鄧玉蘭

化歸與轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用探討

鄧玉蘭

（蘭州市第六十一中學(xué)，甘肅蘭州730060）

化歸與轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思維方式，甚至是其他數(shù)學(xué)思想方法的核心。掌握了化歸與轉(zhuǎn)化思想，不但能夠引導(dǎo)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題，還能夠使學(xué)生在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)和生活實際問題的解決中得心應(yīng)手。

化歸與轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)教學(xué)；作用

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)活動中“教與學(xué)”的靈魂，作為建立和運用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)思想，它指引著學(xué)習(xí)者和教學(xué)者順利完成在數(shù)學(xué)“教與學(xué)”中的各項工作和任務(wù)。由于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問題千姿百態(tài)，所以衍生出了多種不同的數(shù)學(xué)思想方法，用于指導(dǎo)數(shù)學(xué)知識的教與學(xué)。

一、化歸與轉(zhuǎn)化思想簡介

化歸與轉(zhuǎn)化思想就是這五彩繽紛的數(shù)學(xué)思想方法世界中最耀眼的一顆星，錢佩玲老師也稱化歸與轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中問題解決的基本方法。首先化歸與轉(zhuǎn)化思想符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律；其次數(shù)學(xué)學(xué)科自身的特點和數(shù)學(xué)科學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)，決定了化歸與轉(zhuǎn)化思想的數(shù)學(xué)地位——數(shù)學(xué)解決問題的基本方法。

“化歸”一詞其實就含有轉(zhuǎn)化的意思，但是，其最終目的是將一個問題歸結(jié)為另外一個方便于解決的問題?；舅枷胧牵涸跀?shù)學(xué)問題的解決過程中，人們通常會把需要解決的問題M，經(jīng)過某種轉(zhuǎn)化的方法，將其變換為另外一個已經(jīng)解答或者已經(jīng)有固有的解決程序的數(shù)學(xué)問題N，并且通過解決問題N，進(jìn)而可以解決原問題M。這樣一個化歸的過程通?？梢杂孟旅娴目驁D簡單表示：

圖1

如圖1中標(biāo)示的，問題N經(jīng)常被稱作化歸與轉(zhuǎn)化的方向或目標(biāo)，化歸與轉(zhuǎn)化的方法就是轉(zhuǎn)化，經(jīng)常被稱作化歸與轉(zhuǎn)化的策略?；瘹w的方向有時可能是將煩瑣的問題化成單一的問題，有時是將未知的問題化成已知的問題，有時是將不能解答的問題化成已經(jīng)解答的問題等，有時并不是一步就能完成化歸與轉(zhuǎn)化，需要經(jīng)過好幾步才能完成。也就是說將原來的問題M，通過轉(zhuǎn)化途徑，轉(zhuǎn)化為問題M1，再將問題M1轉(zhuǎn)化為問題M2，按照“化難為易，化繁為簡，化未知為已知”的基本原則繼續(xù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至將其轉(zhuǎn)化為問題N，然后一步一步地還原解答每一個問題，直至解答原問題M。如此一來，上面框圖又可以呈現(xiàn)為更一般的化歸模式，圖2：

圖2

由此可以看出化歸與轉(zhuǎn)化思想符合“小步子教學(xué)”的原則，把較復(fù)雜難以解決的問題，不如就稱其為“大問題”，轉(zhuǎn)化為一個個比較容易解答的“小問題”，各個擊破，最終回歸到原問題，解決一開始的“大問題”。也有人將化歸與轉(zhuǎn)化思想稱為是一種“迂回前進(jìn)”的方法，而其最終的目的是“回到老家”，解答原始的問題。

據(jù)說，從研究數(shù)學(xué)思想方法中可以看出一個重要的問題，那就是與一般的科學(xué)家（如化學(xué)家）相比，數(shù)學(xué)家具有其特殊的地方，那便是在數(shù)學(xué)思想方法這一方面，因為數(shù)學(xué)家具有重要的思維特點——他們善于利用化歸與轉(zhuǎn)化的思想解決問題。這也就更加突出了，化歸與轉(zhuǎn)化思想方法在數(shù)學(xué)思想方法中的重要地位。

