劉煒 恒慶海 李慶奎

北京信息科技大學(xué)自動化學(xué)院，北京 100101

0 前言

供應(yīng)鏈系統(tǒng)是由供應(yīng)商、制造商、分銷商和零售商組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，具有原材料采購、材料轉(zhuǎn)化為中間產(chǎn)品和成品以及成品分銷的功能，并通過控制信息流和物流[1]傳遞給客戶。目前，大多數(shù)的動態(tài)供應(yīng)鏈系統(tǒng)采用機理建模[2]的方式，利用物料平衡等原理對供應(yīng)鏈系統(tǒng)進行建模，然后從控制工程的角度設(shè)計控制策略，改善系統(tǒng)的性能，抑制不確定需求對供應(yīng)鏈系統(tǒng)的影響，以達到更加高效的供應(yīng)鏈管理和決策。事實上，復(fù)雜供應(yīng)鏈系統(tǒng)由于節(jié)點多，運行時間尺度不一，以及模態(tài)混雜，機理建模通常不易實現(xiàn)，而利用供應(yīng)鏈運作過程中產(chǎn)生的數(shù)據(jù)進行建模比機理建模更加貼近實際。在無法獲取系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的條件下，子空間辨識方法可以利用輸入輸出數(shù)據(jù)獲得預(yù)測矩陣，這種直接數(shù)據(jù)驅(qū)動方法在學(xué)術(shù)界和工業(yè)界已有使用，WOODLEY B R等人[3]將該子空間辨識方法進行擴展并應(yīng)用到了H∞控制中，其設(shè)計方法更方便擴展到自適應(yīng)控制算法。GHASEMI H等人[4]的研究表明，子空間預(yù)估器可以對系統(tǒng)未來狀態(tài)進行預(yù)測，滿足預(yù)測控制的要求。KADALI R等人[5]提出了利用預(yù)估器設(shè)計預(yù)測控制的算法。另一方面，對于供應(yīng)鏈系統(tǒng)為了降低企業(yè)成本，優(yōu)化生產(chǎn)策略，在應(yīng)對客戶需求的不確定性下出現(xiàn)的庫存積壓以及供應(yīng)鏈中生產(chǎn)環(huán)節(jié)的變更造成的庫存波動，許多學(xué)者[6-7]采用預(yù)測控制策略進行生產(chǎn)庫存的決策。

預(yù)測控制來源于工業(yè)應(yīng)用[8]，在化工、航天等領(lǐng)域均有涉及。由于其對建模精確程度要求不高，并且在控制周期內(nèi)采用滾動優(yōu)化策略，故對于系統(tǒng)模型失配和干擾抑制的性能較好，所以在供應(yīng)鏈系統(tǒng)中也常使用。BOSE S等人[9]研究了預(yù)測控制在供應(yīng)鏈系統(tǒng)中的應(yīng)用，結(jié)果表明，這種滾動優(yōu)化的策略在供應(yīng)鏈系統(tǒng)的優(yōu)化決策中有突出的優(yōu)勢。PEREA-LóPEZ E等人[10]采用模型預(yù)測控制策略，尋找多產(chǎn)品供應(yīng)鏈中利潤最大化的最優(yōu)決策變量，在集中管理和分散管理方式下均取得了較好的效果。

傳統(tǒng)動態(tài)供應(yīng)鏈系統(tǒng)的研究一般是在基于機理建模下討論末端不確定用戶需求對供應(yīng)鏈系統(tǒng)各級節(jié)點的影響[11-12]。然而，由于突發(fā)事件或各種因素的影響造成供應(yīng)鏈系統(tǒng)變更是不可避免的。研究基于變更設(shè)計的供應(yīng)鏈系統(tǒng)分析、控制及預(yù)測問題，具有重要的現(xiàn)實意義，尤其在新冠疫情及貿(mào)易爭端背景下，全球供應(yīng)鏈系統(tǒng)受到重要影響，有些處于中斷或阻塞狀態(tài)，對經(jīng)濟平穩(wěn)運行產(chǎn)生巨大影響。眾多研究者從不同角度開展相關(guān)研究，如：QI X等人[13]研究了靜態(tài)方式下存在需求中斷時供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的條件；HEARNSHAW E J S等人[14]的研究表明，供應(yīng)鏈系統(tǒng)變更首先會影響該節(jié)點中的設(shè)備，其次，由于供應(yīng)鏈的級聯(lián)特性，某一節(jié)點的變更會使得該供應(yīng)鏈中的其他設(shè)備也受到影響；BLACKHURST J V等人[15]指出由于供應(yīng)鏈之間的關(guān)聯(lián)性、全球性，所以在中斷等突發(fā)事件的影響下會破壞人員、貨物、信息的流動而使供應(yīng)鏈的成本增加。為解決上述問題，ZHAO K等人[16]使用拓撲分析等技術(shù)提高了供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的魯棒性；BEHZADI G等人[17]利用魯棒優(yōu)化技術(shù)，得到了期望利潤和風(fēng)險為目標的風(fēng)險規(guī)避解。上述研究大多基于供應(yīng)鏈管理角度研究系統(tǒng)變更造成的不良影響并未考慮各生產(chǎn)節(jié)點的動態(tài)，本文旨在從工程控制論的角度設(shè)計控制器來進行生產(chǎn)決策，利用數(shù)據(jù)驅(qū)動方法可以很方便地將供應(yīng)鏈系統(tǒng)變更問題建模為系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的變化，從而避免由于系統(tǒng)內(nèi)節(jié)點變更導(dǎo)致對供應(yīng)鏈系統(tǒng)的不良影響。

