楊振平

（嘉應(yīng)學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 梅州 514015）

數(shù)學(xué)是我國普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試中的必考科目，旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、抽象思維能力和類比聯(lián)想能力等.隨著科學(xué)技術(shù)和人工智能的高速發(fā)展，數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科占據(jù)著舉足輕重的地位.李克強總理在2018年1月3日的國務(wù)院常務(wù)會議上指出“數(shù)學(xué)是我國科學(xué)研究的重要基礎(chǔ).無論是人工智能還是量子通信等，都需要數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科作有力支撐.我們之所以缺乏重大原創(chuàng)性科研成果，卡脖子就是卡在基礎(chǔ)學(xué)科上.”[1]然而，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常因為知識點抽象而導(dǎo)致課堂教學(xué)效果不佳，比如基本初等函數(shù)的圖像變化、函數(shù)圖像的平移與伸縮、異面直線的位置關(guān)系、函數(shù)極限等等.另一方面，由于課程內(nèi)容偏多，學(xué)生高考任務(wù)重，大部分學(xué)校采取“填鴨式”教學(xué)方式，這就導(dǎo)致許多學(xué)生對部分數(shù)學(xué)抽象概念理解不透徹，使其覺得數(shù)學(xué)枯燥無味，學(xué)習(xí)興趣不高，甚至厭倦數(shù)學(xué).近年來，教育部不斷強調(diào)教師要在數(shù)學(xué)課堂上恰當借助現(xiàn)代信息技術(shù)輔助教學(xué)，改善課堂教學(xué)質(zhì)量，引導(dǎo)學(xué)生利用現(xiàn)代信息技術(shù)獲取數(shù)學(xué)知識，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣[2-5].隨著計算機技術(shù)的突飛猛進，越來越多的數(shù)學(xué)軟件被開發(fā)和使用.這些數(shù)學(xué)軟件具有強大的科學(xué)計算能力和出色的可視化能力等，如果在高中數(shù)學(xué)課堂中借助數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)，將一些抽象的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)關(guān)系形象化和具體化，不僅能有效提高課堂教學(xué)效率，而且可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.本文就以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入Matlab軟件和Lingo軟件來分析和求解函數(shù)的應(yīng)用、兩直線位置關(guān)系、極限以及數(shù)學(xué)建模等方面的內(nèi)容，幫助學(xué)生深刻理解和熟練掌握抽象的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì).

1 Matlab 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用

1.1 函數(shù)教學(xué)中Matlab 的應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中尤為重要的內(nèi)容之一，也是后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)列和解三角形等內(nèi)容的重要基礎(chǔ).然而，函數(shù)的概念及其性質(zhì)等內(nèi)容也是學(xué)生較難掌握的內(nèi)容之一，主要原因在于該部分內(nèi)容比較抽象，不易理解.因此，教師在函數(shù)相關(guān)知識講授中，若能借助Matlab軟件將知識點更直觀準確地展示給學(xué)生，則有助于學(xué)生更深刻地理解和掌握知識點，豐富教學(xué)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而達到事半功倍的教學(xué)效果.

例如，在函數(shù)圖像的平移與伸縮教學(xué)中，學(xué)生容易混淆，經(jīng)常判斷錯誤.為了引導(dǎo)學(xué)生準確理解并掌握函數(shù)圖像到底是向左還是向右平移、是向上還是向下平移、是沿x軸拉伸函數(shù)壓縮、是沿y軸拉伸函數(shù)壓縮，可以利用Matlab軟件輔助教學(xué)，畫出各函數(shù)圖像，并比較各圖像的形狀和位置，加深學(xué)生對函數(shù)平移和伸縮知識的掌握，為學(xué)習(xí)三角函數(shù)圖像變換奠定基礎(chǔ).此外，高中數(shù)學(xué)中確定函數(shù)零點的個數(shù)是一塊“難啃的骨頭”.面對此類問題，學(xué)生傳統(tǒng)做法是令函數(shù)等于0，并利用解方程的方式確定函數(shù)零點的個數(shù).雖然這個方法對于簡單函數(shù)較為有效，但對復(fù)雜函數(shù)就只能束手無策了.當然，很多學(xué)生均能想到利用數(shù)形結(jié)合法進行求解，但手繪函數(shù)圖像會因其不準確而導(dǎo)致分析錯誤.可以借助Matlab軟件輔助教學(xué)，通過準確畫出函數(shù)圖像，根據(jù)交點個數(shù)來確定函數(shù)零點的個數(shù).

例1.設(shè)f(x)x2,分別畫出函數(shù)f(x),f(x+1),f(x1),f(x)+1,f(x) 1,f(2x),f(0.5x),2f(x) 以及0.5f(x) 的函數(shù)圖像，并比較各函數(shù)之間的關(guān)系.

