王麗萍，陸佳峰，邱飛岳，陳 宏

1(浙江工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，杭州 310023)

2(浙江工業(yè)大學(xué) 教育科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，杭州 310023)

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1 引 言

對(duì)比敏感度函數(shù)(contrast sensitivity function)描述對(duì)比度閾值(contrast threshold)的倒數(shù)隨空間頻率的變化，是視覺(jué)科學(xué)中衡量人眼對(duì)物體分辨邊界清晰程度的工具.對(duì)比敏感度作為衡量人類(lèi)視覺(jué)的重要指標(biāo)之一，不僅可以用于預(yù)測(cè)視覺(jué)神經(jīng)病理學(xué)，還可用于其他視覺(jué)感知等研究[1，2].

對(duì)比敏感度閾值的檢測(cè)早在1760年Bouguer就使用2根不同距離的蠟燭通過(guò)照亮屏幕和不透明的桿模擬得到[3].隨后由于印刷的發(fā)展出現(xiàn)了條柵圖法和字母表法，條柵圖法引入調(diào)制傳遞函數(shù)，依據(jù)灰度不同調(diào)整曲線的變化，制成寬窄和明暗不同的條柵圖，然后通過(guò)調(diào)整條柵的空間頻率和對(duì)比度來(lái)測(cè)量對(duì)比敏感度閾值.但是存在被試接受度低、猜測(cè)率較高、耗時(shí)過(guò)長(zhǎng)和固定的空間頻率和對(duì)比度等問(wèn)題.字母表法也是引入調(diào)制傳遞函數(shù)，不同的是它將條柵改為大小和明暗不同的字母或數(shù)字.相比條柵圖法，字母表法更易被識(shí)別，被試接受度高，但是仍然存在耗時(shí)過(guò)長(zhǎng)和固定空間頻率和對(duì)比度的缺陷.

隨著計(jì)算機(jī)編程和硬件的不斷發(fā)展，可以通過(guò)計(jì)算機(jī)產(chǎn)生不同空間頻率和對(duì)比度的刺激.同時(shí)由于心理測(cè)量函數(shù)(psychometric function)描述了被試者隨著刺激強(qiáng)度變化而發(fā)生知覺(jué)變化的反應(yīng)，成為測(cè)量對(duì)比敏感度閾值的重要工具.隨著近幾十年的研究，如何更好的擬合心理測(cè)量函數(shù)一直是研究的熱點(diǎn)，并且有源源不斷的研究者投身其中[4-7].研究者們研究心理測(cè)量函數(shù)時(shí)更多的是預(yù)先假定一個(gè)數(shù)學(xué)模型，然后估計(jì)這個(gè)模型的參數(shù)，以便更高效地測(cè)量對(duì)比敏感度閾值.

早期的恒定刺激法[8]，實(shí)驗(yàn)者選定刺激范圍，并在此范圍內(nèi)隨機(jī)的選擇刺激，在一次實(shí)驗(yàn)中，刺激可能會(huì)被重復(fù)選擇，實(shí)驗(yàn)完后根據(jù)一般線性法進(jìn)行擬合.一般線性法是對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行反向累計(jì)高斯分布變化，然后引入線性回歸進(jìn)行分析.但是一般線性法難以對(duì)心理測(cè)量函數(shù)的另外兩個(gè)參數(shù)(猜測(cè)率和失誤率)進(jìn)行估計(jì)[9]，因而限制了它的發(fā)展.隨后便出現(xiàn)了最大似然法[10]和貝葉斯法[11].貝葉斯法的出現(xiàn)解決了一般線性法的上述問(wèn)題，成為一種參數(shù)估計(jì)的常用辦法.貝葉斯法主要是把先驗(yàn)的約束和實(shí)驗(yàn)中獲得的信息相聯(lián)系，按一定準(zhǔn)則整合了觀測(cè)到的數(shù)據(jù)和對(duì)模型已有的認(rèn)知，得出后驗(yàn)信息，然后根據(jù)得到的后驗(yàn)信息估計(jì)未知的參數(shù).

