沉降速率是均值恒定不變的，并將其位置變化和位移速度作為系統(tǒng)中的狀態(tài)參數(shù)，設(shè)置狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Fk/k-1=1，代表前后期次的沉降速率大致相同，第50期觀測值作為Kalman濾波程序的初始值，初始系統(tǒng)狀態(tài)矩陣為X0=[E，△λ]T，E為首期的觀測數(shù)據(jù)，△λ是首期觀測的沉降速率(變形速率=(下一期觀測值-上一期觀測值)/觀測周期間隔天數(shù))，t代表間隔天數(shù)。本次建立的Kalman濾波系統(tǒng)沒有控制輸入源，故uk-1=0。初始方差陣P0根據(jù)第1期實(shí)測觀測量所對應(yīng)的方差陣確定，其位置的每期實(shí)際沉降變化率視為過程噪聲wk。

根據(jù)上述描述的參數(shù)，系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

Xk=Xk-1+wk-1

式中：w為狀態(tài)方程的過程誤差，因?yàn)楦鶕?jù)假設(shè)情況，5#監(jiān)測點(diǎn)經(jīng)過長時間推移，變形趨勢基本趨于穩(wěn)定，理論上認(rèn)為其監(jiān)測點(diǎn)沉降速率是均值恒定不變的，但實(shí)際我們的假設(shè)可能與實(shí)際的沉降速率有差異，故差異用wk-1來表示，實(shí)際狀態(tài)過程誤差根據(jù)每2期沉降量之間的差值，再除以2期的間隔天數(shù)，求得2期之間的沉降速率，本次數(shù)據(jù)共選取了10期沉降量數(shù)據(jù)，第50期和第51期的沉降速率計(jì)算結(jié)果w0=0.044 mm/5天。

系統(tǒng)的觀測方程為：

Lk=HkXk+vk

過程噪聲協(xié)方差Q=4e-4；反映連續(xù)2期沉降量的差值，設(shè)測量協(xié)方差R=1，反映測量水準(zhǔn)儀的測量精度，上述協(xié)方差對應(yīng)的高斯白噪聲p(w)∈N(0，Q)，p(v)∈N(0，R)高斯分布條件。

QR調(diào)參時，首先，Q作為過程噪聲協(xié)方差，Q數(shù)值越小，說明卡爾曼濾波系統(tǒng)對模型預(yù)測值信任程度更高，故可將Q從小往大調(diào)整，反之則模型預(yù)測可靠性越差；R是測量噪聲協(xié)方差，測量噪聲的擾動體現(xiàn)出實(shí)際測量的精確程度，R設(shè)置如果過大，則說明測量的精度不夠或者測量值的可靠性不高，過大的R值會導(dǎo)致卡爾曼濾波系統(tǒng)計(jì)算迭代速度會變慢，這說明系統(tǒng)對于新測量值的信任程度不夠，需要多此迭代來減小R過大的影響，R設(shè)置過小，R越小系統(tǒng)收斂速度越快，但R過小容易出現(xiàn)數(shù)值震蕩，無法收斂的情況。實(shí)際對基坑5#監(jiān)測點(diǎn)的建模調(diào)參過程中，Rk和Qk根據(jù)經(jīng)驗(yàn)值設(shè)置其初始值Qk=4e-4和Rk=1。QR具體調(diào)整時，先固定一個參數(shù)值去調(diào)整另外一個值，看實(shí)際系統(tǒng)的收斂速度和輸出波形情況，若出現(xiàn)問題，按照上述QR調(diào)整方式調(diào)整Kalman濾波系統(tǒng)。

完成上述后，接著對Kalman系統(tǒng)對應(yīng)的協(xié)方差(corariance)進(jìn)行更新：Pk/k-1=FPk-1/k-1FT+Q

由于前面假設(shè)前后2期的變形速率恒定，那么F=1，那么協(xié)方差的更新公式為：Pk/k-1=Pk-1/k-1+Q，按照此公式完成現(xiàn)在狀態(tài)的預(yù)測。再根第K期沉降量的測量值，結(jié)合第K期的先驗(yàn)估計(jì)值和實(shí)際的測量沉降值，我們可以計(jì)算出第K期沉降量的最優(yōu)結(jié)果，如下：

其中，Kg是卡爾曼濾波增益，即Kalman系統(tǒng)整體對于估計(jì)沉降量和實(shí)際沉降測量值的可信度，根據(jù)中誤差計(jì)算出水準(zhǔn)測量誤差的首期均方差為 0.4 mm，而我們對于系統(tǒng)穩(wěn)定性的預(yù)測均方差為 0.044 mm，故最優(yōu)結(jié)果更加偏向于實(shí)際測量值，即實(shí)際測量的結(jié)果可信度更高。

