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      一種基于優(yōu)化的毫米波信道估計(jì)算法研究

      2022-08-11 12:54:28謝廣成程瑛穎
      光通信研究 2022年3期
      關(guān)鍵詞:波達(dá)接收端復(fù)雜度

      謝廣成,蘇 宇,曾 妍,程瑛穎

      (國家電網(wǎng)重慶市電力公司,重慶 401121)

      0 引 言

      毫米波頻段尚存大量未用頻譜,是下一代移動(dòng)通信的主要選擇[1]。毫米波具有極高的頻率選擇性衰落,不適合室外遠(yuǎn)距離無線通信。毫米波和大規(guī)模多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)可以相輔相成,共同發(fā)揮起各自的優(yōu)勢[2]。然而,毫米波大規(guī)模MIMO天線系統(tǒng)射頻鏈路更多,所以功耗更大,其中模數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog-to-Digital Converter,ADC)的功耗在整個(gè)射頻鏈路中占主導(dǎo)地位[3]。

      文獻(xiàn)[4]假設(shè)接收端已知信道狀態(tài)信息(Channel State Information,CSI),全面分析了接收端使用低分辨率ADC時(shí)毫米波MIMO系統(tǒng)的信道容量、頻譜效率和功耗等;文獻(xiàn)[5]利用毫米波信道在角度域和延遲域的聯(lián)合稀疏性,將信道估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為含噪量化稀疏信號重構(gòu)問題,結(jié)合最大化期望算法(Expectation Maximization, EM)和近似消息傳遞算法(Approximately Message Passing, AMP),提出了EM-AMP算法求解該重構(gòu)問題。

      本文將信道估計(jì)問題分為兩個(gè)階段,提出了一種基于優(yōu)化的估計(jì)算法。第1階段利用低精度ADC量化后接收信號的幅度信息作為約束條件,構(gòu)造優(yōu)化問題,估計(jì)波達(dá)方向,并提出歸一化梯度下降法(Normalized Gradient Descent, NGD)求解該優(yōu)化問題;第2階段根據(jù)第1階段估計(jì)的波達(dá)方向,使用Bussgang分解(Bussgang Decomposition,BD)模型近似非線性量化過程,得到信道復(fù)增益的最小二乘估計(jì)。本文所提算法稱為NGD-BD算法。

      1 系統(tǒng)模型

      本文考慮低分辨率ADC下窄帶毫米波MIMO系統(tǒng)上行鏈路,K個(gè)單天線用戶位于同一小區(qū),Nr為基站天線數(shù)量。如圖1所示,基站側(cè)每個(gè)射頻鏈路配備兩個(gè)低分辨率ADC分別用于量化接收信號的同相分量和正交分量。

      圖1 低分辨率ADC下MIMO系統(tǒng)模型

      毫米波信道采用角度域Saleh-Valenzuela信道模型[6]:

      式中:H∈Nr×K為毫米波信道矩陣;Npath為毫米波信道路徑數(shù);αn為第n條路徑的復(fù)信道增益;φn和θn分別為第n條路徑的到達(dá)角和離開角,在區(qū)間[-π/2,π/2]上均勻分布;ar∈Nr和at∈K分別為接收端和發(fā)送端的陣列響應(yīng)矢量。定義:

      式中:diag{·}為對角運(yùn)算;Λ∈Npath×Npath為對角矩陣;AR∈Nr×Npath和AT∈K×Npath分別為接收陣列響應(yīng)矩陣和發(fā)送陣列響應(yīng)矩陣。

      將接收陣列響應(yīng)矩陣和發(fā)送陣列響應(yīng)矩陣字典化,可得到毫米波信道的等效模型[7~8]:

      式中:UR∈Nr×Nr和UT∈K×K分別為接收端字典矩陣和發(fā)送端字典矩陣;HS∈Nr×K為等效信道矩陣。

      等效信道矩陣HS中較大元素的位置對應(yīng)波達(dá)方向,其值表示毫米波信道復(fù)增益。信道矩陣的稀疏網(wǎng)格化表示將信道估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為波達(dá)方向和信道復(fù)增益的參數(shù)估計(jì)問題,即估計(jì)等效信道矩陣較大元素的位置和值。

      2 毫米波信道估計(jì)

      2.1 問題的數(shù)學(xué)描述

      在訓(xùn)練階段,令X∈K×P為訓(xùn)練矩陣,式中,P為導(dǎo)頻長度[9]。訓(xùn)練矩陣取X=UTZ,式中,Z為等效訓(xùn)練矩陣,故有:

      式中:R為量化后接收矩陣;Y為量化前接收矩陣;N為噪聲矩陣;Q(·)為量化運(yùn)算;vec(·)為列向量化。經(jīng)過下列對應(yīng):

      式(2)可表示為

      式中:r∈2NrP×1為量化后接收信號;y∈2NrP×1為量化前接收信號;Φ∈2NrP×2NrK為感知矩陣;h∈2NrK×1為信道向量;n∈2NrP×1為噪聲向量。

      信道估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為稀疏信號重構(gòu)問題:已知量化后接收信號r和等效訓(xùn)練矩陣Z,估計(jì)信道向量h。

      2.2 波達(dá)方向估計(jì)

      均勻量化的實(shí)現(xiàn)過程可概括為,接收信號經(jīng)過采樣保持電路后,通過電壓比較器與若干基準(zhǔn)電壓比較,得到量化后接收信號,文獻(xiàn)[7]給出了ADC的量化比特?cái)?shù)與基準(zhǔn)電壓的關(guān)系。根據(jù)式(3)給出的問題描述,r的值反映了y的取值范圍:

      式中:l和u分別為Φh的下界和上界。重構(gòu)稀疏信道向量h可理解為在滿足幅度約束條件的所有可行解中尋找最稀疏解。文獻(xiàn)[8]證明l1范數(shù)可近似為l0范數(shù)衡量向量稀疏性,將重構(gòu)問題建模為如下優(yōu)化問題:

      若下界為零向量,上述優(yōu)化問題的最優(yōu)解恒為零向量。為了得到上述優(yōu)化問題的非平凡解,對信道向量的模加以限制:

      l1和l2范數(shù)在n空間均為凸函數(shù),因此優(yōu)化問題式(4)為凸優(yōu)化問題。人為引入模約束條件縮小了優(yōu)化問題的可行解集,不等式約束可看作超平面分割出的半空間,可行解集由半空間之間的并集縮小為單位球內(nèi)半空間的并集。同時(shí),模約束條件會(huì)影響估計(jì)信道增益的準(zhǔn)確性,但由于該階段只需要確定波達(dá)方向,即信道向量支撐集,模約束條件引入的信道增益誤差不影響支撐集的判斷。

      為了消除不等式約束對可行解集的影響,利用拉格朗日函數(shù),式(4)可松弛為

      式中:λ為松弛因子;(·)i為括號內(nèi)向量的第i個(gè)元素;f(t)=t2μ(-t)/2為單邊二次罰函數(shù),μ(t)為階躍函數(shù)。文獻(xiàn)[10]證明當(dāng)λ趨于正無窮時(shí),式(4)與其松弛優(yōu)化問題式(5)有相同的最優(yōu)解。

      單邊二次罰函數(shù)是光滑凸函數(shù),為了滿足約束條件,提出NGD算法求解約束問題式(5)。本文所提算法考慮了單邊二次罰函數(shù)對目標(biāo)函數(shù)的影響,更新梯度計(jì)算過程,將目標(biāo)函數(shù)的梯度投影到單位球上,同時(shí)在算法每次迭代后歸一化當(dāng)前最優(yōu)解,使其滿足單位模約束條件。

      定義式(5)的目標(biāo)函數(shù)為代價(jià)函數(shù)J(h):