由于擬合方法的不斷發(fā)展和計(jì)算機(jī)的普及，自適應(yīng)測(cè)量方法的提出改善了采樣低下的問(wèn)題，加快閾值的估計(jì)，因此被廣泛應(yīng)用[12-15]，如變階梯法[16]和貝葉斯自適應(yīng)法.

變階梯法主要使刺激可以分布在閾值附近，其原理是設(shè)計(jì)一個(gè)上升和下降的固定值，當(dāng)被試者回答正確時(shí)，下降的固定值會(huì)減去1，然后再次將重復(fù)的刺激呈現(xiàn)給被試者，直到下降的固定值為0時(shí)，刺激的強(qiáng)度將會(huì)減小.同樣，若被試者回答錯(cuò)誤，上升的固定值會(huì)減去1，直到上升的固定值為0時(shí)，刺激的強(qiáng)度將會(huì)增加.但是由于變階梯法能選擇的上升和下降的固定值有限，例如2進(jìn)1退、3進(jìn)1退或者4進(jìn)1退，導(dǎo)致能選擇的閾值收斂的點(diǎn)有限.

基于貝葉斯法的一系列自適應(yīng)方法相繼被提出，如Watson 和 Pelli提出了QUEST法[17]，得到了在心理測(cè)量函數(shù)閾值處的有效采樣，提高對(duì)比敏感度閾值測(cè)量的速度.隨后，King-Smith等人提出了ZEST法[18]，計(jì)算了后驗(yàn)的平均值來(lái)估計(jì)閾值.其后，Kontsevich 和 Tyler提出了psi法[19]，它不僅估計(jì)了心理測(cè)量函數(shù)的閾值，還對(duì)斜率也進(jìn)行了采樣估計(jì).Prins則在psi法的基礎(chǔ)上，將心理測(cè)量函數(shù)的另外兩個(gè)參數(shù)(猜測(cè)率和失誤率)加以?xún)?yōu)化，提高閾值估計(jì)的精度，提出了psi-marginal法[20].

但是，psi-marginal法在測(cè)量對(duì)比敏感度的閾值時(shí)，由于需要測(cè)量5個(gè)甚至更多的空間頻率，導(dǎo)致完成一次實(shí)驗(yàn)需要耗費(fèi)較多的時(shí)間.故本文提出了一種基于擾動(dòng)算子的psi-marginal自適應(yīng)優(yōu)化刺激強(qiáng)度算法(psi-marginal/d).該算法可以根據(jù)被試者的響應(yīng)，在預(yù)期下一次呈現(xiàn)刺激強(qiáng)度的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)擾動(dòng)算子，使呈現(xiàn)的刺激強(qiáng)度更快地朝閾值方向逼近，提高收斂速度，加快對(duì)比敏感度閾值的測(cè)量.

2 相關(guān)工作

2.1 測(cè)量工具

擬合心理測(cè)量函數(shù)是數(shù)據(jù)建模中通用方法的一種變體.建模數(shù)據(jù)一般分為3個(gè)步驟，首先是選擇一個(gè)模型，并且調(diào)整參數(shù)以最小化誤差度量或者損失函數(shù)，其次是得出參數(shù)的誤差估計(jì)值，最后評(píng)估模型和數(shù)據(jù)之間的擬合度.

典型的心理測(cè)量函數(shù)被定義為一個(gè)S型曲線，它的橫坐標(biāo)由刺激強(qiáng)度給出，縱坐標(biāo)表示被試者的回答正確的可能性，如圖1所示.常用的一般形式如公式(1)所示：

Ψ(x；α，β，γ，δ)=γ+(1-γ-δ)F(x；α，β)

(1)

圖1 S型心理測(cè)量函數(shù)Fig.1 S-type psychometric function

從圖1可以發(fā)現(xiàn)，在較低刺激強(qiáng)度下，被試者回答正確的可能性較低，是因?yàn)楸辉囌咴诖碳?qiáng)度較低時(shí)的回答具有隨機(jī)性；隨著刺激強(qiáng)度的不斷增加，在閾值附近處于快速上升階段；當(dāng)刺激強(qiáng)度增加到一定值時(shí)，又趨于穩(wěn)定值.由此可見(jiàn)，心理測(cè)量函數(shù)可以被4個(gè)參數(shù)所定義：快速上升階段的刺激強(qiáng)度(閾值α)、閾值α處曲線的坡度(斜率β)、在較低刺激強(qiáng)度下的漸近線(猜測(cè)率γ)和在較高刺激強(qiáng)度下的漸近線(失誤率δ)[9，21].常用的S型模型有邏輯斯特模型(Logistic function)、耿貝爾模型(Gumbel function)和基于韋伯分布的韋伯模型(Weibull function)等.

