趙闖闖，翟東升，李語強

(1. 中國科學院云南天文臺，云南 昆明 650216；2. 中國科學院大學，北京 100049)

激光測距技術通過精確測定激光脈沖在地面觀測站和目標之間的往返時間，并根據(jù)光速計算地面觀測站和目標間的距離[1]。作為目前最精確的測量手段，激光測距的目標主要有合作目標(攜帶角反射器)、空間碎片和月球，觀測數(shù)據(jù)對天文地球動力學、月球物理和引力理論等諸多科學研究有重要的價值。

在激光測距中，不同高度的目標受到的攝動影響不同，軌道的預報精度也不同，高軌道目標的預報精度優(yōu)于低軌道目標的[2]。對于低軌目標，可以通過增大發(fā)散角增加激光到達目標表面時的光束面積，有利于目標的搜索；而對于高軌目標，應減小發(fā)散角，以增加激光到達目標表面時的能量密度，有利于提高探測成功的概率。因此，為滿足不同距離目標的測距要求，我們通常采用擴束系統(tǒng)調整激光發(fā)散角。

目前，云南天文臺及國內(nèi)大部分激光測距臺站采用倒置的伽利略式望遠鏡擴束系統(tǒng)調整光束發(fā)散角。通過移動擴束系統(tǒng)中的凹透鏡調整兩透鏡間的距離來改變發(fā)散角，稱為離焦式擴束系統(tǒng)，距離的調整量稱為離焦量。該方式調整發(fā)散角時，系統(tǒng)不再是共焦狀態(tài)，光束波前不再是平面波，存在波前畸變，從而產(chǎn)生離焦像差，影響光束質量，降低回波信號的強度，進而影響系統(tǒng)的測距能力。因此，研究離焦像差對回波光子數(shù)的影響具有重要意義。文[3]研究了不同類型波像差和斯特列爾比之間的關系，并建立了擬合關系式。文[4]研究了光束控制系統(tǒng)熱效應和球差對遠場激光光束質量的影響，結果表明，傳輸通道的熱效應和正球差使遠場光強分布擴展，聚焦能力下降，光束質量變差。文[5]研究了光學系統(tǒng)的波像差與對應的光束質量β因子間的關系，用數(shù)值計算方法建立了各種澤尼克多項式的波像差均方根(Root Mean Square, RMS)與β因子間的擬合關系式。

綜上，像差對激光光束質量如β因子、斯特列爾比和聚焦性等有很大的影響，但光束質量對系統(tǒng)測距能力的影響未見相關文獻報道。本文采用光束能量密度的空間分布來描述光束質量，利用激光測距回波光子數(shù)表示測距系統(tǒng)的測距能力，研究離焦像差對光束質量和系統(tǒng)測距能力的影響，具有重要的理論價值。

1 理論模型

1.1 基模高斯光束的傳播及基本性質

由激光諧振腔衍射理論可知，在均勻的透明介質中，基模高斯光束沿z軸方向傳播的復振幅為[6-8]

(1)

其中，各項參數(shù)表達式為[6]

(2)

(3)

Φ(z)=arctan(z/Z0).

(4)

圖1 基模高斯光束的傳播

基模高斯光束的遠場發(fā)散半角θ0是雙曲線的漸近線與光束對稱軸的夾角，定義為[7]

(5)

結合(2)式和(5)式，求極限得

(6)

1.2 擴束系統(tǒng)對基模高斯光束的變換作用

基模高斯光束經(jīng)過擴束系統(tǒng)后，束腰半徑和束腰位置改變。由(1)式可知，束腰半徑影響光束的復振幅分布。因此，我們需要根據(jù)矩陣光學求出光束經(jīng)擴束系統(tǒng)后的束腰半徑和束腰位置。

圖2為基模高斯光束經(jīng)擴束系統(tǒng)后的變換。假設s1為束腰ω1與透鏡M1間的距離，由透鏡M1指向束腰ω1；s2為束腰ω2與透鏡M2間的距離，由透鏡M2指向束腰ω2。透鏡M1和M2間的距離為l=f1′+f2′-Δl，由M2指向M1，其中，f1′和f2′分別為M1，M2的像方焦距；Δl為離焦量，由F2指向F1′。以上各量從左到右為正，反之為負。設放大率MT=|f2′/f1′|，則擴束系統(tǒng)的變換矩陣為[7]

圖2 基模高斯光束經(jīng)擴束系統(tǒng)后的變換

(7)

束腰ω1到束腰ω2的變換矩陣為

(8)

當離焦量Δl=0時，s2,ω2和ω1之間的關系為[7]

(9)

ω2=MTω1.

