耦合Frenkel-Kontorova 雙鏈的格波解及其色散關(guān)系*

蘇瑞霞 黃霞 鄭志剛

1) (中國礦業(yè)大學(xué)(北京) 理學(xué)院物理系,北京 100083)

2) (華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院,北京 102206)

3) (華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,廈門 361021)

求解了兩條相同的耦合Frenkel-Kontorova (FK) 鏈在低溫、有限溫和高溫情況下的格波解及色散關(guān)系,進(jìn)而研究了耦合FK 雙鏈的晶格振動(dòng)特點(diǎn).結(jié)果表明,耦合FK 雙鏈的色散關(guān)系包含一個(gè)聲學(xué)支和一個(gè)光學(xué)支,兩者的頻譜范圍和頻率禁帶與FK 鏈的恢復(fù)力系數(shù)、鏈間耦合強(qiáng)度系數(shù)均有關(guān)聯(lián),低溫和有限溫的情況還與外勢深度有關(guān)系.并且研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)鏈間耦合強(qiáng)度較小時(shí),不存在頻率禁帶;當(dāng)鏈間耦合強(qiáng)度逐漸增加到某一臨界值后,頻率禁帶出現(xiàn),且隨著鏈間耦合強(qiáng)度增加,頻隙不斷變大,這是因?yàn)楣鈱W(xué)支隨著鏈間耦合強(qiáng)度增加不斷向高頻方向移動(dòng).此外,還發(fā)現(xiàn)帶隙結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的臨界鏈間耦合強(qiáng)度始終為FK 鏈恢復(fù)力系數(shù)的2 倍,并不受溫度的影響.本文還研究了給定鏈間耦合強(qiáng)度下溫度對耦合FK 雙鏈色散關(guān)系的影響規(guī)律.本研究內(nèi)容可為分析鏈間界面耦合和溫度對晶格的振動(dòng)特點(diǎn)和物理性質(zhì)的影響提供理論依據(jù),從而對于能量輸運(yùn)、熱調(diào)控等實(shí)際應(yīng)用發(fā)揮重要的指導(dǎo)作用.

1 引言

目前中國芯片雖已步入世界領(lǐng)先,但仍存在芯片散熱等卡脖子問題[1?4].而解決這些問題的關(guān)鍵步驟一定會(huì)涉及到固體中的熱傳導(dǎo)問題和高性能導(dǎo)熱材料.對于固體中的熱傳導(dǎo)可以分為電子導(dǎo)熱和晶格導(dǎo)熱.對于非金屬和一般半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)中的熱傳導(dǎo)主要是晶格的導(dǎo)熱,其來源于晶格振動(dòng)的格波.格波是固體物理中典型的集體激發(fā),它代表系統(tǒng)內(nèi)所有原子在各自的平衡位置附近振動(dòng)的一種集體模式.在簡諧近似下格波是相互獨(dú)立的,聲子是指格波的量子.一個(gè)格波,即一種振動(dòng)模,稱為一個(gè)聲子模式.它是晶格原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激發(fā)單元,因此系統(tǒng)一般狀態(tài)可看作是這些獨(dú)立的基本激發(fā)單元(聲子)的集合.引入聲子概念后,N個(gè)原子的耦合振蕩問題在簡諧近似下就被約化為無相互作用的理想聲子氣體來進(jìn)行理論分析和處理,由此可以很好地解釋晶體熱力學(xué)性質(zhì)的微觀機(jī)制.