      代價(jià)函數(shù)的最速下降方向?yàn)樨?fù)梯度方向。單邊二次罰函數(shù)與范數(shù)均為凸函數(shù)且λ>0,凸函數(shù)的非負(fù)加權(quán)求和為凸函數(shù),所以代價(jià)函數(shù)為凸函數(shù)。若不考慮單位模約束,代價(jià)函數(shù)取最小值時(shí)梯度為零向量:

      式中:δ/λ為梯度下降步長;sign(·)為符號函數(shù)。收縮函數(shù)本質(zhì)上表示每次迭代過程代價(jià)函數(shù)在l1范數(shù)分量的變化值。

      圖2 收縮曲線函數(shù)

      收縮函數(shù)雖然解決了hi=0時(shí)該維度導(dǎo)數(shù)不存在的問題,卻帶來了新的問題:若hi∈(-δ/λ,δ/λ)且hi≠0,此時(shí)該維度上l1范數(shù)分量仍有優(yōu)化空間,但每次迭代變化值恒為0。引入收縮函數(shù)帶來的問題并不影響最終結(jié)果,其原因是:第1,在理想情況下,優(yōu)化問題所得最優(yōu)解h*應(yīng)嚴(yán)格稀疏,但由于測量值受噪聲影響,通常最優(yōu)解為近似稀疏向量,不管是否引入收縮函數(shù),所得最優(yōu)解均為近似稀疏;第2,為了保證式(4)與式(5)有相同的最優(yōu)解,λ取較大實(shí)數(shù),故區(qū)間長度2δ/λ較小,導(dǎo)致算法迭代終止時(shí)hi的值為接近0的較小常數(shù),該值不影響支撐集的判斷。第1階段只需估計(jì)波達(dá)方向,最優(yōu)解支撐集外元素值的小幅波動(dòng)不影響支撐集的判斷。

      歸一化梯度下降法每次迭代時(shí),首先計(jì)算單邊二次罰函數(shù)的梯度,為了滿足約束條件,需將該梯度投影到單位球上,然后依次在罰函數(shù)與l1范數(shù)方向上更新優(yōu)化變量。

      步驟 4:l1范數(shù)分量上梯度下降(v)i=S((p)i);

      為了確保式(4)與式(5)有相同的最優(yōu)解,算法執(zhí)行時(shí)應(yīng)選擇較大的松弛因子λ。λ的值先驗(yàn)未知,可預(yù)先通過測試確定。首先取λ為一較小常數(shù)得到最優(yōu)解,再增大λ重新測試,若相鄰測試結(jié)果的歸一化均方誤差(Normalized Mean Squared Error, NMSE)小于某一門限值,則終止測試,返回最優(yōu)解。

      2.3 毫米波信道增益估計(jì)

      由于低分辨率ADC的非線性特性,可應(yīng)用BD對非線性量化過程進(jìn)行建模,服從高斯分布的輸入信號經(jīng)過非線性量化器后,輸出信號可表示為信號分量與不相關(guān)量化噪聲分量之和,由式(3)可得:

      式中:nq為量化噪聲;ηb為量化輸出與輸入之間的NMSE,定義為ηbE{|Q(y)-y|2}/E{|y|2},其值由ADC量化比特?cái)?shù)b決定,如表1所示。

      表1 NMSE

      信道估計(jì)第1階段估計(jì)出信道向量的支撐集SUPP,記感知矩陣Φ對應(yīng)支撐集索引的子矩陣為ΦSUPP,則信道向量支撐集內(nèi)元素的最小二乘估計(jì):