每一次迭代的Kalman濾波增益矩陣按如下公式計(jì)算。

最后，更新第K期沉降量狀態(tài)下的協(xié)方差，Pk= (I-KgkHk)Pk/k-1，上述過程完成一次Kalman系統(tǒng)的濾波迭代過程[10，11]。直到完成所有的卡爾曼系統(tǒng)迭代過程，系統(tǒng)結(jié)束。

核心Kalman濾波MATLAB程序如下過程所下。

%Kalman濾波程序

Xkf=zeros(2，N)；

Xkf(：，1)=X(：，1)；%卡爾曼濾波狀態(tài)初始化

M(1，：)=Xkf(：，1)；

for i=2：N

Xn=phi*Xkf(：，i-1)；%預(yù)測

M(i，：)=Xn；

P1=phi*P0*phi'+Q；%預(yù)測誤差協(xié)方差K=P1*H'*inv(H*P1*H'+R)%Kalman增益

Xkf(：，i)=Xn+K*(Z(：，i)-H*Xn)；%狀態(tài)更新

P0=(eye(4)-K*H)*P1；%濾波誤差協(xié)方差更新

end

建立該點(diǎn)MATLAB數(shù)據(jù)模型，經(jīng)過第50～59期迭代處理后，基坑5#監(jiān)測點(diǎn)處數(shù)據(jù)分析對比情況如表1所示。

5#監(jiān)測點(diǎn)Kalman濾波模型數(shù)據(jù)分析表 表1

由表1分析可知，Kalman模型殘差值最小殘差值為 -0.69 mm，最大殘差值為 -1.90 mm，總體Kalman模型殘差較小，說明建立的Kalman模型精度相對較高，經(jīng)過Kalman濾波的降噪處理后，Kalman濾波有效減弱了測量誤差的影響[12]。

4.2 多種預(yù)測模型對比分析

基于灰色模型GM(1，1)理論建立數(shù)學(xué)模型，基于前50-59監(jiān)測數(shù)據(jù)[13]，預(yù)測第60期監(jiān)測數(shù)據(jù)，此為實(shí)驗(yàn)1。建立Kalman模型，經(jīng)過濾波校正后的Kalman模型，預(yù)測第60期Kalman最優(yōu)估值，此為實(shí)驗(yàn)2。將前50～59期經(jīng)過Kalman濾波降噪處理后的數(shù)據(jù)，結(jié)合灰色數(shù)學(xué)模型GM(1，1)，預(yù)測第60期監(jiān)測數(shù)據(jù)，此為實(shí)驗(yàn)3。將原始觀測數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)1-3進(jìn)行數(shù)據(jù)對比如表2、圖2所示。

模型實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合和預(yù)測表 表2

圖2 5#基坑監(jiān)測點(diǎn)累計(jì)監(jiān)測值與預(yù)測沉降量分析圖

4.3 數(shù)據(jù)分析結(jié)果

將5#處原始監(jiān)測數(shù)據(jù)和擬合預(yù)測實(shí)驗(yàn)1-3進(jìn)行數(shù)據(jù)對比分析如圖2所示。根據(jù)表2分析可知，實(shí)驗(yàn)3最大殘差為 0.28 mm，最小殘差為 0.57 mm，實(shí)驗(yàn)3模型殘差最大和最小值均小于實(shí)驗(yàn)1和實(shí)驗(yàn)2，說明實(shí)驗(yàn)三模型精度相對較好，在本基坑監(jiān)測項(xiàng)目中，實(shí)驗(yàn)3擬合預(yù)測的情況優(yōu)于實(shí)驗(yàn)1-2的分析方法[14]。圖2分析可知，實(shí)驗(yàn)1-3的總體擬合趨勢和原監(jiān)測數(shù)據(jù)一致，實(shí)驗(yàn)三與原始數(shù)據(jù)擬合程度最高，說明實(shí)驗(yàn)3的模型精度較優(yōu)，能更真實(shí)地反映基坑變形情況[15]。

5 結(jié) 語

本文詳細(xì)介紹了基于Kalman濾波的GM(1，1)模型在建筑物基坑變形分析和預(yù)測中的應(yīng)用研究，首先研究灰色理論模型和Kalman濾波模型的理論，通過3種實(shí)驗(yàn)方法，分別是基于GM(1，1)和Kalman濾波預(yù)測分析，以及基于Kalman濾波的GM(1，1)預(yù)測分析模型，通過不同類型的擬合模型預(yù)測和原始監(jiān)測數(shù)據(jù)對比分析，得出以下結(jié)論：

(1)驗(yàn)證了基于Kalman濾波模型的GM(1，1)的殘差優(yōu)于單種Kalman和GM(1，1)模型擬合分析手段。

(2)驗(yàn)證了本文方法精度能夠適用于建筑物基坑變形監(jiān)測數(shù)據(jù)分析，對建筑物基坑變形數(shù)據(jù)監(jiān)測分析和變形預(yù)報(bào)工作具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。