(10)

當離焦量Δl≠0時，略去Δl的二級小量，s2′,ω2′和ω1之間關系為[7]

(11)

(12)

定義角放大率為高斯光束擴束后與擴束前光束發(fā)散角的比值，由(6)式可知，高斯光束的發(fā)散角與束腰半徑成反比。當離焦量Δl=0時，由(10)式得角放大率α為

(13)

當離焦量Δl≠0時，由(12)式得角放大率α′為

(14)

1.3 有離焦像差時光束的能量密度空間分布

調整離焦量后，擴束系統(tǒng)不再是共焦狀態(tài)，光束波前存在畸變，影響光束能量密度的空間分布。波面上的光程總是相等的，波像差是實際波面和理想波面之間的光程差。波像差一般沒有數(shù)學解析表達式，常用有限項澤尼克多項式近似表達，離焦像差用澤尼克多項式表示為[9]

(15)

(16)

其中，Δl為離焦量；δ為離焦像差產(chǎn)生的波前峰谷差；F為望遠鏡的有效焦距；D為望遠鏡主鏡的口徑；α為角放大率。離焦像差的澤尼克多項式系數(shù)a4與波前峰谷差δ滿足關系[10]

(17)

由(16)式和(17)式得澤尼克多項式系數(shù)a4與離焦量Δl關系為

(18)

由(18)式可知，在望遠鏡主鏡口徑D和有效焦距F確定后，澤尼克多項式系數(shù)a4與離焦量Δl對應。

由于擴束系統(tǒng)存在衍射效應和離焦像差，激光經(jīng)過擴束系統(tǒng)后不僅發(fā)生衍射，而且與未發(fā)生衍射的光(直射光)相互干涉，影響光斑的能量密度分布[6]。有離焦像差時，高斯光束在垂直于z軸平面內(nèi)的復振幅分布為

{1+exp[ikW4(x,y)]}.

(19)

當無離焦像差時，離焦量Δl=0，澤尼克多項式系數(shù)a4=0，則像差項W4(x,y)=0, exp[ikW4(x,y)]的值恒為1，此時，(19)式等價于(1)式，光束的復振幅符合理想高斯分布。當有離焦像差時，離焦量Δl≠0，由(18)式可知，澤尼克多項式系數(shù)a4隨離焦量Δl的增大而增大(結果見表1)，影響光束的復振幅分布。

光束能量密度為

Ed(x,y)=I(x,y)I*(x,y) ，

(20)

其中，I*(x,y)為I(x,y)的共軛。測距目標接收的激光能量為

(21)

其中，S為測距目標的有效反射面積。

1.4 激光測距回波光子數(shù)

以衛(wèi)星為探測目標，激光測距時，探測器接收的回波光子數(shù)n為[11-12]

(22)

其中，N=λ/hc為每焦耳激光能量所含的光子數(shù)，式中λ為激光波長，h為普朗克常量，c為真空中的光速；ρ為衛(wèi)星角反射器的反射率；Ar為望遠鏡有效接收面積；As為衛(wèi)星角反射器的有效反射面積；ηt為激光發(fā)射系統(tǒng)的光學效率；ηr為測距系統(tǒng)的接收效率；T為單程大氣光學透過率；η為探測器的量子效率；β為衰減因子(受大氣抖動、湍流等影響)；R為衛(wèi)星到測距臺站的距離；θe為激光的發(fā)散半角；θm為激光經(jīng)衛(wèi)星角反射器反射后的發(fā)散半角。(22)式即為激光測距回波光子數(shù)方程。