2.2 貝葉斯方法

貝葉斯方法源于Thomas Bayes生前為解決一個(gè)“逆概”問(wèn)題而撰寫(xiě)的一篇文章.貝葉斯法是一種常用的參數(shù)估計(jì)方法[22-24].假設(shè)先驗(yàn)概率為p(B)，其包含了對(duì)參數(shù)B的先驗(yàn)認(rèn)知.然后通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)A，將其整合進(jìn)來(lái)，先驗(yàn)概率p(B)將被更新，得到后驗(yàn)概率p(B|A)，從而完成貝葉斯擬合.其貝葉斯原理如公式(2)所示：

p(B|A)=p(A|B)p(B)p(A)

(2)

其中數(shù)據(jù)A的概率p(A)由參數(shù)B的條件概率p(A|B)和參數(shù)B的概率p(B)乘積之和得出，如公式(3)所示：

p(A)=∑mj=1p(A|Bj)p(Bj)

(3)

其中m為參數(shù)B的最大范圍，即∑mj=1p(Bj)的值為1.

2.3 相關(guān)算法

up/down算法需要設(shè)定初始值、單次上升或下降的間隔值和兩個(gè)固定值.這兩個(gè)固定值分別為上升值和下降值，被試回答正確，下降值減1；回答錯(cuò)誤，上升值減1，當(dāng)下降值為0時(shí)，呈現(xiàn)的刺激強(qiáng)度下降一個(gè)設(shè)定的下降間隔值，同時(shí)下降值恢復(fù)原值；當(dāng)上升值為0時(shí)，呈現(xiàn)的刺激強(qiáng)度上升一個(gè)設(shè)定的上升間隔值，同時(shí)上升值恢復(fù)原值，重復(fù)上述過(guò)程，直到達(dá)到實(shí)驗(yàn)指定的最大代數(shù).

QUEST算法設(shè)定了心理測(cè)量函數(shù)的模型和固定的先驗(yàn)概率，通過(guò)計(jì)算最小化二項(xiàng)式標(biāo)準(zhǔn)差和心理測(cè)量函數(shù)斜率之比的平方作為下一次呈現(xiàn)的刺激強(qiáng)度，在得到被試的反饋后通過(guò)貝葉斯法則估計(jì)得到后驗(yàn)概率，通過(guò)最大化后驗(yàn)概率來(lái)估計(jì)心理測(cè)量函數(shù)的參數(shù)，重復(fù)上述過(guò)程直到達(dá)到最大代數(shù).

Psi-marginal算法是對(duì)psi算法的改進(jìn)，基本的psi算法主要包括計(jì)算被試對(duì)下一次刺激的反饋概率，然后通過(guò)貝葉斯規(guī)則進(jìn)行后驗(yàn)估計(jì)，得到使期望熵達(dá)到最小值時(shí)的刺激強(qiáng)度，將其作為下一次呈現(xiàn)的刺激，隨后在得到被試對(duì)呈現(xiàn)刺激的反應(yīng)后計(jì)算獲得參數(shù)估計(jì)，重復(fù)上述過(guò)程直到實(shí)驗(yàn)代數(shù)達(dá)到指定的最大代數(shù).

相較psi算法，psi-marginal算法在后驗(yàn)分布中添加了失誤率，防止當(dāng)固定失誤率和實(shí)際實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的失誤率不一致時(shí)出現(xiàn)較大閾值和斜率估計(jì)的偏差[25].同時(shí)通過(guò)減少邊緣閾值和斜率(或者僅邊緣閾值)后驗(yàn)分布的期望熵來(lái)選擇刺激.前者優(yōu)化閾值和斜率的估計(jì)，并且允許將失誤率作為目標(biāo)，后者僅優(yōu)化閾值的估計(jì)，但是如果它有助于閾值參數(shù)的估計(jì)，則允許將斜率和失誤率作為目標(biāo).