本文借鑒上述文獻的思想，從工程控制論的角度，針對動態(tài)供應(yīng)鏈系統(tǒng)中節(jié)點發(fā)生變更的情況，提出了一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的自適應(yīng)預(yù)測控制方法。首先，為更加符合實際供應(yīng)鏈運行狀況，利用數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法建立供應(yīng)鏈系統(tǒng)的子空間預(yù)估模型，由于運行過程中系統(tǒng)發(fā)生變更，故引入滑動窗口機制對系統(tǒng)進行在線辨識，利用異常數(shù)據(jù)檢查機制更新預(yù)估器矩陣；其次，將子空間預(yù)估器作為預(yù)測模型，利用預(yù)估矩陣參數(shù)設(shè)計自適應(yīng)預(yù)測控制器，通過滾動優(yōu)化和反饋校正機制，進一步求得多級供應(yīng)鏈系統(tǒng)在運作過程中發(fā)生內(nèi)部節(jié)點變更狀況下的庫存控制策略；最后，以三節(jié)點生產(chǎn)—庫存供應(yīng)鏈系統(tǒng)為例，驗證所提出的方法。在仿真部分，驗證了基于數(shù)據(jù)建模的準確性和供應(yīng)鏈系統(tǒng)在自適應(yīng)預(yù)測控制的生產(chǎn)策略下，其在內(nèi)部節(jié)點發(fā)生變更前后庫存水平的波動狀況，仿真結(jié)果表明該方法的魯棒性和有效性。

1 問題描述

如圖1所示的多級供應(yīng)鏈系統(tǒng)，其中，xi表示下游節(jié)點給上游節(jié)點的訂單量；ui表示節(jié)點i的生產(chǎn)量；yi表示每個生產(chǎn)節(jié)點的庫存數(shù)量。假設(shè)，每個節(jié)點的yi和ui均可獲得，且在理想狀態(tài)下不考慮運輸途中的損失，根據(jù)文獻[18]，供應(yīng)鏈系統(tǒng)動態(tài)可以用差分方程來表達，當(dāng)多級供應(yīng)鏈中的某一個節(jié)點或者幾個節(jié)點由于突發(fā)原因產(chǎn)生變更時，必然造成系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的變化，這些變化最終會反映到系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)上。本文采用數(shù)據(jù)驅(qū)動的思想對供應(yīng)鏈系統(tǒng)進行在線建模，利用預(yù)測控制求解生產(chǎn)策略，從而使系統(tǒng)在發(fā)生變更后仍然能夠穩(wěn)定運行。

由于多級供應(yīng)鏈系統(tǒng)末端用戶需求一般視作不確定的，且與生產(chǎn)量之間是相互獨立的，采用POMOSEP法對上述多級供應(yīng)鏈系統(tǒng)進行辨識。基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的供應(yīng)鏈系統(tǒng)可以用下式描述：

其中，(k) ∈Rm——各級理想生產(chǎn)量；

(k)∈Rl——理想狀態(tài)下各級庫存量；

f(·) ——未知函數(shù)；

θ(k) ——時變參數(shù)用來刻畫系統(tǒng)的變更情況，采用有限時域的滑動窗口在線辨識方法，遞推更新模型。在進行閉環(huán)辨識的過程中會有各種干擾，定義輸入輸出信號測量模型：

其中，ω∈Rl、v∈Rm分別為各級庫存量的測量噪聲和生產(chǎn)量的測量噪聲，ω和v是有界的且與過去的控制量u不相關(guān)。子空間預(yù)估器采用如下不確定形式描述：

uf＝節(jié)點未來的生產(chǎn)量；

k——當(dāng)前采樣時刻，每個元素均為列向量；

wp＝過去庫存水平和生產(chǎn)量的輸入輸出矩陣；

Np——預(yù)測時域；

Nc——控制時域。

公式（3）表征了各級生產(chǎn)量與各級庫存量之間的關(guān)系，模型參數(shù)可直接作為控制器的設(shè)計參數(shù)，ΔLw和ΔLu表示模型的不確定性。

