費(fèi)兆宇 馬宇翰 孫昌璞，2

（1.中國(guó)工程物理研究院研究生院 100193;2.北京計(jì)算科學(xué)研究中心 100193）

波是物理學(xué)中的基本概念之一。作為描述波傳播的物理量，相速度和群速度在物理學(xué)的科研與教學(xué)中扮演十分重要的角色。物理及相關(guān)專業(yè)的本科生最早會(huì)在力學(xué)部分的振動(dòng)與波章節(jié)中接觸到這兩個(gè)概念，此后還會(huì)在光學(xué)、電磁學(xué)、電動(dòng)力學(xué)、固體物理等專業(yè)課程中進(jìn)一步學(xué)習(xí)與討論它們。

在自然界中，光的相速度和群速度在某些條件下可以超過真空中的光速c(以下簡(jiǎn)稱光速)。然而這種超光速現(xiàn)象并不能傳遞信息，因而不會(huì)破壞狹義相對(duì)論所要求的因果律。具體來說，相速度和群速度能否超光速，取決于波傳播的介質(zhì)的色散關(guān)系。例如，在折射率小于1的介質(zhì)中，波的相速度可以超過光速；而在反常色散介質(zhì)中波的群速度也可以超過光速。這一事實(shí)在此前的一些教材①②和文獻(xiàn)中③④已經(jīng)有明確的說明。

然而，在日常科研和教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)仍然有不少人認(rèn)為波的相速度或群速度是不可能超過光速的。最近，我們調(diào)查了本課題組的學(xué)生(包括正在實(shí)習(xí)的本科生)和博士后共計(jì)23人對(duì)此問題的理解。結(jié)果顯示，17.4%的人認(rèn)為群速度和相速度都可以超光速；60.9%的人認(rèn)為相速度可以超光速而群速度不能超光速，因?yàn)樗麄冋J(rèn)為群速度代表信息傳播的速度；還有21.7%的人認(rèn)為群速度和相速度都不能超光速。我們小范圍抽樣的結(jié)果意味著，大多數(shù)物理專業(yè)的學(xué)生對(duì)這一問題的認(rèn)知可能仍然存在誤區(qū)。本文將從幾個(gè)具體例子出發(fā)，討論波的相速度和群速度在什么條件下可以超光速，旨在厘清在物理教學(xué)中可能存在的關(guān)于相速度和群速度能否超光速問題的誤區(qū)。

1.相速度超光速

根據(jù)麥克斯韋方程組(Maxwell’s equations)，在均勻穩(wěn)態(tài)非耗散介質(zhì)中傳播的電磁波滿足波動(dòng)方程

其中，E為電場(chǎng)強(qiáng)度，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度，n為介質(zhì)的折射率⑤。考慮沿x方向傳播的圓頻率為ω，波數(shù)為k的單色平面波解u(x，t)=u0eikx-iωt(u(x，t)的實(shí)部為E或B沿垂直于波傳播方向的分量)，代入上述波動(dòng)方程后得

u(x，t)的等相位點(diǎn)滿足kx-ωt=常數(shù)，這樣可以定義等相位點(diǎn)的速度vp，即相速度為

在有色散的介質(zhì)中，折射率n和圓頻率ω都是波數(shù)k的函數(shù)，且通常n ＞1。因此，相速度vp ＜c。而相速度超光速常見于以下兩種情形。

(1)折射率小于1介質(zhì)中的超光速

當(dāng)電磁波的頻率接近介質(zhì)的共振頻率時(shí)，會(huì)發(fā)生共振吸收。此時(shí)，介質(zhì)的折射率可以小于1(見圖1)。另外，當(dāng)電磁波的頻率超過介質(zhì)的最高共振頻率時(shí)，折射率也會(huì)小于1。例如，北京玻璃研究所提供的一種單管材料對(duì)波長(zhǎng)為1.238 nm 的X 光的折射率為0.9995358④。這種超光速并不違反因果律(即信息的傳播不會(huì)超過光速)。具體來說，由于單色平面波必須是無限延展的，且波的頻率和振幅為常數(shù)，因此它不能攜帶信息。

圖1 介質(zhì)中的折射率示意圖(圖摘取自文獻(xiàn)②)

(2)波導(dǎo)中的超光速

由于邊界條件的限制，即使是在真空中傳播的電磁波仍然能夠超光速?？紤]在中空金屬柱體內(nèi)傳播的電磁波(即波導(dǎo)，見圖2)，其色散關(guān)系如下①⑥

