基于灰色模型的礦區(qū)地表沉降預(yù)測(cè)研究

張凱月

（1.安徽理工大學(xué)空間信息與測(cè)繪工程學(xué)院，安徽 淮南 232001；2.安徽理工大學(xué)礦山采動(dòng)災(zāi)害空天地協(xié)同監(jiān)測(cè)與預(yù)警安徽普通高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 淮南 232001；3.安徽理工大學(xué)礦區(qū)環(huán)境與災(zāi)害協(xié)同監(jiān)測(cè)煤炭行業(yè)工程研究中心，安徽 淮南 232001）

0 引言

我國(guó)礦區(qū)眾多，煤炭資源儲(chǔ)量豐富，煤炭能源供應(yīng)在國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展中發(fā)揮著重大作用［1］。但大量采煤和過(guò)度采煤會(huì)造成地表沉陷，引發(fā)地質(zhì)災(zāi)害。研究資料表明我國(guó)“三下”壓煤總量的61%在建筑物地下［2］，煤炭開(kāi)采會(huì)損壞礦區(qū)建筑物，給礦區(qū)附近居民生活、區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展和生態(tài)建設(shè)帶來(lái)不便和阻礙。因此，研究礦區(qū)的地表沉降變形及沉降預(yù)測(cè)成為具有現(xiàn)實(shí)意義的研究?jī)?nèi)容。

基于非線性理論的預(yù)測(cè)方法是礦區(qū)開(kāi)采沉降常用的預(yù)測(cè)方法之一［3］?；疑Ｐ?、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、時(shí)間序列模型及多模型組合預(yù)測(cè)模型在目前沉降預(yù)測(cè)中的研究已經(jīng)得到驗(yàn)證和應(yīng)用［4-6］。其中灰色模型能利用小樣本在離散化的數(shù)據(jù)中摸索出規(guī)律，進(jìn)而進(jìn)行預(yù)測(cè)和分析。宋海萍［7］、武君［8］、張慶斌等［9］通過(guò)實(shí)例論證了灰色Verhulst模型在礦區(qū)地表沉降中的預(yù)測(cè)精度高于GM（1，1）模型；楊俊凱等［10］、石曉宇等［11］利用D-InSAR與灰色模型結(jié)合，探究建立監(jiān)測(cè)—預(yù)計(jì)一體化方法，結(jié)果表明灰色Verhulst模型預(yù)測(cè)精度較好?；诨疑Ｐ头N類多、適用情況不同的特點(diǎn)，本研究利用礦區(qū)沉降數(shù)據(jù)計(jì)算比較GM（1，1）模型、加權(quán)參數(shù)估計(jì)模型和灰色Verhulst模型在礦區(qū)沉降預(yù)測(cè)中的擬合精度和預(yù)測(cè)精度，探究三種模型在礦區(qū)沉降預(yù)測(cè)中的可行性和適用性。

1 灰色模型基本原理

1.1 GM（1，1）模型

灰色模型能對(duì)含有不確定因素的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)［12］。

①設(shè)非負(fù)等時(shí)間序列為

經(jīng)過(guò)一次累加得到1-AGO序列為

②灰色微分方程如式（1）所示。

最小二乘法估計(jì)參數(shù)如式（2）所示。

式中：a為發(fā)展系數(shù)，b為灰色作用量。

③白化方程如式（3）所示。

在進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)之前，需要對(duì)x(0)=進(jìn)行級(jí)比檢驗(yàn)以保證灰色預(yù)測(cè)的可行性。序列級(jí)比：λk=，k=1,2,3,…,n-1，級(jí) 比 結(jié) 果 在之間，可進(jìn)行GM（1，1）預(yù)測(cè)，否則需對(duì)x(0)序列加一常數(shù)c進(jìn)行平移變換滿足級(jí)比要求。

1.2 加權(quán)參數(shù)估計(jì)模型

加權(quán)參數(shù)估計(jì)模型即加權(quán)最小二乘參數(shù)估計(jì)模型，何霞［13］闡明了灰色模型在最小二乘參數(shù)求解時(shí)會(huì)出現(xiàn)病態(tài)問(wèn)題，而且GM（1，1）模型把誤差平方和看成相同比重，兩者均可能導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確，因此將灰色微分方程各部分誤差平方和分配不同權(quán)重ωk(k=2,3,…n)，使總誤差和最小，以得到更適合的參數(shù)。且當(dāng)時(shí)，取得的效果較好。

灰色微分方程如式（4）所示。

參數(shù)解算如式（5）所示。

白化方程如式（6）所示。

1.3 灰色Verhulst模型

①非負(fù)時(shí)間序列x(0)通過(guò)一次累加得到x(1)序列，背景值序列z(1)為緊鄰均值序列。

②灰色微分方程如式（7）所示。

參數(shù)數(shù)列[a,b]T=(B T B)-1B T Y。

③白化方程如式（8）所示。

2 礦區(qū)沉降預(yù)測(cè)

2.1 礦區(qū)沉降數(shù)據(jù)