2 子空間辨識與預(yù)測控制

2.1 自適應(yīng)子空間辨識與異常數(shù)據(jù)檢查策略

構(gòu)造輸入量U的Hankel矩陣如下：

其中，p、f——“過去”和“未來”；

Up——系統(tǒng)“過去”的輸入；

Uf——系統(tǒng)“未來”的輸入。

其中，L=[L,L]為子空間矩陣，滿足L1∈R(l×N)×((l+m)×N)，

12分別表示狀態(tài)和確定性輸入子空間預(yù)估器矩陣。

公元618年，唐國公李淵長安稱帝，建立了繁榮的大唐帝國，從此中國封建社會進入了最為強盛的時期。一個民族音樂文化的發(fā)展壯大，有的時候需要幾個世紀的文化沉淀，而就在唐朝建立初期，這個漫長的音樂文化沉淀已悄然開始。它融會貫通、博采眾長，造就出了歷史上空前強盛的局面，為中國古代音樂文化做出了積極的貢獻。唐代的音樂機構(gòu)主要分由政府管轄和宮廷管轄兩個不同的體系，其中太常寺是唐代最高的行政機構(gòu)，大樂署、鼓吹署隸屬于太常寺，屬于政府管理的音樂機構(gòu)，監(jiān)管雅樂與俗樂。教坊和梨園則隸屬于宮廷管轄。

對于式（1）的系統(tǒng)，設(shè)計長度為n的滑動窗口方法在線更新用于計算子空間預(yù)估器矩陣的數(shù)據(jù)，并且在每個采樣時刻利用遞推方法更新一次數(shù)據(jù)集，從而實現(xiàn)預(yù)測模型的在線求解。

設(shè)Ξ∈R4N(m+l)×j為k時刻的輸入輸出Hankel矩陣：

其中，Wp(k)、Uf(k)和Yf(k)分別為閉環(huán)系統(tǒng)采集到的過去生產(chǎn)量和庫存水平數(shù)據(jù)矩陣、未來生產(chǎn)量數(shù)據(jù)矩陣和庫存水平數(shù)據(jù)矩陣。將Ξ最左列的[19]數(shù)據(jù)定義為在k+1采樣時刻，將一組新的生產(chǎn)量和庫存水平數(shù)據(jù)定義為，其 中，

在k+1采樣時刻的輸入輸出Hankel矩陣Ψ為：

其中，Wp(k+1)、Uf(k+1)和Yf(k+1)與Wp(k)、Uf(k)和Yf(k)的定義類似。

為了保證滾動窗口大小固定，須將ξ從Ξ中移除，并將ζ添加到Ξ中，因此得到關(guān)系式 [Ξ :ζ]= [ξ: Ψ]，進一步有 [Ξ :ζ][Ξ :ζ]T= [ξ: Ψ][ξ: Ψ]T，對該式分解得到：

則k+1時刻的輸入輸出Hankel矩陣Ψ的QR分解結(jié)果：

同理，對k時刻的Ξ進行上述操作，由上述定義和式（8）可分別求得ζζT和ξξT，進一步可得預(yù)估器矩陣R(k+1)中：

故：

其中，chol(·)為Cholesky分解。要得到子空間預(yù)估器矩陣，需先求R21(k+1)、R22(k+1)和R32(k+1)。

同理，利用式（8）與Cholesky分解可分別求得R31(k+1)、R22(k+1)和R32(k+1)。

其中， ? 表示偽逆矩陣，通過奇異值分解得到，式（3）表示的子空間預(yù)估器模型中，Lw=L1，Lu為L2的前l(fā)×Nu列元素。

2.2 異常數(shù)據(jù)檢查策略

由于動態(tài)供應(yīng)鏈系統(tǒng)的運作過程存在用戶的不確定性需求，各級庫存量的測量過程難免存在噪聲影響，這些因素會降低滑動窗口自適應(yīng)策略的辨識精度。采用一次預(yù)測誤差的數(shù)據(jù)檢查策略來消除異常數(shù)據(jù)對在線辨識過程的影響[19-20]。