2 結果分析與討論

2.1 角放大率和離焦量關系

云南天文臺53 cm望遠鏡激光測距系統(tǒng)中一級擴束系統(tǒng)的凹透鏡像方焦距f1′=-73 mm，凸透鏡像方焦距f2′=498.79 mm。離焦量Δl的變化范圍為-571.9 mm～425.79 mm。我們把上述參數(shù)代入(14)式，得到角放大率和離焦量的關系，如圖3和表1。由圖3可知，角放大率關于Δl=-73 mm對稱分布。隨著離焦量增大，角放大率逐漸增大。當離焦量為-73 mm時，角放大率最小，趨向于無窮小，此時，凹透鏡位于凸透鏡物方焦點處。由(14)式可知，離焦量Δl不能等于-73 mm，故角放大率不可能為0。表1中的數(shù)據(jù)線性擬合結果表明，角放大率和離焦量近似符合線性關系，離焦量每增加1 mm，角放大率增加0.002。

圖3 角放大率和離焦量關系

表1 角放大率與相應的離焦量調整值

2.2 離焦像差對能量密度的影響

測距系統(tǒng)中發(fā)射激光波長λ=532 nm，光束束腰半徑ω0=7.5 mm，激光發(fā)散半角θ0=0.5 mrad[13]。假設衛(wèi)星與測距臺站間距離R=1 000 km，衛(wèi)星角反射器的有效反射區(qū)域為邊長1 m的正方形，光束中心和衛(wèi)星角反射器有效反射區(qū)域中心重合。把上述參數(shù)代入(19)式，得到不同角放大率下光束在1 000 km處的能量密度分布，結果見圖4和圖5。圖中激光發(fā)散角為激光經(jīng)過擴束系統(tǒng)后的發(fā)散角，由角放大率乘以入射激光發(fā)散角求得，光斑半徑由(2)式求得。由圖4和圖5可知，光束經(jīng)過擴束系統(tǒng)后，隨著激光發(fā)散角的增大，光斑半徑逐漸增大。當無離焦像差時，光斑半徑僅發(fā)生尺度變化，能量密度分布符合高斯分布；當有離焦像差時，光斑半徑不僅發(fā)生尺度變化，而且形狀更加彌散，能量密度分布也不再是高斯分布，變得更為復雜。

圖4 有離焦像差時光束能量密度分布。(a)發(fā)散角θ=0.15 mrad，光斑半徑r=6.78 m；(b)發(fā)散角θ=0.2 mrad，光斑半徑r=9.04 m；(c)發(fā)散角θ=0.25 mrad，光斑半徑r=11.29 m；(d)發(fā)散角θ=0.3 mrad，光斑半徑r=13.57 m

圖5 無離焦像差時光束能量密度分布。(a)發(fā)散角θ=0.15 mrad，光斑半徑r=6.78 m；(b)發(fā)散角θ=0.2 mrad，光斑半徑r=9.04 m；(c)發(fā)散角θ=0.25 mrad，光斑半徑r=11.29 m；(d)發(fā)散角θ=0.3 mrad，光斑半徑r=13.57 m

利用(21)式計算當衛(wèi)星到測距臺站的距離R=1 000 km時，衛(wèi)星在不同角放大率下接收的能量如表2。表2中E1為有離焦像差時衛(wèi)星接收的能量，E2為無離焦像差時衛(wèi)星接收的能量。由表2可知，在不同角放大率下，E2均大于E1。因此，離焦像差影響激光光束的能量密度分布，進而影響衛(wèi)星接收的能量。

表2 不同角放大率下衛(wèi)星接收的能量

2.3 不同角放大率下的回波光子數(shù)