根據(jù)姜佃高等［14］等研究的礦區(qū)沉降數(shù)據(jù)，通過(guò)計(jì)算獲取礦區(qū)觀測(cè)點(diǎn)不同時(shí)間段的沉降量，利用三次樣條插值法獲得等時(shí)間段的沉降量，最后計(jì)算礦區(qū)累計(jì)沉降量。文中監(jiān)測(cè)點(diǎn)A1與A2分別對(duì)應(yīng)文獻(xiàn)［14］中的B8點(diǎn)與B11點(diǎn)；監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)從2012年6月開(kāi)始至2012年11月16日結(jié)束，等時(shí)間間隔選取17 d，三次樣條插值結(jié)果與累計(jì)沉降量如表1所示。

表1 觀測(cè)點(diǎn)沉降數(shù)據(jù)

2.2 監(jiān)測(cè)點(diǎn)沉降數(shù)據(jù)擬合與預(yù)測(cè)結(jié)果

運(yùn)用3種預(yù)測(cè)模型，將前8期的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，對(duì)第9期的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到數(shù)據(jù)擬合與預(yù)測(cè)結(jié)果，具體如圖1、圖2所示。

圖1 A1點(diǎn)模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比圖

圖2 A2點(diǎn)模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比圖

2.3 精度檢驗(yàn)

灰色模型精度檢驗(yàn)包括數(shù)據(jù)擬合精度檢驗(yàn)和預(yù)測(cè)精度檢驗(yàn)。在擬合精度檢驗(yàn)中后驗(yàn)差檢驗(yàn)可以直接判斷數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)劣，能直觀判斷出所選灰色模型的合理性，后驗(yàn)差比值C越小效果越好，誤差概率P越大效果越好，C＜0.35、P≥0.9時(shí)評(píng)價(jià)等級(jí)為1級(jí)，效果良好。

2.4 結(jié)果分析

①結(jié)合圖1和表2可以看出A1點(diǎn)在總體上灰色Verhulst模型的擬合程度最佳，殘差與相對(duì)誤差最小，后驗(yàn)差檢驗(yàn)效果最好，灰色關(guān)聯(lián)性最強(qiáng)，擬合精度最高。GM（1，1）模型與最小二乘法加權(quán)參數(shù)估計(jì)模型擬合曲線均呈現(xiàn)上升趨勢(shì)。

②從圖2和表2來(lái)看，A2點(diǎn)總體上灰色Verhulst模型擬合效果最好，GM（1，1）模型次之，加權(quán)參數(shù)估計(jì)模型最差。1～3期加權(quán)參數(shù)估計(jì)模型擬合值與實(shí)測(cè)值誤差最小，4～8期呈現(xiàn)類似指數(shù)式增長(zhǎng)趨勢(shì)，后驗(yàn)差檢驗(yàn)等級(jí)為2級(jí)，屬于合格級(jí)別。

表2 前八期擬合精度檢驗(yàn)

③從圖1、圖2和表3可知在A1點(diǎn)和A2點(diǎn)灰色Verhulst模型預(yù)測(cè)誤差較小，加權(quán)參數(shù)估計(jì)模型誤差較大，預(yù)測(cè)結(jié)果不能作為沉降預(yù)測(cè)參考。

表3 第九期預(yù)測(cè)精度檢驗(yàn)

④綜合三種模型在A1、A2兩點(diǎn)的擬合和預(yù)測(cè)結(jié)果，在前期沉降量較小時(shí)，加權(quán)參數(shù)估計(jì)模型與實(shí)際值最接近；當(dāng)沉降量突然增大時(shí)，GM（1，1）模型在前期的擬合誤差較大，加權(quán)參數(shù)估計(jì)模型在后期的擬合誤差較大；后期沉降較小，加權(quán)參數(shù)估計(jì)模型預(yù)測(cè)偏離實(shí)際值太多。總體上灰色Verhulst模型擬合和預(yù)測(cè)情況最好，在礦區(qū)地表沉降預(yù)測(cè)中有良好的適用性。

3 結(jié)論

灰色Verhulst模型與實(shí)測(cè)值變化趨于一致，可應(yīng)用于礦區(qū)地表沉降預(yù)測(cè)。GM（1，1）模型和加權(quán)參數(shù)估計(jì)模型不適用于沉降突然增大的情況，在此之前預(yù)測(cè)前期沉降效果會(huì)較好。礦區(qū)地表沉降影響因素眾多，準(zhǔn)確適時(shí)的沉降變形預(yù)測(cè)模型建立困難，在不考慮礦區(qū)地表以下影響因素的前提下，本研究中預(yù)測(cè)模型是可行適用的，精度較高。但要進(jìn)行精準(zhǔn)預(yù)測(cè)，需要考慮多方面因素；本研究中兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)并不能反映整個(gè)礦區(qū)沉降情況，后續(xù)研究會(huì)針對(duì)固定礦區(qū)，結(jié)合地表沉降影響因素，建立適合多點(diǎn)的礦區(qū)地表沉降預(yù)測(cè)模型。