最早物理學(xué)家們以一維單原子鏈為固體材料的簡化模型,在簡諧近似下研究了一維單原子鏈的格波理論及色散關(guān)系[5,6].考慮到實(shí)際固體往往是非線性的,需加入非線性作用,而非線性作用的出現(xiàn)使得聲子與聲子相互作用,導(dǎo)致色散關(guān)系在一般情況下很難解析求解.有些情況溫度比較低時(shí),可將系統(tǒng)的非線性項(xiàng)看作是一個(gè)小的微擾,運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)力矩陣擾動(dòng)法可以解析得到色散關(guān)系[7];而溫度比較高時(shí),小的非線性微擾近似已不再成立.近些年來研究學(xué)者們提出了聲子譜能量密度(spectral energy density,SED)方法[8?10]和有效聲子理論(effective phonon theory,EPT)[11?13]來預(yù)測非線性系統(tǒng)的色散關(guān)系.這兩種方法在高溫下也可以準(zhǔn)確地預(yù)測非線性系統(tǒng)的色散關(guān)系.但值得注意的是,上述預(yù)測色散關(guān)系的理論大多適用于獨(dú)立的固體結(jié)構(gòu)和獨(dú)立的晶格鏈模型.但在實(shí)際應(yīng)用中,固體材料往往不是孤立存在的,最常見的為耦合式結(jié)構(gòu),例如廣泛應(yīng)用于芯片散熱、航空航天等領(lǐng)域的碳納米管陣列[14?17]和多層石墨烯[18?22]等納米材料.耦合式的結(jié)構(gòu)會(huì)導(dǎo)致界面的出現(xiàn),這時(shí)除了非線性導(dǎo)致的聲子與聲子相互作用,還會(huì)出現(xiàn)聲子與界面的作用,從而影響到系統(tǒng)的色散關(guān)系.目前關(guān)于這方面的研究還十分匱乏,因此非常有必要研究耦合系統(tǒng)的格波理論及色散關(guān)系.

本文選取耦合Frenkel-Kontorova (FK) 雙鏈模型來研究耦合系統(tǒng)的格波理論.FK 模型是在1938 年由Frenkel 和Kontorovaza[23]兩位物理學(xué)家在研究晶體位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)時(shí)首次提出.此模型形式簡單,是一個(gè)置于外部周期勢場中和最近鄰粒子間存在簡諧相互作用的原子鏈模型.它可以很好地描述廣泛的非線性物理現(xiàn)象,例如電荷密度波的傳播、在晶格表面原子吸附層的動(dòng)力學(xué),以及磁有序結(jié)構(gòu)中的磁疇壁等;在凝聚態(tài)物理和統(tǒng)計(jì)物理研究中也被廣泛地用來模擬系統(tǒng)的熱傳導(dǎo)及聲子輸運(yùn)過程.因此我們采用耦合FK 雙鏈模型.本文主要計(jì)算了在低溫小振動(dòng)近似、有限溫、高溫近似情況下耦合FK 雙鏈的格波解及色散關(guān)系.具體討論了色散關(guān)系曲線的分布情況、頻譜范圍和帶隙結(jié)構(gòu)的影響因素等.并且給出了溫度對耦合FK 雙鏈色散關(guān)系的影響規(guī)律.研究結(jié)果可為分析鏈間界面耦合對晶格的振動(dòng)特點(diǎn)和物理性質(zhì)的影響提供理論依據(jù).

2 耦合FK 雙鏈的色散關(guān)系

2.1 耦合FK 雙鏈模型

考慮兩條相同的耦合FK 鏈模型(如圖1 所示),選取最簡單的鏈間耦合作用,即鏈1 與鏈2 通過簡諧耦合作用相連接,耦合強(qiáng)度為kc.為計(jì)算方便,取兩條FK 鏈的原子質(zhì)量相同均為m.un,j表示鏈n(n=1,2)中第j個(gè)粒子偏離平衡位置的位移.假設(shè)每條鏈中相鄰原子之間的平衡距離為a,兩條鏈當(dāng)中的第j個(gè)粒子對為一個(gè)原胞,所以原胞的大小為a.

圖1 耦合FK 雙鏈模型示意圖Fig.1.Schematics of the coupled FK chains model.