圖2 矩形波導(dǎo)示意圖(圖摘取自文獻(xiàn)⑥)

其中ωc是波導(dǎo)內(nèi)傳播的波的最低頻率，稱為截止頻率。

根據(jù)式(4)，波的相速度為

必定大于c，并且當(dāng)ω →ωc時(shí)，相速度會(huì)趨于無窮大。這種超光速并不違反因果律，這是因?yàn)樵诓▽?dǎo)中信息傳遞的速度是群速度vg(見下節(jié))?？梢宰C明，在無介質(zhì)波導(dǎo)中波的相速度和群速度滿足的關(guān)系為①因此相速度超光速必然導(dǎo)致群速度小于光速。

2.群速度超光速

為了使電磁波能夠攜帶信息，在實(shí)際應(yīng)用中，總會(huì)對(duì)波的頻率和振幅進(jìn)行調(diào)制。此時(shí)的電磁波是各種單色波的線性組合，即①

其中A(k)是展開系數(shù)。如果A(k)是以波數(shù)k0為中心的相當(dāng)尖銳的峰形曲線(如圖3)，那么可以把圓頻率ω(k)在k0附近做微擾展開

圖3 A(k)的峰形曲線示意圖①

其中ω0=ω(k0)。

將式(9)帶入式(8)后，我們得到

上式表明，除了一個(gè)總相位之外，波的包絡(luò)以群速度vg行進(jìn)

并且其形狀不發(fā)生畸變。如果波的包絡(luò)在行進(jìn)過程中發(fā)生了畸變，那么就需要考慮式(9)中高階項(xiàng)的貢獻(xiàn)。此時(shí)，群速度vg只是由式(11)定義的速度，而不能被認(rèn)為是信息的傳播速度。

根據(jù)式(4)，群速度vg還可以用折射率n(ω) 來表示

對(duì)于正常色散來說，(dn/dω)＞0，且通常n＞1，這時(shí)群速度小于相速度，并且也小于c。但是，在反常色散區(qū)域中，dn/dω為負(fù)值，且絕對(duì)值可以很大。這時(shí)群速度就可以大于c，甚至可以為負(fù)值。

需要注意的是，這種超光速并不違反因果律。由于(dn/dω)很大，ω隨k的變化很快，因此式(9)的近似不再成立，波的包絡(luò)在行進(jìn)中會(huì)發(fā)生畸變①。這樣一來，群速度在這里不再是一個(gè)有意義的概念。在下一節(jié)關(guān)于實(shí)驗(yàn)“增益超光速光脈沖傳播”⑦的討論中，我們會(huì)更具體地解釋群速度超光速和負(fù)群速度的物理現(xiàn)象。事實(shí)上，光信號(hào)的傳播速度與相速度和群速度都沒有必然的聯(lián)系。A.Sommerfeld 和L.Brillouin 曾對(duì)信號(hào)的傳播速度進(jìn)行過細(xì)致的討論。他們的結(jié)論是信號(hào)的傳播速度不能超過c①⑧。

3.實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到負(fù)群速度和超光速現(xiàn)象

2000 年，普林斯頓高等研究院的王力軍(現(xiàn)為清華大學(xué)物理系、精密儀器與機(jī)械學(xué)系雙聘教授)等人在英國(guó)《自然》雜志上發(fā)表了文章“增益超光速光脈沖傳播”⑦，報(bào)道了他們的測(cè)量結(jié)果：銫原子氣體在反常色散區(qū)域的群速度是-c/310，進(jìn)入銫原子氣體的光脈沖比真空中的光脈沖超前62 ns通過氣體池。

在這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中，研究人員利用泵浦光技術(shù)，使得實(shí)驗(yàn)中的銫原子氣體表現(xiàn)出了如下的光學(xué)特性：不同頻率的光在其中會(huì)有不同的增益和不同的速度。圖4是實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的銫原子氣體中光的振幅的增益系數(shù)以及折射指數(shù)(即折射率)隨光波頻率的變化曲線。利用折射率反常色散區(qū)域的測(cè)量結(jié)果(對(duì)應(yīng)圖4 中增益系數(shù)雙峰之間的區(qū)域)，根據(jù)式(11)計(jì)算出群速度為-c/(330±30)。該計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果在誤差范圍內(nèi)一致。圖5是兩個(gè)高斯光脈沖通過氣體池后的強(qiáng)度隨時(shí)間的變化。其中，曲線A 為以光速c行進(jìn)的光束，曲線B 為探測(cè)光束?？梢娞綔y(cè)光束比真空中的光束超前62(±1) ns 通過氣體池，即發(fā)生了超光速現(xiàn)象。