云南天文臺53 cm望遠鏡激光測距系統(tǒng)的參數(shù)為激光單脈沖能量E0=3 J，每焦耳激光能量所含光子數(shù)N=2.7 × 1018(激光波長λ=532 nm)，衛(wèi)星角反射器的反射率ρ=0.8，衛(wèi)星角反射器的有效反射面積As=1 m2，望遠鏡有效接收面積Ar=0.204 3 m2，激光發(fā)射系統(tǒng)的光學效率ηt=0.5，測距系統(tǒng)的接收效率ηr=0.5，單程大氣的光學透過率T=0.6，單光子雪崩二極管探測器的量子效率η=0.2，衰減因子β=0.1，地面測距臺站到衛(wèi)星的距離R的范圍為500～1 000 km、距離間隔100 km，激光光束經(jīng)衛(wèi)星角反射器反射后的發(fā)散角θm=0.5 mrad。把上述參數(shù)代入(22)式計算回波光子數(shù)，結果如圖6、表3和表4。圖6為距離R=1 000 km時不同角放大率的回波光子數(shù)，n1為有離焦像差時的回波光子數(shù)，n2為無離焦像差時的回波光子數(shù)。如圖6，對于距離R=1 000 km處的衛(wèi)星，隨著角放大率的增大，測距系統(tǒng)接收的回波光子數(shù)迅速衰減。因此，對于不同距離的目標，需要選擇適當?shù)募す獍l(fā)散角。表3和表4為衛(wèi)星與測距臺站間距離R取不同值時測距系統(tǒng)接收的回波光子數(shù)。由表3和表4可知，當激光發(fā)散半角相同時，衛(wèi)星離測距站越近，測距系統(tǒng)接收的回波光子數(shù)越多。對于同一距離的衛(wèi)星，激光發(fā)散半角越小，測距系統(tǒng)接收的回波光子數(shù)越多。對于不同距離的同一顆衛(wèi)星，在不同角放大率下，n1均小于n2，前者約為后者的50%?；夭ü庾訑?shù)越多，目標的探測成功概率越高。

圖6 激光測距回波光子數(shù)

表3 距離R為500～700 km時的回波光子數(shù)

表4 距離R為800～1 000 km時的回波光子數(shù)

在實際應用中，通過切換伽利略式望遠鏡擴束系統(tǒng)中凹透鏡的方式調整激光光束發(fā)散角，系統(tǒng)中兩透鏡處于共焦狀態(tài)，離焦量Δl為0，離焦像差為0，不存在離焦像差。當無離焦像差時，假設探測目標與測距臺站的距離R為500～1 600 km，探測目標參數(shù)同上。探測器的光敏面產(chǎn)生光電子的概率服從泊松分布，當回波光子數(shù)為n時，至少產(chǎn)生一個光電子的概率為[14]

P(≥1)=1-e-n，

(23)

(23)式也稱為探測成功概率。

由(22)式和(23)式可以計算目標探測成功概率。結果見表5，表頭行數(shù)據(jù)表示角放大率，表頭列數(shù)據(jù)表示探測目標與測距臺站間的距離，單位為km。由表5可知，當角放大率為0.10～0.50時，探測成功概率均為100%。但是，探測成功概率受很多因素影響，例如望遠鏡的跟蹤精度、激光能量波動和大氣湍流等，實際情況和理論結果有差別。測距系統(tǒng)的發(fā)射激光光束直徑為15 mm，望遠鏡副鏡有效通光口徑為48 mm。為充分利用望遠鏡口徑，光束的最大擴束倍率為副鏡有效通光口徑與光束直徑之比3.2，即角放大率為0.31，因此擴束系統(tǒng)的角放大率最好不小于0.31(擴束倍率與角放大率成反比)。綜合以上分析，針對探測距離為500～1 600 km的目標，擴束系統(tǒng)的角放大率為0.3，0.4和0.5。

表5 目標探測成功概率

3 總 結

本文通過理論分析，研究了離焦像差對光束能量密度分布和激光測距回波光子數(shù)的影響。數(shù)值仿真結果表明，離焦像差使光斑形狀變得彌散，降低目標接收的能量，影響測距系統(tǒng)接收的回波光子數(shù)。對于不同距離的同一顆衛(wèi)星，在不同角放大率下，無離焦像差時測距系統(tǒng)接收的回波光子數(shù)約是有焦像差時的2倍。由表1可知，通過改變擴束系統(tǒng)中兩透鏡間距離來調整發(fā)散角，離焦量越大，離焦像差的波前均方根越大，嚴重影響光束的能量密度分布。對于不同距離的同一顆衛(wèi)星，在不同角放大率下，無離焦像差時測距系統(tǒng)接收的回波光子數(shù)約是有焦像差時的2倍。因此，無離焦像差可以有效提高測距系統(tǒng)探測成功的概率。