解：先利用Matlab中plot語句依次畫出各函數(shù)圖像，如圖1所示，并讓學(xué)生觀察各函數(shù)圖像的位置，然后總結(jié)出函數(shù)變換規(guī)律.

圖1

學(xué)生通過觀察圖1發(fā)現(xiàn)，當自變量取值整體增加1個單位時，函數(shù)圖像向左平移1個單位，而自變量取值整體減少1個單位時，則函數(shù)圖像向右平移1個單位，這就是所謂的“左加右減”；當函數(shù)整體增加1個單位時，函數(shù)圖像向上平移1個單位，而當函數(shù)整體減少1個單位時，則函數(shù)圖像向下平移1個單位，這則是所謂的“上加下減”.另一方面，f(2x) 是將f(x) 的函數(shù)圖像的橫坐標壓縮至原來的0.5倍，并保持縱坐標不變；f(0.5x) 則是在保持縱坐標不變的情況下，將橫坐標拉伸為原來的2倍.2f(x) 和0.5f(x) 則是在橫坐標保持不變的情況下，將縱坐標分別拉伸為原來的兩倍和壓縮至原來的0.5倍.通過利用Matlab繪制各函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生對比圖像形狀和位置，總結(jié)出函數(shù)的平移和伸縮規(guī)律，不僅能幫助學(xué)生加深對函數(shù)變換的理解，還有助于提升其運用數(shù)形結(jié)合法解題的能力.

例2.設(shè)確定函數(shù)f(x) 零點的個數(shù).

解：顯然，直接令函數(shù)等于0時，難以求解出方程的解，故無法利用解方程的思想確定函數(shù)的零點.下面先將函數(shù)拆成兩個函數(shù)的差，即令，其中，，然后利用Matlab中plot語句畫出兩個函數(shù)各自的函數(shù)圖像，并引導(dǎo)學(xué)生觀察兩條函數(shù)曲線交點的個數(shù)，然后分析函數(shù)圖像交點的意義.

學(xué)生從圖2中可以看出，兩條函數(shù)曲線有三個交點，表示f1(x) 和f2(x) 在這三個點處的橫坐標和縱坐標均相等，也就是在交點處，函數(shù)f1(x) 和f2(x) 之差等于0，這說明函數(shù)f(x) 具有三個零點.借助Matlab可視化功能繪制出函數(shù)圖像，更加直觀且準確地解決函數(shù)零點的個數(shù)問題，進一步加強學(xué)生的動手解題能力.

圖2

1.2 兩直線位置關(guān)系教學(xué)中Matlab 的應(yīng)用

兩直線的位置關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，其包括平面中兩條直線的位置關(guān)系和空間中兩條直線的位置關(guān)系.對于前者而已，通常學(xué)生在平面直角坐標系中畫出相應(yīng)的直線圖像就可以判斷其位置關(guān)系.然而，在空間兩直線位置關(guān)系的教學(xué)中，教師通常難以用手工繪圖的方式向?qū)W生展示空間直線的位置關(guān)系，尤其是空間中異面直線與相交直線的判斷.對于空間想象能力較為薄弱的學(xué)生而言，要深刻理解并熟練掌握該部分的內(nèi)容更是難如登天.Matlab 可視化圖形具有任意旋轉(zhuǎn)功能，教師可以借助該功能向?qū)W生全方位展示兩空間之間的位置，幫助學(xué)生理解空間中兩直線的位置關(guān)系.

學(xué)生觀察圖3 中可以發(fā)現(xiàn)：如果僅看第一個圖，兩條直線明顯是相交直線.然而，隨著圖形旋轉(zhuǎn)，可以看出兩條直線為異面直線.因此，通過借助Matlab 的三維繪圖功能和圖形旋轉(zhuǎn)功能，將抽象的數(shù)學(xué)概念形象地展示在學(xué)生面前，學(xué)生就可以觀察、直觀感知數(shù)學(xué)知識，從而理解并掌握原本難以理解的數(shù)學(xué)知識，提高學(xué)習(xí)效率.

圖3

1.3 函數(shù)極限教學(xué)中Matlab 的應(yīng)用

雖然在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中沒有單獨講授函數(shù)極限的這一部分內(nèi)容，但并不意味著這部分內(nèi)容與高中數(shù)學(xué)沒有關(guān)系.在高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊中，第五章的內(nèi)容一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)就是函數(shù)的極限.然而，在此之前，學(xué)生并沒有接觸過數(shù)列或函數(shù)極限相關(guān)的知識，這導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的知識點時，無從下手，更談不上熟練掌握.因此，深刻理解極限的概念具有舉足輕重的意義.如果教師在講授導(dǎo)數(shù)的定義之前，借助Matlab 的可視化功能將函數(shù)極限的動態(tài)變化過程展示給學(xué)生，這將有助于學(xué)生直觀感受函數(shù)極限的變化過程.進而幫助學(xué)生理解函數(shù)極限的內(nèi)容，為學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)相關(guān)的知識奠定基礎(chǔ).