      2.4 計(jì)算復(fù)雜度分析

      本節(jié)分析所提信道估計(jì)算法的計(jì)算復(fù)雜度。式(3)中感知矩陣Φ∈2NrP×2NrK,代價(jià)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算復(fù)雜度為矩陣與向量相乘的計(jì)算復(fù)雜度O(NrP)[5],第2階段需計(jì)算ΦSUPP的偽逆矩陣,由于毫米波信道的稀疏性,ΦSUPP具有較少的列,因此其偽逆矩陣的計(jì)算復(fù)雜度可近似為O(1)[5]。綜上所述,所提信道估計(jì)算法計(jì)算復(fù)雜度為O(NrP)。表2所示為期望最大-向量近似消息傳遞(Expectation Maximization-Vector Approximate Message Passing,EM-VAMP)[5]和線性最小均方誤差(Linear Minimum Mean Square Error,LMMSE)算法[4]的計(jì)算復(fù)雜度,本文所提算法的計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)LMMSE算法與目前最先進(jìn)的EM-VAMP算法。

      表2 計(jì)算復(fù)雜度

      3 仿真分析

      假設(shè)接收端理想同步,對兩種信道環(huán)境進(jìn)行 1 000次蒙特卡洛仿真。表3所示為仿真配置參數(shù)。

      表3 仿真配置參數(shù)

      圖3所示為LoS場景下波達(dá)方向估計(jì)成功率,ADC精度分別為1、2、3和4 bit時(shí),波達(dá)方向估計(jì)成功率依次在-2、-3、-3和-4 dB,達(dá)到百分之百。

      圖3 LoS信道下波達(dá)方向估計(jì)成功率

      圖4 LoS信道下NMSE

      NLoS場景下,波達(dá)方向估計(jì)成功率,ADC精度分別為1、2、3和4 bit時(shí),波達(dá)方向估計(jì)成功率依次在8、2、-2和-2 dB,達(dá)到百分之百。

      圖5 NLoS信道下波達(dá)方向估計(jì)成功率

      圖6所示為NLoS場景下本文所提NGD-BD與EM-VAMP算法在不同ADC精度下的NMSE曲線。接收端使用2 bit ADC精度時(shí),LoS信道下隨機(jī)共振現(xiàn)象不明顯,但NLoS信道下該現(xiàn)象較明顯。接收端使用1 bit ADC精度時(shí),NGD-BD與EM-VAMP算法性能相近;接收端使用2 bit ADC精度時(shí),NGD-BD算法在SNR> 5 dB時(shí)性能提升了1倍;接收端使用3和4 bit ADC精度時(shí),所提算法性能提升了約6 dB。

      圖6 NLoS信道下NMSE

      分析兩種場景下的仿真結(jié)果可得出如下結(jié)論:第1,路徑數(shù)增多或量化精度變低都會(huì)導(dǎo)致波達(dá)方向估計(jì)性能下降;第2,接收端使用1或2 bit ADC精度時(shí),信道路徑數(shù)對波達(dá)方向估計(jì)成功率的影響較大,接收端使用3或4 bit ADC精度時(shí),信道路徑數(shù)對波達(dá)方向估計(jì)成功率的影響相對較??;第3,隨機(jī)共振現(xiàn)象由低精度ADC引起,且與路徑數(shù)有關(guān),LoS信道下,接收端使用2 bit ADC精度時(shí)隨機(jī)共振現(xiàn)象不明顯,但在兩徑NLoS信道下,接收端使用2 bit ADC精度時(shí)隨機(jī)共振現(xiàn)象較明顯。

      4 結(jié)束語

      本文將毫米波信道估計(jì)問題分為兩個(gè)階段,第1階段將波達(dá)方向估計(jì)問題建模為凸優(yōu)化問題,并提出NGD算法求解;第2階段根據(jù)估計(jì)的波達(dá)方向與量化后的接收信號,得到毫米波信道復(fù)增益的最小二乘估計(jì)。然而,本文所做工作主要集中在低計(jì)算復(fù)雜度與低導(dǎo)頻序列場景下波達(dá)方向估計(jì),如何降低低精度ADC對信道向量復(fù)增益的影響,將是我們未來研究工作的重點(diǎn)。

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