2.2 低溫近似下耦合FK 雙鏈的色散關(guān)系

2.2.1 色散關(guān)系計(jì)算方法

FK 鏈中相鄰原子間的相互作用力是線性恢復(fù)力,設(shè)恢復(fù)力常數(shù)為kn(n=1,2),外勢Un(un,j)?Vsub,n(2π)?2cos(2πun,j),Vsub,n為鏈n的外勢深度.則耦合FK 雙鏈中第j個(gè)原胞內(nèi)兩個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)式很難解析求解,在低溫情況下,原子的動(dòng)能較小,其活動(dòng)范圍主要限制在 FK 鏈外勢的勢阱中.因此,在低溫小振動(dòng)近似下,耦合系統(tǒng)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程可以寫為

設(shè)該方程組有行波解:

其中,a為每條鏈中相鄰原子之間的平衡距離,ω為頻率,q為波數(shù).將(3)式代入(2)式中可以得到關(guān)于振幅A1和A2的方程組:

方程組(4)式有非零解的條件是其系數(shù)矩陣的行列式等于零,即

這里令

由此可得

這是關(guān)于ω2的一元二次方程,取相同的外勢深度并令Vsub,1Vsub,2V求解(7)式可得

因?yàn)閮蓷lFK 鏈相同,所以k1k2,可以得到

2.2.2 色散關(guān)系結(jié)果分析

(9)式給出了兩條相同的耦合FK 鏈系統(tǒng)在低溫小振動(dòng)近似下的色散關(guān)系.可以發(fā)現(xiàn)聲學(xué)波的色散關(guān)系(ω?)始終與單條FK 鏈結(jié)果[24]完全相同,并不隨鏈間耦合作用而發(fā)生變化;而光學(xué)波的色散關(guān)系(ω+)隨鏈間耦合作用增強(qiáng)向高頻方向移動(dòng).這是因?yàn)閷τ诼晫W(xué)支ω?,第j個(gè)原胞中的粒子對在做同向運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)完全一致,像一個(gè)剛體一樣整體地振動(dòng),因此對應(yīng)的色散關(guān)系與單條FK 鏈結(jié)果完全相同.但值得注意的是這里只是色散關(guān)系表現(xiàn)形式與單鏈相同,仍然是兩條鏈所有原子集體運(yùn)動(dòng)的結(jié)果.對于光學(xué)支ω+,第j個(gè)原胞中的粒子對在做相對振動(dòng),運(yùn)動(dòng)完全相反,運(yùn)動(dòng)中保持它們的質(zhì)心不變,對應(yīng)的光學(xué)支會(huì)受到鏈間耦合強(qiáng)度的調(diào)制.由(9)式的色散關(guān)系可以發(fā)現(xiàn),聲學(xué)支和光學(xué)支的頻譜范圍 Δω?、Δω+和頻率禁帶 Δω′與FK 鏈的恢復(fù)力系數(shù)、外勢深度以及鏈間耦合強(qiáng)度系數(shù)均有關(guān)聯(lián).

現(xiàn)對(9)式得到的ω+和ω?進(jìn)行數(shù)值擬合,得色散關(guān)系曲線如圖2(k1k21,V1,m1)所示.圖2 呈現(xiàn)了不同鏈間耦合強(qiáng)度kc下的色散關(guān)系,可以看到頻率禁帶的存在與否取決于鏈間耦合強(qiáng)度的大小.當(dāng)鏈間耦合強(qiáng)度較小時(shí),不存在頻率禁帶(見圖2(a)),但光學(xué)支位置隨著鏈間耦合強(qiáng)度的增加不斷明顯升高;當(dāng)鏈間耦合強(qiáng)度增加到某一臨界值后,頻率禁帶將出現(xiàn)(見圖2(b)),并隨著鏈間耦合強(qiáng)度增加,頻隙不斷變大(見圖2(c)).通過以下計(jì)算,可以得到頻隙為0 的臨界鏈間耦合強(qiáng)度.令

圖2 耦合FK 雙鏈在低溫小振動(dòng)近似情況下的色散關(guān)系(k1 k2 1,V1,m1) (a) kc 1;(b) kc 2 ;(c) kc 5Fig.2.Dispersion relationship of the coupled FK chains under low temperature approximation with small vibration(k1 k2 1,V1,m1):(a) kc 1;(b) kc 2 ;(c) kc 5 .

