馬亮亮

（中國石油大慶油田有限責(zé)任公司開發(fā)事業(yè)部，黑龍江 大慶 163002）

0 引 言

近年來，以致密油等為代表的非常規(guī)資源已成為國內(nèi)外油氣上產(chǎn)的主力。該類油藏孔喉結(jié)構(gòu)復(fù)雜、儲層物性差、流動阻力大，壓裂水平井作為提高油井產(chǎn)量和單井控制儲量的有效方式之一，在其開發(fā)中得到廣泛應(yīng)用［1-7］。由于致密油儲層非均質(zhì)性、復(fù)雜地應(yīng)力、天然裂縫、人工裂縫等影響，壓裂水平的產(chǎn)能預(yù)測變得十分復(fù)雜，國內(nèi)外許多學(xué)者進(jìn)行了研究［8-14］。另外，B.Y.Guo 等［15］利用杜哈美原理推導(dǎo)出了垂直縫導(dǎo)流能力有限時的裂縫與油藏流體耦合方程，同時使用拉普拉斯變換和邊界元方法求解方程；魏漪等［16］依據(jù)疊加原理和橢圓滲流理論，推導(dǎo)出水平井在壓裂后垂直裂縫相互干擾情況下的非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能計算方程。已有模型在滲流特征、裂縫參數(shù)及縫間干擾方面考慮比較全面，但很少考慮長水平井條件下致密儲層的非均質(zhì)性問題，對于長水平段水平井產(chǎn)能預(yù)測有一定的局限性。

本文在建立模型時考慮水平井穿過區(qū)域儲層物性的非均質(zhì)性，同時考慮了天然裂縫與人工裂縫之間的耦合問題，基于矩形區(qū)域拉普拉斯空間Green函數(shù)基本解，離散人工裂縫和儲層不同滲透率分區(qū)邊界，建立了非均質(zhì)致密油藏水平井單井模型，對非均質(zhì)致密油藏長水平井的開發(fā)具有指導(dǎo)意義。

1 壓裂水平井滲透率分區(qū)數(shù)學(xué)模型

1.1 模型假設(shè)

模型將沿水平井井筒方向的儲層分為多段不同滲透率的非均質(zhì)儲層，儲層外邊界封閉，相鄰滲透率分區(qū)在分區(qū)界面處壓力和流量連續(xù)。為了便于描述非均質(zhì)儲層內(nèi)的流體流動規(guī)律，提出5 點假設(shè)：（1）儲層分區(qū)單元內(nèi)為均質(zhì)、各向同性儲層；（2）裂縫在縱向上壓穿整個儲層；（3）流體流動為二維單相微可壓縮非穩(wěn)態(tài)滲流；（4）忽略重力的作用；（5）裂縫的導(dǎo)流能力不隨時間改變。

1.2 流體在油層中的滲流模型

對于單相流體在四周封閉的水平、各向同性儲層中流動，將滲流方程［17］進(jìn)行拉普拉斯變換，其表達(dá)式為

其中：

式中：βc——單位換算系數(shù)，取0.086 4；pd——地層中某點壓降，MPa；pˉd——pd在拉氏空間的值，MPa；s——拉普拉斯變量；n——油層數(shù)；ηn——各滲透率分區(qū)導(dǎo)壓系數(shù)，10?6m2/s；pi——地層原始壓力，MPa；p——地層任意點壓力，MPa；Kn——各分區(qū)滲透率，10?3μm2；φmn——各分區(qū)基質(zhì)孔隙度；μ——各區(qū)原油黏度，mPa ?s；Ctn——流體巖石總壓縮系數(shù)，MPa?1；NK——滲透率分區(qū)數(shù)；n——不同分區(qū)，n= 1，2，…，NK。

式（1）加上初始條件pˉd= 0 與內(nèi)外邊界條件，構(gòu)成了油藏內(nèi)部完整的滲流數(shù)學(xué)模型，將裂縫網(wǎng)格和邊界網(wǎng)格處理為四周封閉條件下拉普拉斯空間的點源函數(shù)積分解，各滲透率分區(qū)中任意一點格林函數(shù)基本解［18］為