圖4 光的振幅的增益系數(shù)以及折射指數(shù)隨光波頻率的變化曲線(圖摘取自文獻(xiàn)⑨)

圖5 兩個(gè)光脈沖通過氣體池后的強(qiáng)度隨時(shí)間的變化(圖摘取自文獻(xiàn)⑨)

實(shí)驗(yàn)中的負(fù)群速度和超光速現(xiàn)象一經(jīng)發(fā)現(xiàn)就引起了眾多物理學(xué)家的研究興趣⑨-?。雖然大家分析這些現(xiàn)象的角度各不相同，但是結(jié)論都表明上述超光速現(xiàn)象并不會(huì)導(dǎo)致光信號(hào)超光速。我們接下來介紹文獻(xiàn)⑩對(duì)該實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的理論解釋。圖6左側(cè)是對(duì)負(fù)群速度現(xiàn)象的模擬示意圖，模擬時(shí)取vg=-c/2 和c=1，t=0 為高斯光束的峰值到達(dá)氣體池左邊界的時(shí)刻。從圖中可以看出，由于增益介質(zhì)的性質(zhì)，雖然探測(cè)光束還沒有到達(dá)氣體池左邊界，但是在氣體池的右邊界處已經(jīng)出現(xiàn)了兩束光脈沖。其中氣體池內(nèi)部的光束以群速度c/2 向左運(yùn)動(dòng)，并在氣體池左邊界處與探測(cè)光相干相消。而氣體池外部的光束，則以群速度c向右運(yùn)動(dòng)。如果將測(cè)量?jī)x器放在氣體池右側(cè)，那么就可以探測(cè)到超光速的光脈沖。

圖6 (a)負(fù)群速度現(xiàn)象的模擬示意圖。z為空間位置，E為光束的電場(chǎng)強(qiáng)度。模擬時(shí)取vg=-c/2 和c=1；(b)(a)圖中電場(chǎng)強(qiáng)度取對(duì)數(shù)后的結(jié)果(圖摘取自文獻(xiàn)⑩)

這種超光速現(xiàn)象之所以不違反因果律，是因?yàn)閷?時(shí)刻視為光信號(hào)到達(dá)氣體池左邊界的時(shí)刻實(shí)際上是一種誤解。將圖6(a)中的數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)(即圖6(b))后就能發(fā)現(xiàn)，早在0 時(shí)刻之前，光束的前端就已經(jīng)穿過了氣體池。因?yàn)榇藭r(shí)，探測(cè)光束已經(jīng)發(fā)生了明顯的變形，存在多個(gè)峰值，這就是第二節(jié)中所討論的波包畸變現(xiàn)象。此時(shí)將峰值的運(yùn)動(dòng)速度(即群速度)視為光信號(hào)的傳播速度顯然是錯(cuò)誤的，進(jìn)而該超光速現(xiàn)象也不能被視為光信號(hào)的超光速傳播。

4.小結(jié)

本文從幾個(gè)具體例子出發(fā)，詳細(xì)討論了電磁波的相速度和群速度的超光速問題。例如，在以下兩種情況中相速度可以超光速：a)介質(zhì)的折射率小于1；b)在波導(dǎo)中傳播的電磁波。另外，在介質(zhì)的反常色散區(qū)域，dn/dω為負(fù)值，且絕對(duì)值很大時(shí)，群速度可以超光速，甚至可以為負(fù)值。需要注意的是，由于電磁波信號(hào)的傳播速度與相速度和群速度都沒有必然的聯(lián)系，因此這些超光速現(xiàn)象并不違反因果律。

通過整理、介紹和分析幾個(gè)相速度和群速度超光速的示例，筆者希望本文的論述能糾正廣泛存在的關(guān)于相速度或群速度不能超光速這一錯(cuò)誤認(rèn)知，并對(duì)相關(guān)物理課程的教學(xué)起到一定的啟發(fā)作用。

致謝：感謝課題組成員田西城同學(xué)對(duì)本文的仔細(xì)閱讀與建議。本研究受國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)：12088101)，NSAF基金-科學(xué)研究中心項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)：U1 930403;U1930402)，中國(guó)博士后科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)：BX2 021030;2021M700359)的資助。