數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的滲透

周洋

【摘要】在數(shù)學(xué)這門學(xué)科中，數(shù)學(xué)思維方法非常關(guān)鍵，需要學(xué)生具備一定程度的理解和領(lǐng)悟，才能夠自主完成知識網(wǎng)絡(luò)的架構(gòu)，才能提高解題能力、應(yīng)用能力，從而發(fā)展學(xué)科綜合素養(yǎng)，樹立正確的科學(xué)探究意識.進(jìn)入初中階段之后，教師需要在解題過程中合理滲透數(shù)學(xué)思想與方法，這樣既可以幫助學(xué)生完成對數(shù)學(xué)思維模式的梳理和架構(gòu)，又可以促進(jìn)其對知識的感悟，實現(xiàn)靈活運(yùn)用，也只有這樣才能夠在解決實際問題的過程中真正經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、歸納以及總結(jié)等一系列思維過程，發(fā)展學(xué)科綜合素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】歸化思想;思維方法;解題分析

1 借助數(shù)形結(jié)合，化抽象為形象

在數(shù)學(xué)思想方法中，包含的內(nèi)容極其廣泛，例如分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等等.進(jìn)入初中階段之后，數(shù)學(xué)知識體系中的難點知識就是函數(shù)問題，這也是中考必然會考核的重點知識，需要教師在具體的教學(xué)過程中實現(xiàn)正確的引導(dǎo)以及有效滲透，特別是數(shù)形結(jié)合思想，充分利用了圖形的形象性，也能夠?qū)⑵渑c數(shù)字的具體性一一對應(yīng)，既能夠幫助學(xué)生化解函數(shù)等問題，又有助于提高學(xué)生的解題效能.

1.1 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，理清數(shù)學(xué)概念

在初中數(shù)學(xué)知識體系中，數(shù)學(xué)概念是重要的構(gòu)成.如果初中生對數(shù)學(xué)概念不理解，那么，他們就不能夠進(jìn)行高效化解題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的策略能夠幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)概念，為高效解題奠定基礎(chǔ).

例如 在二次函數(shù)部分，學(xué)生對二次函數(shù)的系數(shù)a，b，c的理解就很困難，這些符號很抽象，這時我們就可以借助二次函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的思想幫助學(xué)生來認(rèn)識和理解a，b，c等很多二次函數(shù)的性質(zhì)，如a看開口方向和大小，b看對稱軸的位置，c看拋物線y軸的交點的位置，b2-4ac看拋物線與x軸交點的個數(shù)，a+b+c，a-b+c， 4a+2b+c， 4a-2b+c的正負(fù)如何判斷等等.

1.2 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，找準(zhǔn)解題思路

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生找準(zhǔn)解題思路，這樣就能夠達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

例如 圖1直線y=kx+b與y 軸，x軸分別交與點A（0，2）B（4，0），當(dāng)x滿足什么條件時，

（1） kx+b>0，（2） kx+b =0 ，

（3） kx+b<0，（4） 0<kx+b<2 ？

類似于這種求方程的解或求不等式的解集等問題，學(xué)生理解起來難度較大，這時我們可以引導(dǎo)學(xué)生畫出一次函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的思想，指導(dǎo)學(xué)生：

kx+b>0是指x軸上方的直線y=kx+b部分，所以，它的解集是x<4;

kx+b =0是指直線y=kx+b與x軸的交點，即它的解是x=4;

kx+b<0是指x軸下方的直線y=kx+b部分，所以，它的解集是x>4;

0<kx+b<2是指直線y=kx+b在x軸與y=2之間的部分，所以，它的解集是0<x<4.

這樣借助數(shù)形結(jié)合，就能夠改變原本抽象的數(shù)學(xué)問題，使其具體化、簡單化，更利于學(xué)生理解和解決.數(shù)形結(jié)合的引入能夠提高學(xué)生的遷移以及轉(zhuǎn)化能力，需要教師立足于教學(xué)日常有意識的滲透，這樣學(xué)生才能夠在面對實際問題時，靈活的引入數(shù)形結(jié)合，發(fā)現(xiàn)其中的對應(yīng)關(guān)系，完成知識的鞏固，強(qiáng)化學(xué)科綜合素養(yǎng).