由(9)式得

將(11)式和(12)式代入(10)式計(jì)算可得

由以上計(jì)算結(jié)果可知,兩條相同耦合FK 鏈系統(tǒng)在低溫下的臨界鏈間耦合強(qiáng)度為FK 鏈恢復(fù)力系數(shù)的2 倍,與外勢深度無關(guān).取k1k21,可得臨界鏈間耦合強(qiáng)度kc2,與圖2(b)數(shù)值計(jì)算結(jié)果一致.

2.3 有限溫度下耦合FK 雙鏈的色散關(guān)系

2.3.1 色散關(guān)系計(jì)算方法

第2.2 節(jié)考慮的是耦合FK 雙鏈模型在低溫小振動(dòng)近似下的情況,外勢泰勒展開的高階項(xiàng)可以忽略,而在有限溫度,即溫度并不是很低的情況下,這樣的近似是不合理的.這時(shí)需要借助耦合系統(tǒng)的EPT[25]來具體討論耦合FK 雙鏈的色散關(guān)系及鏈間耦合對此耦合系統(tǒng)色散關(guān)系的影響.

首先給出兩條相同的耦合非線性鏈模型的哈密頓量:

這里H1,H2和Hc分別表示鏈1、鏈2 和耦合項(xiàng)的哈密頓量.un,j仍然表示鏈n(n=1,2)中第j個(gè)粒子偏離平衡位置的位移,pn,j是此粒子的動(dòng)量.N表示鏈長,mn是每條鏈粒子的質(zhì)量(為方便,設(shè)所有的粒子質(zhì)量mn1).為了不失一般性,鏈內(nèi)相鄰粒子相互作用勢Vn(un,j ?un,j?1)、外勢Un(un,j)和鏈間相互作用勢V12(u1,j ?u2,j) 的表達(dá)式為

其中,gs為鏈內(nèi)相鄰粒子相互作用強(qiáng)度,σs為外勢作用強(qiáng)度,ls為鏈間相互作用強(qiáng)度,s2,3,4,···.根據(jù)耦合非線性雙鏈的EPT[25],其重整化聲子譜的解析表達(dá)式為

其中,ωn,k,+為耦合系統(tǒng)聲子譜的光學(xué)支,ωn,k,?為聲學(xué)支;ωk2 sin(k/2) 是單條簡諧鏈的聲子譜(這里kaq).重整化的參數(shù)αn,γn,+和γn,?為

其中,對于鏈1 (n=1) 取“+”,對于鏈2 (n=2)取“–”;

上述理論給出的是一般的兩條相同耦合非線性鏈模型的有效聲子譜.對于兩條相同的耦合FK鏈模型(鏈間耦合作用仍然通過簡諧耦合作用相連接),表達(dá)式為

在有限溫度下,粒子在外勢中振動(dòng)還不太劇烈,振動(dòng)較小,可以對外勢Un(un,j) 進(jìn)行泰勒展開,從而得到耦合FK 雙鏈模型的重整化的參數(shù)αn,γn,?和γn,+為

其中,對于鏈1 (n=1) 取“+”,對于鏈2 (n=2)取“–”.

2.3.2 色散關(guān)系結(jié)果分析

對2.3.1 節(jié)的EPT 計(jì)算結(jié)果進(jìn)行數(shù)值擬合,溫度T=0.05 時(shí)的耦合FK 雙鏈(k1k21,V1,m1)的色散關(guān)系如圖3 所示,可以看出色散關(guān)系和圖2 相比有所下移.這是由于有限溫度下,外勢的高階項(xiàng)作用開始明顯,第3 節(jié)會(huì)進(jìn)一步說明溫度對色散關(guān)系的影響.同樣圖3 也展示了色散關(guān)系隨鏈間耦合作用的變化情況:當(dāng)鏈間耦合強(qiáng)度較小時(shí),不存在頻率禁帶(見圖3(a));當(dāng)鏈間耦合強(qiáng)度增加到某一臨界值后,頻率禁帶將出現(xiàn)(見圖3(b)),并隨著鏈間耦合強(qiáng)度增加,頻隙不斷變大(見圖3(c)).通過以下計(jì)算,可得到頻隙為0的臨界鏈間耦合強(qiáng)度.令