計算數(shù)據(jù)更新前的預(yù)測誤差：

yk+1——k+1時刻的實測值。

在下一采樣時刻，重復(fù)上面的異常數(shù)據(jù)檢查策略。

通過滑動窗口自適應(yīng)機制與異常數(shù)據(jù)檢查策略有ΔLw→0，ΔLu→0，故式（3）可以轉(zhuǎn)化為：

2.3 控制器設(shè)計與自適應(yīng)預(yù)測算法

在預(yù)測控制設(shè)計中，定義性能指標函數(shù)為：

rf——參考庫存水平；

uf——控制量；

Q≥0，R＞0。

將上述滑動窗口自適應(yīng)辨識策略與預(yù)測控制相結(jié)合，則自適應(yīng)預(yù)測控制問題可以描述為求解如下的優(yōu)化問題，即：

將式（17）帶入式（18）可得：

系統(tǒng)在每個采樣時刻重新計算式（19）的優(yōu)化問題，得到最優(yōu)控制序列uf，取最優(yōu)控制序列的第一項作為當(dāng)前的控制率施加到控制系統(tǒng)中。

自適應(yīng)預(yù)測控制算法步驟：

（1）采集多級供應(yīng)鏈系統(tǒng)中各級生產(chǎn)量與庫存量，構(gòu)造閉環(huán)供應(yīng)鏈系統(tǒng)的Hankel矩陣；

（2）在采樣時刻k，利用QR分解計算初始Lw和Lu；

（4）利用式（20）計算最優(yōu)預(yù)測控制序列uk，并施加到系統(tǒng)中；

（5）在采樣時刻k+1，采集到新的系統(tǒng)數(shù)據(jù)時，執(zhí)行2.2節(jié)中的異常數(shù)據(jù)檢查策略，當(dāng)新數(shù)據(jù)異常時，保持uk，否則，進行如下步驟：

（6）構(gòu)造新的生產(chǎn)量與庫存水平的Hankel矩陣Ψ，通過式（11）～（13）計算R矩陣；

（7）進行異常數(shù)據(jù)檢查，決定是否更新R矩陣，通過步驟（3）和步驟（4）計算預(yù)測輸出和最優(yōu)預(yù)測控制序列uk，然后返回步驟（5）進行異常數(shù)據(jù)判斷。

3 仿真分析

以三節(jié)點生產(chǎn)—庫存供應(yīng)鏈系統(tǒng)[9]為例，驗證上述算法的有效性，其中，yi(s)為供應(yīng)鏈系統(tǒng)的3個生產(chǎn)環(huán)節(jié)的庫存水平；ui(s)為供應(yīng)鏈系統(tǒng)的3個生產(chǎn)環(huán)節(jié)的出貨量，其中，θi為生產(chǎn)運輸延遲，αi為損耗系數(shù)。

假設(shè)三節(jié)點生產(chǎn)—庫存供應(yīng)鏈系統(tǒng)在t=450時，由于突發(fā)事件造成生產(chǎn)環(huán)節(jié)的第二環(huán)節(jié)發(fā)生變更，其延遲系數(shù)變?yōu)棣?′=3。采用自適應(yīng)預(yù)測控制策略進行生產(chǎn)決策，設(shè)置控制時域Nc=40，預(yù)測時域Np=60，不確定用戶需求滿足正態(tài)分布（μ,σ），其中，μ=0，σ=0.01，庫存水平設(shè)定值為一號倉庫20，二號倉庫30，三號倉庫30。仿真結(jié)果表明，在上述用戶需求下，采用自適應(yīng)預(yù)測控制策略可以使得庫存水平維持在設(shè)定值范圍內(nèi)。在t=450時，二號節(jié)點倉庫發(fā)生變更，可以看出，庫存水平雖然波動，但仍在允許范圍，仿真結(jié)果如圖5所示。

5 結(jié)束語

本文對多級供應(yīng)鏈系統(tǒng)在正常生產(chǎn)運作過程中某生產(chǎn)環(huán)節(jié)發(fā)生變更的情況下，從控制理論的角度提出了基于數(shù)據(jù)驅(qū)動自適應(yīng)預(yù)測控制的生產(chǎn)-庫存控制策略。為了更符合實際供應(yīng)鏈系統(tǒng)的運行狀況，文中采用數(shù)據(jù)驅(qū)動的方式對系統(tǒng)進行在線辨識，將生產(chǎn)環(huán)節(jié)的變更問題建模為系統(tǒng)內(nèi)部的可變參數(shù)。為增加控制器的魯棒性，利用滑動窗口子空間線辨識方法，結(jié)合異常數(shù)據(jù)檢測機制更新預(yù)估器矩陣建立系統(tǒng)的預(yù)測模型，將子空間預(yù)估器參數(shù)與預(yù)測控制相結(jié)合，利用滾動優(yōu)化與反饋校正機制，設(shè)計了自適應(yīng)預(yù)測控制器在線求解最優(yōu)控制率，最后在仿真部分利用一個三節(jié)點生產(chǎn)—庫存供應(yīng)鏈系統(tǒng)驗證了所提方法能夠在發(fā)生系統(tǒng)變更的情況下，將庫存水平維持在給定值允許的誤差范圍內(nèi)，表明該方法的魯棒性和有效性。