2 運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，化復(fù)雜為簡單

進(jìn)入初中階段之后，轉(zhuǎn)換思想也同樣關(guān)鍵，這是數(shù)學(xué)思想中的精髓所在，也是解決問題的有效方法，簡單地說，就是找出相似或者接近的方法用于解決這一問題.實際教學(xué)過程中，可以選擇一些典型問題作為具體的教學(xué)案例，這樣就能夠使抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)題變得更加簡單、直接，也能夠突出考核要點.

對于教師而言，其根本目的就是要引導(dǎo)學(xué)生掌握解析題目的方法以及轉(zhuǎn)化問題的技能，這些都能夠幫助學(xué)生進(jìn)一步提高解題能力.

2.1 以形助數(shù)

由于某些數(shù)量關(guān)系具有非常突出的抽象特質(zhì)，很多初中生并不能夠準(zhǔn)確把握，但是“形”卻具有與之相反的特點，那就是形象、直觀，借助這一優(yōu)勢能夠用于映射具象思維，能夠為學(xué)生解決問題起到重要的定性作用.

結(jié)合解決問題的現(xiàn)實需求，我們在處理一部分包含抽象質(zhì)量關(guān)系的問題時，經(jīng)常將其轉(zhuǎn)化為圖形，以此展開討論，換言之，就是將“數(shù)”結(jié)構(gòu)與“形”結(jié)構(gòu)相互關(guān)聯(lián)，改變原有的抽象特質(zhì)，為學(xué)生呈現(xiàn)直觀形象的圖形，然后再對圖形展開研究，這樣就更易于學(xué)生發(fā)現(xiàn)潛藏于問題中的隱含條件，找到解題線索，簡化求解過程.

例如 解不等式x-1≥-x2+2x+1.

初中生還未接觸過一元二次不等式，在解決此題的過程中可以引入圖像法.

令y1=x-1，y2=-x2+2x+1，由此便可以在相同的坐標(biāo)系中分別位置y1和y2圖像，在有了兩個直觀的函數(shù)圖像之后，只需要滿足一個條件，也就是函數(shù)y1在y2圖像上方所對應(yīng)的范圍，這樣就能順利得出不等式的解集.

所以，為了解決這一不等式，首先需要分別求出兩函數(shù)的交點，然后對圖像展開細(xì)致觀察，再推導(dǎo)出結(jié)論，更加輕松便捷.

2.2 借形理解

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生借形理解題意十分重要，這樣就能夠讓學(xué)生在這個過程中快速地找到解題思路.

例如 主人新購置了一批貨物，小馬和小驢分別馱著這些貨物走在回家的路上，小馬不停地抱怨自己的貨物太重，都不能喘氣，小驢立刻反駁：自己身上的更重，如果小馬分給它一袋貨物，小驢頭的貨物的袋數(shù)將是小馬的兩倍.小馬也立刻回?fù)簦喝绻惴纸o我一袋貨物，那么我們所馱的貨物數(shù)量就相同.請問小馬和小驢各自馱了多少袋貨物？

當(dāng)學(xué)生初看此題時，立刻會被生動形象的情境所吸引，但是一到解題時卻不知所措，因為題目中包含了各種復(fù)雜的條件，繞來繞去，既不能理清題意，又難以算出正確的答案.

此時，我們可以這樣對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)：如何才能對題目進(jìn)行簡化？如何才能去掉和題目無關(guān)的信息？

發(fā)動學(xué)生展開討論，在師生的共同努力下，題目就被變成了這樣：小馬給小驢一袋貨物之后，小驢的貨物是小馬的兩倍;小驢給小馬一袋，它們馱的數(shù)量相同;再繼續(xù)轉(zhuǎn)化，將小馬和小驢用一個字母來表示，就可以將這道題變成以前所學(xué)習(xí)的代數(shù)問題：有兩個數(shù)x、y，根據(jù)第一個條件可以得出x+1=2（y-1），根據(jù)第二個條件可以得出x-1=y+1;最后分別求出x、y即可.看到此時，學(xué)生便能夠理解，可以通過建立二元一次方程組來解決這一問題.