圖3 耦合FK 雙鏈(k1 k2 1,V1,m1)在有限溫度(T=0.05)下的色散關(guān)系 (a) kc 1;(b) kc 2 ;(c) kc 5Fig.3.Dispersion relationship of the coupled FK chains(k1 k2 1,V1,m1) under finite temperature(T=0.05):(a) kc 1;(b) kc 2;(c) kc 5 .

由(18)式結(jié)合(25)式—(27)式得

將(29)式和(30)式代入(28)式計(jì)算可得

上述計(jì)算結(jié)果說明對于兩條相同的耦合FK鏈系統(tǒng),在有限溫度下,臨界鏈間耦合強(qiáng)度仍為FK 鏈恢復(fù)力系數(shù)的2 倍(圖3(b)數(shù)值結(jié)果也驗(yàn)證了這一結(jié)論),與外勢深度無關(guān),和低溫小振動(dòng)近似下的結(jié)論相同.

2.4 高溫近似下耦合FK 雙鏈的色散關(guān)系

2.4.1 色散關(guān)系計(jì)算方法

在高溫區(qū)域,由于粒子動(dòng)能很大,會(huì)脫離外勢的束縛,這時(shí)外勢可以忽略,所以FK 鏈又回歸到了簡諧鏈,兩條相同耦合FK 鏈的色散關(guān)系和兩條相耦合簡諧鏈的結(jié)果相同(只需令(9)式的外勢深度V=0),即

2.4.2 色散關(guān)系結(jié)果分析

由(32)式可知,高溫情況下頻譜范圍和頻率禁帶僅與FK 鏈的恢復(fù)力系數(shù)、鏈間耦合強(qiáng)度系數(shù)有關(guān)聯(lián),與外勢深度無關(guān),這點(diǎn)與低溫及有限溫的情況有所不同.圖4 給出了高溫下耦合FK 雙鏈(k1k21,V1,m1)的色散關(guān)系.發(fā)現(xiàn)在長波極限下,聲學(xué)支頻率為0,光學(xué)支也比低溫和有限溫情況有明顯下移,主要由于高溫下粒子運(yùn)動(dòng)劇烈,脫離了外勢的約束.此外,從圖4 可以看出,當(dāng)鏈間耦合強(qiáng)度逐漸增加到某一臨界值后,頻率禁帶出現(xiàn),并隨著鏈間耦合強(qiáng)度增加,頻隙不斷變大,這在低溫、有限溫的討論中已提到,結(jié)論均類似.按照前面類似的計(jì)算方法,也可得到頻隙為0 的臨界鏈間耦合強(qiáng)度為kc2k1.結(jié)合低溫和有限溫的討論可知:兩條相同的耦合FK 鏈系統(tǒng),在鏈間耦合作用為簡諧耦合作用時(shí),臨界鏈間耦合強(qiáng)度始終為FK 鏈的恢復(fù)力系數(shù)的2 倍,即kc2k1,并不受溫度的影響.

圖4 耦合FK 雙鏈在高溫近似下的色散關(guān)系(k1 k2 1,V 1,m1) (a) kc 1;(b) kc 2;(c) kc 5Fig.4.Dispersion relation of coupled FK chains under high temperature approximation (k1 k2 1,V1,m1):(a) kc 1;(b) kc 2;(c) kc 5 .