將裂縫和分區(qū)邊界進(jìn)行網(wǎng)格離散，建立基質(zhì)滲流邊界積分方程公式為

因為四周邊界封閉為

由式（6）寫成的離散形式為

分區(qū)分界面處壓力相等，流量相反，即

所以，分界面處離散邊界元的公式為

1.3 裂縫內(nèi)流動模型

人工壓裂裂縫具有孔隙度小、導(dǎo)流能力強的特點，流體在裂縫中的流動可簡化為穩(wěn)定線性流動［19］，裂縫內(nèi)部拉氏穩(wěn)定滲流方程為

式中：pf——裂縫內(nèi)壓力，MPa；pˉf——pf在拉氏空間 的 值，MPa；Kf——裂 縫 滲 透 率，10?3μm2；bf——裂縫寬度，m；qm——基質(zhì)向裂縫中的竄流量，m3/d；qˉm——qm在拉氏空間的值，m3/d。

此時外邊界條件為裂縫趾端封閉不流動，內(nèi)邊界為定井底流壓。將單條裂縫離散為2×m個等間距的網(wǎng)格，根據(jù)對稱性，裂縫左翼任意相鄰網(wǎng)格中心的壓力差表達(dá)式為

其中

式中：Qi——裂縫內(nèi)流入裂縫單元i的流量，m3/d；Qi——Qˉi在拉氏空間的值，m3/d；qi——裂縫i單元內(nèi)的流量，m3/d；qi+1——裂縫i+1 單元內(nèi)的流量，m3/d；lw——井筒網(wǎng)格長度，m。

井筒所在網(wǎng)格與井底流壓的關(guān)系表達(dá)式為

1.4 模型耦合及求解

對于基質(zhì)向裂縫的滲流，以及不同滲透率分區(qū)之間的流體交換可以聯(lián)立式（7）和式（10）得到矩陣的形式，即

對于裂縫內(nèi)的流動，基于式（11）和式（12）建立裂縫單元的流動方程，因為人工裂縫縫面處的油藏壓力和人工裂縫壓力相等，所以單條裂縫左翼單元的壓力與井底流壓的關(guān)系為

其矩陣形式為

根據(jù)對稱性，單條裂縫右翼單元表達(dá)式和矩陣形式與式（17）相同。令

根據(jù)對稱性，單條裂縫右翼單元矩陣元素為

全區(qū)裂縫總的流動附加矩陣為

裂縫流動的表達(dá)式為

根據(jù)式（14）建立的裂縫單元流動方程為

由式（14）、式（20）、式（21）建立了不同滲透率分區(qū)內(nèi)基質(zhì)向裂縫流動以及裂縫內(nèi)流動的耦合數(shù)學(xué)模型

求解矩陣，得到拉氏空間下裂縫內(nèi)總流量，最后，通過拉普拉斯數(shù)值反演求得致密油藏壓裂水平井考慮沿程非均質(zhì)性條件下的產(chǎn)量。

2 模型應(yīng)用

2.1 流動階段及流動形態(tài)

油井開井生產(chǎn)后，儲層向裂縫流動，壓力逐漸向外傳播。圖1 為應(yīng)用模型計算得到不同流動階段儲層壓力的分布情況及對應(yīng)的流場。

早期裂縫線性流階段（圖1（a））：壓裂水平井剛開井生產(chǎn)時，裂縫附近流體流向裂縫，以垂直于裂縫平面的線性流動為主，儲層動用面積小。中期擬徑向流階段（圖1（b））：隨著時間的增加，壓力向外傳播，裂縫附近形成低壓區(qū)，遠(yuǎn)處流體擬徑向流入裂縫低壓區(qū)。后期擬穩(wěn)定流動階段（圖1（c））：當(dāng)壓力波傳播到儲層邊界后，整個儲層為擬穩(wěn)定流動。圖1（d）為不同生產(chǎn)時間流體在地層中流動階段的劃分。

圖1 不同流動階段的儲層壓力場及流線分布Fig.1 Reservoir pressure field and streamline distribution in different flow stages