對于一部分?jǐn)?shù)學(xué)問題而言，并不會是以簡單的數(shù)形轉(zhuǎn)變而呈現(xiàn)，而是體現(xiàn)了數(shù)形之間的相互變化，這也就意味著，我們需要展開探討，如何能夠?qū)⑿蔚闹庇^轉(zhuǎn)化為數(shù)的嚴(yán)密，還要反向轉(zhuǎn)換和聯(lián)系.所以，針對此類問題的解決，必須要準(zhǔn)確把握已知和結(jié)論，只有深入分析，才能挖掘潛藏于其中的數(shù)形互變.

例如 求12+14+18+…+12n的值.

對于這一道題，可以讓學(xué)生用一張邊長為1的正方形紙片進(jìn)行折疊，分別標(biāo)出正方形面積的12、14、18、……要求學(xué)生根據(jù)所掌握的知識，利用數(shù)形結(jié)合思想，推導(dǎo)當(dāng)n為正整數(shù)時，12+14+18+…+12n的結(jié)果（用n表示）.

此類習(xí)題對于初中生而言，顯然還是具備一定難度的，需要引入數(shù)形結(jié)合思想.

利用剪刀對正方形紙片進(jìn)行裁剪，第1次剪去整張紙的一半，余下的面積為12;再將余下的圖形剪去一半，由此得到圖形面積的14;第3次仍然是對余下圖形進(jìn)行裁剪，減去一半之后得到的面積就可以標(biāo)識為18.以此類推，然后將每次剪下的圖形面積相加，就可以得出答案.

由此可見，以數(shù)形結(jié)合思想解決問題，就是在這一過程中將數(shù)與形聯(lián)系在一起進(jìn)行考察，分析問題的具體情形，然后利用圖形性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，或者反向轉(zhuǎn)化，不僅可以使原本復(fù)雜的問題進(jìn)行簡單化處理，也改變了其抽象特質(zhì)，是益于學(xué)生把握的有效方案.在數(shù)學(xué)解題過程中引入這一數(shù)學(xué)思想，是簡化問題的有效舉措.

3 借助方程思想，化單一為系統(tǒng)

所謂方程思想，也是一種思維策略，就是利用未知數(shù)建立等式，這也是初中學(xué)習(xí)的重難點所在.

通過對中考題型的梳理可知，一般會從以下方面進(jìn)行考察：給出方程和條件，求解未知數(shù);將其與函數(shù)圖像結(jié)合，在給出一部分條件之后求解未知數(shù)，利用實際問題求取最大、最小值等.在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，運(yùn)用方程思想能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)化思考、解題.

例如 建一羊圈，可以利用一面長度為25m的墻，同時使用100m的圍欄，使羊圈的面積可以達(dá)到400 m2，并確保所圍成的羊圈可以平均分成三個等大的矩形，分別求羊圈的長與寬.

根據(jù)已知題意，可以設(shè)垂直于墻的邊為xm，而羊圈的面積就是（100-4x）x=400，根據(jù)限定條件可知100-4x≤25，這樣就能順利求解x.

對于這個例子而言，是一個現(xiàn)實問題，需要學(xué)生結(jié)合方程思想，也要引入圖形，還要分析已知和未知量之間的關(guān)系，這樣才能完成建模，才能夠?qū)栴}帶入到模型中，以此順利解決問題.

4 結(jié)語

總之，在進(jìn)入初中之后，數(shù)形結(jié)合思想需要貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終.只有實現(xiàn)數(shù)形的深入結(jié)合，才能更好地解決問題，與此同時，在發(fā)展學(xué)生空間觀念以及數(shù)感等方面，也具有極其顯著的啟發(fā)作用.

為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效能，必須要滲透數(shù)學(xué)思想，既是為了幫助學(xué)生強(qiáng)化思維模式，也是為了使學(xué)生可以樹立科學(xué)的思維方法，這樣在面對問題時，才能做出客觀的分析、理性的解決，才真正能夠自覺主動的運(yùn)用、深化對數(shù)學(xué)知識方法的理性認(rèn)知，還能夠在解決問題的過程中梳理總結(jié)解題策略，掌握學(xué)科精髓.

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