3 psi-marginal/d算法

3.1 設(shè)計(jì)擾動(dòng)算子

在一些以閾值為主要關(guān)注點(diǎn)的心理測(cè)量實(shí)驗(yàn)(如對(duì)比敏感度)中，由于實(shí)驗(yàn)要在多個(gè)空間頻率[26]上進(jìn)行，導(dǎo)致完成一次測(cè)量需要耗費(fèi)較多的時(shí)間.

另外如果在將心理測(cè)量函數(shù)準(zhǔn)確的定位在強(qiáng)度軸上后，斜率就成為主要關(guān)注的對(duì)象.而在這一階段，熵的分布將呈現(xiàn)出具有兩個(gè)局部最小值的形狀，并且隨著試驗(yàn)的進(jìn)行，呈現(xiàn)的刺激將在兩個(gè)最小值之間交替.隨著試驗(yàn)進(jìn)一步迭代，最終這兩個(gè)最小值會(huì)位于兩個(gè)較相近的概率水平相對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度處.

為了能夠使刺激強(qiáng)度更早地出現(xiàn)在閾值附近，以提高收斂速度，本文提出了一種基于擾動(dòng)算子的自適應(yīng)調(diào)整刺激強(qiáng)度的方法，該方法會(huì)在下一次呈現(xiàn)地刺激強(qiáng)度上添加擾動(dòng)，擾動(dòng)算子如公式(4)所示.這種方法可以根據(jù)當(dāng)前被試者的反饋，在使期望熵達(dá)到最小值時(shí)的最小刺激強(qiáng)度上動(dòng)態(tài)調(diào)整刺激強(qiáng)度，使其更快地向閾值方向靠近.

dt=μ·range(x)t·12πe-(xt+1-x-)22

(4)

公式(4)中的μ為擾動(dòng)系數(shù)，范圍為(0，1)，其值的大小將直接影響偏移量.range(x)為刺激強(qiáng)度的范圍，其值設(shè)定是為了試驗(yàn)前期可以充分帶動(dòng)偏移量，防止dt在試驗(yàn)前期就指向零.分母的t為當(dāng)前實(shí)驗(yàn)代數(shù)，隨著試驗(yàn)的進(jìn)行，擾動(dòng)算子將逐漸趨于零，刺激強(qiáng)度最終在閾值附近波動(dòng).因?yàn)樵囼?yàn)測(cè)量的是人的心理測(cè)量函數(shù)，符合正態(tài)分布，所以擾動(dòng)算子基于正態(tài)分布構(gòu)建，其最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為刺激強(qiáng)度的均值.

3.2 算法框架

本文提出的psi-marginal/d算法步驟如算法1所示.

算法1.基于擾動(dòng)算子的psi-marginal自適應(yīng)優(yōu)化刺激強(qiáng)度算法

輸入：測(cè)量函數(shù)Ψλ(x)，最大迭代數(shù)N；

輸出：測(cè)量函數(shù)的4個(gè)參數(shù)λ

1.初始化先驗(yàn)概率密度p0(λ)和條件概率的查找表p(r|λ，x)

2.計(jì)算下一次得到反饋后的概率pt(r|x)

3.通過(guò)貝葉斯法則估計(jì)每個(gè)測(cè)量函數(shù)的概率pt(λ|x，r)

4.估計(jì)測(cè)量函數(shù)在整個(gè)參數(shù)空間內(nèi)概率密度函數(shù)的熵Ht(x，r)

5.估計(jì)每個(gè)刺激的期望熵E[Ht(x)]

6.找出使期望熵達(dá)到最小時(shí)的刺激強(qiáng)度xt+1

7.添加擾動(dòng)算子后的刺激強(qiáng)度x′t+1

8.將x′t+1作為刺激后獲得的反饋計(jì)算得到后驗(yàn)分布pt+1(λ)

9.根據(jù)步驟8的后驗(yàn)分布得出新的參數(shù)估計(jì)λt+1

10.如果當(dāng)前迭代數(shù)等于最大迭代數(shù)N，停止并輸出參數(shù)λ；否則跳轉(zhuǎn)到步驟2

算法首先定義測(cè)量函數(shù)Ψλ(x)，λ是S型測(cè)量函數(shù)的4個(gè)參數(shù)(α，β，γ，δ)的向量，x是刺激強(qiáng)度變量.本文的測(cè)量函數(shù)用到耿貝爾模型，如公式(5)所示.