2.2 滲透率級差對產(chǎn)量的影響

為研究壓裂水平井沿程非均質(zhì)性對油井產(chǎn)量的影響，分別對相同平均滲透率，不同滲透率級差情況下（ε=5，10，20，40）油井產(chǎn)量的差異進(jìn)行研究。模型參數(shù)如表1 所示。圖2 為不同滲透率級差下油井的生產(chǎn)曲線。由圖2 可以看出，滲透率級差主要對油井生產(chǎn)的早期有較大影響，油井產(chǎn)量隨滲透率級差的增加而減小，隨生產(chǎn)的進(jìn)行，由于模型邊界為封閉邊界，儲層平均壓力下降較快，滲透率級差對產(chǎn)量的影響不再明顯。通過以上分析，壓裂水平井的沿程非均質(zhì)性對油井生產(chǎn)有一定影響，在實際生產(chǎn)過程中，非均質(zhì)作用不可忽略。

圖2 不同滲透率級差下油井產(chǎn)量對比Fig.2 Comparison of oil well production with different permeability contrast

表1 不同滲透率級差模型參數(shù)Table 1 Parameters of different permeability contrast models

2.3 應(yīng)用實例

以大慶長垣外圍某致密油田為例進(jìn)行現(xiàn)場試驗。致密油層平均孔隙度為12.2%，基質(zhì)平均滲透率為0.52×10?3μm2，喉道半徑主要為0.1~1.0 μm，平均為0.4 μm，為低孔細(xì)喉致密儲層。井區(qū)天然裂縫發(fā)育，密度為5 條/m，天然裂縫與井筒夾角約35°， 油 層 厚 度 為3.3 m， 原 始 地 層 壓 力 為18.5 MPa，井底流壓為8.5 MPa，原油密度為0.83 g/cm3，原油體積系數(shù)為1.052，原油黏度為1.43 mPa·s，有效水平井長度為1 500 m，人工壓裂裂縫為16 段，每段2—3 簇，平均裂縫半長200 m，裂縫與井筒角度平均為57°（圖3）。

圖3 壓裂水平井微地震監(jiān)測Fig.3 Micro-seismic monitoring of hydraulic fractured horizontal well

根據(jù)所建立的非均質(zhì)致密油藏壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測模型，計算不同時間的油井日產(chǎn)油量，并與實測生產(chǎn)曲線進(jìn)行對比（圖4），模型計算結(jié)果與實際生產(chǎn)日產(chǎn)油量最大誤差為6.7%，計算結(jié)果與實際值基本吻合。該模型可用于非均質(zhì)致密油藏水平井的產(chǎn)量預(yù)測。

圖4 模型結(jié)果與實際生產(chǎn)曲線對比Fig.4 Comparison between simulation and actual production

3 結(jié) 論

（1）基于拉氏空間下Green 函數(shù)的基本解，通過將裂縫及滲透率分區(qū)邊界進(jìn)行離散，推導(dǎo)得到非均質(zhì)地層壓裂水平井滲流邊界元方程，并通過Stehfest 數(shù)值反演，得到了壓裂水平井定井底流壓條件下的產(chǎn)能，可很好地指導(dǎo)非均質(zhì)致密油藏長水平井開發(fā)。

（2）邊界元基本解采用了通過疊加原理推導(dǎo)得到矩形封閉邊界條件下的格林函數(shù)，其優(yōu)點為在分區(qū)邊界上導(dǎo)數(shù)為零，減小了邊界耦合的變量個數(shù)，提高了計算效率。

（3）通過求解模型得到產(chǎn)量曲線，根據(jù)產(chǎn)量雙對數(shù)曲線特征將儲層流體流動劃分為3 個階段：早期裂縫線性流階段、中期擬徑向流階段、后期擬穩(wěn)定流階段。

（4）對于非均質(zhì)儲層，非均質(zhì)性對水平井產(chǎn)量的影響不可忽略。相同平均滲透率，滲透率級差越大，產(chǎn)量越小，但隨著生產(chǎn)進(jìn)行，滲透率級差對產(chǎn)量的影響逐漸減小。