上述結(jié)論表明FK 鏈的恢復(fù)力系數(shù)越大,所對應(yīng)臨界鏈間耦合強(qiáng)度越大.換言之,要想使恢復(fù)力系數(shù)很大的耦合雙鏈出現(xiàn)頻隙結(jié)構(gòu),鏈間耦合強(qiáng)度必須足夠強(qiáng).鏈間耦合強(qiáng)度的強(qiáng)弱和很多因素有關(guān),如果耦合固體材料缺乏良好的接觸或表面不是很平整,界面耦合強(qiáng)度系數(shù)就會(huì)比較弱;如果耦合固體材料能夠彼此很好地接觸,在界面處就可能形成化學(xué)鍵,導(dǎo)致界面耦合強(qiáng)度系數(shù)會(huì)很強(qiáng).從上述結(jié)論發(fā)現(xiàn),通過改變耦合雙鏈的恢復(fù)力系數(shù),進(jìn)而能改變帶隙結(jié)構(gòu).對帶隙結(jié)構(gòu)的改變和控制可以指導(dǎo)人們設(shè)計(jì)一定的聲子禁帶和允帶(處于禁帶頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)將被禁止在晶體中傳播[26,27];處于通帶頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)會(huì)傳遍整個(gè)結(jié)構(gòu)),可用于模式選擇、能量傳輸、傳播的指向性等諸多領(lǐng)域,對新型功能材料在工程上的應(yīng)用很有幫助[28,29].

3 溫度對耦合FK 雙鏈色散關(guān)系的影響

第2 節(jié)給出了在低溫、有限溫和高溫情況下耦合FK 雙鏈色散關(guān)系的解析表達(dá)式,并分析了色散關(guān)系的分布情況、頻譜范圍和帶隙結(jié)構(gòu)的影響因素等.本節(jié)對于相同的耦合FK 雙鏈,固定鏈間耦合強(qiáng)度kc,具體討論溫度對耦合FK 雙鏈色散關(guān)系的影響規(guī)律.但什么溫度為低溫? 什么溫度為高溫?第2.2 節(jié)和第2.4 節(jié)的討論只是表明在溫度足夠低和足夠高時(shí),可分別用(9)式和(32)式計(jì)算色散關(guān)系,但并不明確溫度具體要低于或高于什么值.考慮到EPT 可適用于低溫情況,我們可以用EPT 來計(jì)算具體低溫?cái)?shù)值下的色散關(guān)系,并與低溫小振動(dòng)近似下的結(jié)果對比.而在高溫時(shí),采用SED 方法[8?10]計(jì)算具體高溫?cái)?shù)值下的色散關(guān)系,并與2.4 節(jié)高溫解析的結(jié)果對比.下面簡單介紹SED 方法[8?10],SED 的表達(dá)式為

圖5 展示了耦合FK 雙鏈在kc1.0 時(shí)的色散關(guān)系隨溫度的變化情況(考慮到SED 的計(jì)算時(shí)間成本,本文只計(jì)算了波數(shù)0— π/a(鏈常數(shù)a=1)范圍的色散關(guān)系,但數(shù)據(jù)足夠說明問題).圖5 中紅實(shí)線和黑實(shí)線是EPT 的計(jì)算結(jié)果;紅色和黑色圓點(diǎn)是在低溫小振動(dòng)近似下計(jì)算的結(jié)果;紅色和黑色方框是高溫下計(jì)算的解析結(jié)果;等高線圖是SED 方法的計(jì)算結(jié)果.從圖5(a)和圖5(b)可以發(fā)現(xiàn),溫度T低于0.01 時(shí),EPT 計(jì)算的色散關(guān)系與低溫小振動(dòng)下的解析結(jié)果幾乎無差別,完全吻合.這說明溫度低于0.01 時(shí),就可以用前面低溫小振動(dòng)近似得到的解析結(jié)果去計(jì)算色散關(guān)系,并且色散關(guān)系分布在此低溫區(qū)域基本不受溫度影響.當(dāng)溫度升高,如溫度高于0.01 時(shí)(見圖5(c)和圖5(d)),色散關(guān)系與圖5(a)和圖5(b)相比有明顯下移,且溫度越高,下移幅度越大.這是由于溫度升高,外勢高階項(xiàng)開始起作用,并且發(fā)現(xiàn)聲學(xué)支下移幅度較光學(xué)支下移幅度大.因此可以推論在鏈間耦合強(qiáng)度足夠大,出現(xiàn)頻隙結(jié)構(gòu)的耦合系統(tǒng)中,溫度升高頻隙會(huì)變大.當(dāng)溫度進(jìn)一步升高,例如溫度高于0.1 時(shí)(見圖5(e)和圖5(f)),色散關(guān)系較圖5(c)和圖5(d)有大幅度下移,聲學(xué)支在長波極限下頻率幾乎降為0,光學(xué)支也有明顯下移.說明在溫度高于0.1 時(shí),外勢對粒子運(yùn)動(dòng)影響已經(jīng)可以忽略,并且SED 的計(jì)算結(jié)果和前面高溫解析計(jì)算的色散關(guān)系完全吻合.因此溫度高于0.1 時(shí),就可以用2.4 節(jié)高溫解析結(jié)果來計(jì)算色散關(guān)系,并且色散關(guān)系分布在高溫區(qū)域基本不受溫度影響.