Ψ(x；α，β，γ，δ)=γ+(1-γ-δ)(1-e-eβ(x-α))

(5)

在每次實(shí)驗(yàn)開(kāi)始前，需要初始化兩個(gè)函數(shù)，一個(gè)是心理測(cè)量函數(shù)先驗(yàn)概率密度p0(λ)，由λ的4個(gè)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相乘得到，另一個(gè)是條件概率的查找表p(r|λ，x)，r是被試者的反應(yīng).查找表由公式(6)和公式(7)得出.

p(success|λ，x)=Ψλ(x)

(6)

p(failure|λ，x)=1-Ψλ(x)

(7)

步驟2中計(jì)算下一次試驗(yàn)呈現(xiàn)刺激強(qiáng)度x后得到的反應(yīng)r的概率pt(r|x)可以由公式(8)得出.

pt(r|x)=∑λp(r|λ，x)pt(λ)

(8)

然后根據(jù)因刺激強(qiáng)度x而產(chǎn)生的反應(yīng)r，通過(guò)貝葉斯法則估計(jì)每個(gè)測(cè)量函數(shù)的后驗(yàn)概率pt(λ|x，r)，其可以用于估計(jì)測(cè)量函數(shù)在整個(gè)參數(shù)空間內(nèi)的概率密度函數(shù)的熵Ht(x，r)，由公式(9)和公式(10)得到.

pt(λ|x，r)=pt(λ)p(r|λ，x)∑λp(r|λ，x)pt(λ)

(9)

Ht(x，r)=-∑λpt(λ|x，r)log(pt(λ|x，r))

(10)

之后根據(jù)步驟2的概率pt(r|x)和步驟4的熵Ht(x，r)估計(jì)每個(gè)試驗(yàn)刺激的期望熵E[Ht(x)]，如公式(11)所示.隨后找出最小化期望熵的刺激強(qiáng)度，添加如公式(4)的擾動(dòng)算子作為刺激強(qiáng)度得到被試的反應(yīng)后，得出后驗(yàn)分布pt+1(λ)，如公式(12)-公式(14)所示.

E[Ht(x)]=Ht(x，success)pt(success|x)+
Ht(x，failure)pt(failure|x)

(11)

xt+1=argminxE[Ht(x)]

(12)

x′t+1=xt+1+dt，r=failure
xt+1-dt，r=success

(13)

pt+1(λ)=pt(λ|x′t+1，rt+1)

(14)

其中公式(14)表示為從公式(9)中得到滿(mǎn)足刺激強(qiáng)度和被試反饋條件的分布，并且將當(dāng)前得到的后驗(yàn)分布作為下一次迭代的先驗(yàn)分布.

最后基于后驗(yàn)概率分布得出一個(gè)新的參數(shù)估計(jì)λt+1，如公式(15)所示.

λt+1=∑λλpt+1(λ)

(15)

跳轉(zhuǎn)到步驟2繼續(xù)實(shí)驗(yàn)，直到實(shí)驗(yàn)代數(shù)達(dá)到最大的迭代數(shù)，最終得到心理測(cè)量函數(shù)的4個(gè)參數(shù).

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

4.1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

為了得到真實(shí)準(zhǔn)確的測(cè)試數(shù)據(jù)，同時(shí)防止當(dāng)同一個(gè)人在進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)時(shí)出現(xiàn)不確定性因素，導(dǎo)致對(duì)比實(shí)驗(yàn)的結(jié)論不具有說(shuō)服性，本次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)由某三甲醫(yī)院眼科中心在OPTEC6500視功能檢測(cè)儀上測(cè)量得出.OPTEC6500視功能檢測(cè)儀是基于ANSI公布的CSF測(cè)試的統(tǒng)一規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)制造的[27]，測(cè)量的數(shù)據(jù)具有高準(zhǔn)確性.測(cè)得的數(shù)據(jù)為10個(gè)人在5個(gè)空間頻率上的共50個(gè)對(duì)比度閾值，空間頻率的單位為cycle/deg，具體的閾值如表1所示.