二、化歸與轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

在數(shù)學(xué)教學(xué)的每一個階段、每一個環(huán)節(jié)化歸與轉(zhuǎn)化思想都具有指導(dǎo)意義，并且是眾多數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)，比如說數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、一般與特殊的思想等。其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要作用有：

1.運用化歸與轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)新知識的形成

比如《分?jǐn)?shù)乘整數(shù)》《兩平行線間距離公式》的可以用等價轉(zhuǎn)化法去講解，《集合的基本運算》《平明向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運算》的講解可以充分地利用數(shù)形結(jié)合的思想講解等，這些案例都體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想對新知識形成的指導(dǎo)作用。

2.利用化歸與轉(zhuǎn)化思想引導(dǎo)問題的解決

問題解決是數(shù)學(xué)“教”與“學(xué)”活動的核心，新知識的講解也是為問題的解決提供依據(jù)和新的方法。化歸與轉(zhuǎn)化思想其實是通過轉(zhuǎn)化的方法，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將煩瑣的問題轉(zhuǎn)化為單一的問題等。轉(zhuǎn)化的方法也是多種多樣，比如，數(shù)形結(jié)合法、特殊化的方法、正反轉(zhuǎn)化的方法等。但是方法再多，其核心的思想就是簡化問題，不要用靜止的態(tài)度看待問題，而是要用變化的態(tài)度看問題，學(xué)會變通。

師：復(fù)合函數(shù)求值域，不做變換直接求比較復(fù)雜。觀察到根號下的內(nèi)容是二次式，可以聯(lián)想到配方法，進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化后大家再觀察該式。

生：

師：很好，還可以繼續(xù)轉(zhuǎn)化嗎？想一想兩點間的距離公式。

生：

生：解：因為

師：很好，這道題的主要思想是數(shù)形結(jié)合，通過換元法把函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離和的最值問題。

利用化歸與轉(zhuǎn)化思想的熟悉化原則、簡單化原則以及和諧化原則解數(shù)學(xué)題，能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確的思維活動，使之能夠順利解決問題。

3.利用化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行知識結(jié)構(gòu)的梳理

每次學(xué)完一節(jié)或一章內(nèi)容的時候，都應(yīng)進(jìn)行知識點的梳理和總結(jié)。梳理過程中可以消化、提煉、整理知識，系統(tǒng)化地記憶知識，把零零碎碎的知識組織成井然有序的、層次分明的知識地圖，將課本知識學(xué)薄，提綱挈領(lǐng)，更容易記憶、理解和利用。

圖3

三、在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)該注意的問題

化歸與轉(zhuǎn)化思想作為問題解決的基本方法，其進(jìn)行轉(zhuǎn)化的方法可謂是多種多樣。恩格斯和馬克思的辯證唯物主義告誡后人：“世界永遠(yuǎn)都是處于運動與變化之中的，要用辯證的態(tài)度去看待一切?！彼栽诶没瘹w與轉(zhuǎn)化思想的時候，不能將思維局限于某一具體的方法，而是要用動態(tài)變化的觀點分析問題、解決問題。在化歸與轉(zhuǎn)化的過程中應(yīng)該注意：

1.有目的、有意識地介紹和突出化歸與轉(zhuǎn)化，找準(zhǔn)目標(biāo)

有目的、有意識地介紹和突出化歸與轉(zhuǎn)化，緊緊“鎖住”目標(biāo)，利用化歸與轉(zhuǎn)化的原則，將題目化生為熟，化難為易；進(jìn)行規(guī)范化、高效化的化歸與轉(zhuǎn)化。

在教學(xué)中，首先，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)內(nèi)容，考慮突出介紹化歸與轉(zhuǎn)化思想環(huán)節(jié)，學(xué)生把握化歸與轉(zhuǎn)化思想的層次。其次，對每一個教學(xué)環(huán)節(jié)要合理的設(shè)計，精心的安排，有意識、有目的地進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化的教學(xué)。