圖5 耦 合FK 雙鏈在不同溫 度下的色散關(guān) 系(k1 k2 1,V1,m1 ,kc 1.0) (a) T0.005;(b) T0.01 ;(c) T0.02;(d) T0.06;(e) T0.10;(f) T 0.20Fig.5.Dispersion relation of coupled FK chains at different temperature (k1 k2 1,V1,m1 ,kc 1.0):(a) T0.005 ;(b) T0.01;(c) T0.02;(d) T0.06;(e) T0.10;(f) T0.20 .

4 總結(jié)

本文計(jì)算了兩條相同的耦合FK 鏈系統(tǒng)在低溫、有限溫和高溫情況下色散關(guān)系的解析表達(dá)式.研究發(fā)現(xiàn)頻譜范圍、頻率禁帶與FK 鏈的恢復(fù)力系數(shù)、鏈間耦合強(qiáng)度系數(shù)均有關(guān)聯(lián),低溫和有限溫的情況還與外勢深度有關(guān)系.帶隙結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的臨界鏈間耦合強(qiáng)度始終為FK 鏈恢復(fù)力系數(shù)的2 倍,并且不受溫度的影響.進(jìn)一步研究了給定鏈間耦合強(qiáng)度下溫度對耦合FK 雙鏈色散關(guān)系的影響規(guī)律.發(fā)現(xiàn)溫度在低于0.01 時(shí),色散關(guān)系分布基本不受溫度影響;溫度在高于0.01 時(shí),色散關(guān)系有明顯下移,且溫度越高,下移幅度越大,直至溫度上升到0.1,聲學(xué)支在長波極限下頻率幾乎降為0.至此耦合系統(tǒng)脫離外勢的影響,溫度再升高色散關(guān)系分布將不受溫度影響.此外還給出了低溫小振動(dòng)近似及高溫下解析得到的色散關(guān)系的溫度適用范圍.上述研究結(jié)果讓我們對鏈間耦合作用和溫度使晶格振動(dòng)色散關(guān)系產(chǎn)生的變化有了具體的認(rèn)識(shí),有助于拓寬和加深對耦合材料物理性質(zhì)的了解,可以指導(dǎo)實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)一定的聲子禁帶和允帶,可用于模式選擇、能量傳輸、傳播的指向性等諸多領(lǐng)域,這對新型功能材料在工程上的應(yīng)用很有幫助[28,29].此外,鏈間耦合作用的存在及溫度的變化導(dǎo)致系統(tǒng)色散關(guān)系的改變可以幫助我們理解很多傳熱現(xiàn)象.例如碳納米管陣列和多層石墨烯等納米材料的熱導(dǎo)率明顯低于單臂碳納米管[30]和單層石墨烯[31]的熱導(dǎo)率;溫度升高使得納米材料熱導(dǎo)率降低等.因此本文研究的結(jié)果對于能量輸運(yùn)、熱調(diào)控等實(shí)際應(yīng)用有著重要的指導(dǎo)意義.