解：對于中學(xué)生而言，他們并沒有接觸過極限的概念，故無法利用高等數(shù)學(xué)中極限的知識來求解上述函數(shù)的極限.但他們已經(jīng)熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題.因此，可以通過函數(shù)圖像的變化趨勢，引導(dǎo)學(xué)生求出函數(shù)極限.首先利用Matlab 的for 循環(huán)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)函數(shù)的動態(tài)變化圖像，如圖4 所示，即當x逐漸增大時，逐步計算出相應(yīng)的函數(shù)值，并引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)值的變化情況，然后根據(jù)函數(shù)圖像確定函數(shù)的極限.

圖4

學(xué)生可以從動態(tài)圖4 中觀察得到，當x逐漸增大時，函數(shù)f(x) 的值逐漸減小，但其取值始終不小于1，而是隨著x逐漸增大而越來越接近1，所以當x趨于無窮時，函數(shù)f(x) 的極限等于1；類似地，當x逐漸增大時，函數(shù)g(x) 的值逐漸增加，而且其越來越靠近1，但始終小于1，當x取值非常大時，f(x)的值將無限接近1.因此，函數(shù)f(x) 的極限等于1.

2 Lingo 在高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的應(yīng)用

近年來，為進一步提升中學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，教育部將數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動增加到高中數(shù)學(xué)教材中.在不斷完善高中數(shù)學(xué)知識體系的同時，逐步改變中學(xué)生的數(shù)學(xué)無用論的觀點，讓學(xué)生體會學(xué)數(shù)學(xué)不只是為了高考，更多的是為了解決實際生活中所遇到的問題.受知識體系的局限，高中生在將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題時，通常只能利用數(shù)列、函數(shù)、概率統(tǒng)計等知識建立數(shù)學(xué)模型，以保證建立的模型在其所學(xué)范圍之內(nèi)順利求解.眾所周知，數(shù)學(xué)建模與多變量線性規(guī)劃息息相關(guān)，例如，任務(wù)安排、生產(chǎn)配料、產(chǎn)品庫存等實際問題.然而，如何有效求解線性規(guī)劃問題，給中學(xué)生帶來極大的挑戰(zhàn).如果教師在數(shù)學(xué)建模涉及線性規(guī)劃模型的教學(xué)中能夠借助Lingo 求解模型，這就可以很好的解決學(xué)生所面臨的困難.原因在于Lingo 軟件編程非常簡單，易被處于科學(xué)技術(shù)高速發(fā)展時代的中學(xué)生理解并掌握.從而強化學(xué)生的信息技術(shù)的應(yīng)用能力，提升學(xué)生的動手能力，進一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

例5.實驗室有兩種試劑：每個單位的試劑甲中含有成分A、B、C 分別為12ml、10ml 和5ml；每個單位的試劑乙中含有成分A、B、C 分別為8ml、7ml 和9ml.在一次化學(xué)實驗中，楊同學(xué)準備利用兩種試劑混合(不存在化學(xué)反應(yīng))得到一種新的試劑，要求新的試劑含有成分A、B、C 分別不少于62ml、40ml 和52ml.已知每個單位的試劑甲為25 元，每個單位的試劑乙為40 元，求該學(xué)生需要多少單位的試劑甲和試劑乙在成本最小的情況下滿足新試劑要求？

解：設(shè)新試劑使用了試劑甲為x個單位和試劑乙為y個單位，總成本為z元，根據(jù)題意，可以建立如下線性規(guī)劃問題：該線性規(guī)劃問題可以利用圖解法進行求解，但要求變量為整數(shù)，此時圖解法求解較為困難 .故利用Lingo編程進行求解，在編譯框中輸入min=25*x+40*y; 12*x+8*y＞=62; 10*x+7*y＞=40; 5*x+9*y＞=52; @gin(x);@gin(y);!要求x,y 為整數(shù)運行得到的結(jié)果為：x5,y3，z245.顯然，上述代碼非常簡單，僅需要使用五行命令即可求解，而且代碼格式與模型格式高度一致，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易理解并熟練掌握.

3 結(jié)語

本文介紹了數(shù)學(xué)軟件在高中數(shù)學(xué)中函數(shù)、兩直線的位置關(guān)系、函數(shù)極限中以及數(shù)學(xué)建模等的應(yīng)用.通過上述內(nèi)容發(fā)現(xiàn)，利用Matlab 強大的可視化功能可以將一些難以理解的抽象的數(shù)學(xué)概念具體化和形象化，有助于學(xué)生更加深刻地理解并掌握數(shù)學(xué)知識；利用Lingo 簡明易懂的編程功能可以打破學(xué)生只能考慮一元函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型的局限，提高學(xué)生解決實際問題的動手操作能力.高中數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)軟件有機結(jié)合，能夠最大限度的調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，從而提高課堂教學(xué)質(zhì)量.