表1 5個(gè)空間頻率的對(duì)比度閾值Table 1 Contrast thresholds for five spatial frequencies

實(shí)驗(yàn)通過(guò)測(cè)量上述對(duì)比敏感度的5個(gè)空間頻率上的對(duì)比度閾值來(lái)比較up/down自適應(yīng)算法[28]、QUEST自適應(yīng)算法[17]、psi-marginal自適應(yīng)算法[20]和psi-marginal/d自適應(yīng)算法這4種算法.up/down自適應(yīng)算法的初始值設(shè)為刺激范圍的均值，步長(zhǎng)設(shè)為刺激的最小取值步長(zhǎng).psi-marginal/d自適應(yīng)算法的擾動(dòng)系數(shù)設(shè)為0.3.4種對(duì)比算法在10名被試者的5個(gè)空間頻率上分別運(yùn)行100代.

本次實(shí)驗(yàn)中的3種自適應(yīng)算法已經(jīng)被整合到Palamedes Toolbox工具箱[29]內(nèi).實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為Intel(R)Core(TM)i5-8250U CPU @ 1.60GHz 1.80GHz的64位Windows10系統(tǒng)，本文所有對(duì)比實(shí)驗(yàn)均在MATLAB R2014b版本下運(yùn)行.

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

在運(yùn)行完所有的自適應(yīng)算法后，將被試1在同一空間頻率下4種對(duì)比算法呈現(xiàn)的刺激強(qiáng)度進(jìn)行整合，如圖2所示.圖2(a)-圖2(e)這5個(gè)子圖分別展示了5種空間頻率下刺激強(qiáng)度的變化.每幅圖的橫坐標(biāo)代表實(shí)驗(yàn)運(yùn)行代數(shù)，規(guī)定每次實(shí)驗(yàn)的運(yùn)行代數(shù)為100代，縱坐標(biāo)表示刺激的強(qiáng)度，圖中的4種不同的折線描述了4種自適應(yīng)算法在不同空間頻率下的刺激強(qiáng)度.

圖2 5個(gè)空間頻率刺激強(qiáng)度圖Fig.2 Five spatial frequency stimulus intensity map

從圖2中可以發(fā)現(xiàn)，up/down算法呈現(xiàn)的刺激強(qiáng)度波動(dòng)呈直線下降趨勢(shì)，直到在閾值附近后才平穩(wěn)收斂，但是收斂的代數(shù)也有較大差異，如圖2(e)中，就和前面4幅圖的收斂代數(shù)差距較大.而QUEST算法前期浮動(dòng)較大，在閾值上下來(lái)回波動(dòng)，較長(zhǎng)代數(shù)之后才逐漸收斂到閾值.psi-marginal算法和psi-marginal/d算法都是在前期快速下降后開(kāi)始有小幅度波動(dòng)，然后較早開(kāi)始收斂于閾值.

為了方便比較，設(shè)定連續(xù)3次呈現(xiàn)刺激強(qiáng)度和閾值差距為5%以?xún)?nèi)的試驗(yàn)代數(shù)為收斂代數(shù)，將同一空間頻率下的同種算法的10名被試去除收斂代數(shù)的最大值和最小值，然后求均值同時(shí)四舍五入得出10名被試在不同空間頻率下的平均收斂代數(shù)，如表2所示.從表2可以發(fā)現(xiàn)，up/down算法大約需要50代才會(huì)收斂，但是18空間頻率下，收斂代數(shù)只要24.QUEST算法則相對(duì)平穩(wěn)，大約34代便可以收斂到閾值.psi-marginal算法普遍在25代開(kāi)始收斂，但是在3空間頻率下，收斂代數(shù)卻為38.而psi-marginal/d算法則最為穩(wěn)定，約20代便收斂到閾值，且相比于psi-marginal算法，在5個(gè)空間頻率下提高的平均收斂速度約為27.75%，其中在3空間頻率下提高了約47.73%的收斂速度.