化歸與轉(zhuǎn)化思想包括化歸與轉(zhuǎn)化的對象、目標(biāo)以及途徑和方法（如圖4）。因此，在化歸與轉(zhuǎn)化的過程中，應(yīng)該明確化歸與轉(zhuǎn)化的對象，找準(zhǔn)化歸與轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)幕瘹w與轉(zhuǎn)化的途徑。目標(biāo)是指引化歸與轉(zhuǎn)化前進(jìn)的關(guān)鍵所在，所以要選準(zhǔn)化歸與轉(zhuǎn)化的目標(biāo)。選目標(biāo)總是基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行的，根據(jù)學(xué)生已有的規(guī)范性知識，將學(xué)生遇到的問題規(guī)范化。除此之外，化歸與轉(zhuǎn)化能否順利進(jìn)行還依賴于化歸與轉(zhuǎn)化的方法是否選擇的恰到好處，即要同時考慮目標(biāo)和方法的可操作性、合理性和規(guī)范性。在解題的過程中緊緊地鎖住目標(biāo)——原問題的解決，才能選擇合理恰當(dāng)?shù)姆椒?，從而避免盲目地選擇方法，致使無法順利地完成問題的解答。

圖4

2.有計劃、有步驟地進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化，注意化歸與轉(zhuǎn)化的等價性

化歸與轉(zhuǎn)化大體上可以分為等價和非等價的化歸與轉(zhuǎn)化，但是中學(xué)階段的化歸與轉(zhuǎn)化大多數(shù)是等價轉(zhuǎn)化。因此在轉(zhuǎn)化的過程中要注意化歸與轉(zhuǎn)化的等價性。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是一個循序漸進(jìn)的過程，在以上的案例中也有所體現(xiàn)，每一階段對于學(xué)生掌握化歸與轉(zhuǎn)化的水平要求是不一樣的，所以教學(xué)的過程中教師應(yīng)該有計劃、有步驟地進(jìn)行該思想方法的教學(xué)，而學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中應(yīng)該花費時間實踐，不斷探索化歸與轉(zhuǎn)化思想暗含的玄機(jī)。

3.注意化歸與轉(zhuǎn)化方法的多樣性，設(shè)計合理方案，選擇最佳的方法

化歸與轉(zhuǎn)化的方法多種多樣，對于同一個問題就可以用多種不同的途徑實現(xiàn)，但并不是所有的方法都能簡化問題的解決方案，可能反而會使問題更加煩瑣，無論如何其中總有使問題最簡化的一種方法途徑，所以選擇最佳的方法是必要的。比如說下面的例題：

（A）點有兩個（B）點有四個

（C）點不一定存在（D）點一定不存在

解法二：由圖可知，

不可能，所以選。

作為一名數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該加強訓(xùn)練自己利用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行教學(xué)的能力，提高對數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。在備課的時候應(yīng)該豐富自己的教學(xué)目標(biāo)，將數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)一并列入教學(xué)過程中，以輔助數(shù)學(xué)知識的講解。只有讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)思想方法的真諦，才能將數(shù)學(xué)知識更好地納入自己的知識體系，加強自己的數(shù)學(xué)能力，終身受益，而作為教師也才能真正地做到“授學(xué)生以漁”。

[1] 錢佩玲.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2010.

[2] 趙小云,葉立軍.數(shù)學(xué)化歸思維論[M].北京:北京科學(xué)出版社,2005.

[3] 朱廣俊.化歸思想及其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].江蘇第二師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)),2014,30(5):18-21.

[4] 袁健.化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用[J].新課程,2010(10):28

[5] 朱成杰.數(shù)學(xué)思想方法研究導(dǎo)論[M].上海:文匪出版社,1998(6).

[6] 鮑怡.化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中滲透的案例研究[D].蘇州:蘇州大學(xué),2009.

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