表2 4種對(duì)比算法平均收斂代數(shù)Table 2 Average convergence iteration times of the four comparison algorithms

為了更直觀地比較，將表2的5種空間頻率作為橫坐標(biāo)，收斂代數(shù)作為縱坐標(biāo)，繪制了4種對(duì)比算法在5種空間頻率下的平均收斂代數(shù)折線圖，如圖3所示，圖中的4種不同的折線表示4種自適應(yīng)算法.

圖3 4種對(duì)比算法在5種空間頻率下的平均收斂代數(shù)Fig.3 Average convergence iteration times of four comparison algorithms at five spatial frequencies

由圖3可知，QUEST算法、psi-marginal算法和psi-marginal/d算法總體上比up/down算法能夠更早地收斂到閾值，并且在40代試驗(yàn)前基本收斂.但是當(dāng)空間頻率為18時(shí)，up/down算法的平均收斂代數(shù)只有24左右，這是由于up/down算法的收斂完全依賴(lài)初始值的設(shè)定如圖4所示，不同初始值收斂至同一閾值，所需的代數(shù)完全不同.由此可知，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)up/down算法的初始值設(shè)為刺激范圍的均值，而18空間頻率的閾值都很靠近此均值，故平均收斂代數(shù)較低.

圖4 不同初始值下up/down算法刺激強(qiáng)度呈現(xiàn)圖Fig.4 Up/down algorithm stimulus intensity presentation diagram under different initial values

綜上所述，up/down算法較為不穩(wěn)定，其收斂代數(shù)極度依賴(lài)初始值的設(shè)定，一旦設(shè)定的初始值離閾值較遠(yuǎn)，收斂速度就會(huì)下降.

QUEST算法則相對(duì)來(lái)說(shuō)較為穩(wěn)定，其5種空間頻率的平均收斂代數(shù)都在34左右，雖然在3空間頻率上的平均收斂代數(shù)比psi-marginal算法略少，但是其整體的平均收斂代數(shù)較高.

由圖3可以發(fā)現(xiàn)，本文提出的psi-marginal/d算法比psi-marginal算法除3空間頻率外普遍提高了約20%的收斂速度，psi-marginal算法普遍要25代試驗(yàn)才開(kāi)始收斂，而psi-marginal/d算法平均只要20代就開(kāi)始收斂，特別是在3空間頻率下可以發(fā)現(xiàn)psi-marginal算法平均收斂代數(shù)約為38，而psi-marginal/d算法的平均收斂代數(shù)仍然為20左右，提高了接近47%的收斂速度.并且從表1的3空間頻率可以發(fā)現(xiàn)，3空間頻率的閾值普遍較小，較為靠近刺激范圍的邊緣.

實(shí)驗(yàn)表明，up/down算法不穩(wěn)定，收斂速度依賴(lài)初始值的設(shè)定，QUEST算法較為穩(wěn)定，但收斂速度相對(duì)來(lái)說(shuō)較慢，psi-marginal算法整體收斂速度尚可，但是當(dāng)閾值在刺激范圍邊緣時(shí)，收斂速度不理想，而本文所提出的psi-marginal/d算法可以普遍加快收斂，提高算法的收斂速度，特別是當(dāng)閾值靠近刺激范圍的邊緣時(shí)，收斂速度提升較大.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于擾動(dòng)算子的psi-marginal自適應(yīng)優(yōu)化刺激強(qiáng)度算法，該算法通過(guò)設(shè)計(jì)擾動(dòng)算子，加快對(duì)閾值的求解.不管閾值是在刺激的邊緣還是中間，psi-marginal/d算法都可以加快求解閾值的收斂速度.特別是當(dāng)閾值在刺激范圍的邊緣時(shí)，psi-marginal/d算法收斂速度的提升較大.QUEST算法和up/down算法雖然最終都可以收斂到閾值，但是試驗(yàn)耗時(shí)過(guò)長(zhǎng)，而本文提出的psi-marginal/d算法在準(zhǔn)確求解閾值時(shí)，有較好的收斂速度，同時(shí)若閾值在刺激范圍的邊緣時(shí)，依舊保持較好的收斂速度.