曲線纖維變剛度壁板的亞音速氣彈穩(wěn)定性研究

段靜波 ，徐步青

（石家莊鐵道大學工程力學系，河北 石家莊 050043）

為追求列車設計的高速化與輕量化，新型復合材料越來越廣泛地應用于高速軌道交通領域，復合材料曲線纖維層合板作為一種近年新出現(xiàn)的復合材料，與傳統(tǒng)的直線纖維鋪層相比，由于纖維方向隨位置的變化而變化，曲線纖維鋪層呈現(xiàn)出變剛度的特點.G?rdal等[1]研究表明，剛度在空間上非均勻分布的變剛度壁板能大幅改善結(jié)構(gòu)承載能力，適應更為復雜的力學環(huán)境.將曲線纖維變剛度復合材料層合板應用于高速列車蒙皮、裙板等壁板結(jié)構(gòu)，有利于新一代復合材料高鐵列車高速化與輕量化設計目標的順利實現(xiàn).

然而，伴隨著高速列車行進速度的不斷提高，車體蒙皮、裙板等壁板類結(jié)構(gòu)所面臨的力學環(huán)境越來越惡劣，設計不合理可能會導致壁板發(fā)生劇烈的氣動彈性振動，嚴重影響結(jié)構(gòu)的使用壽命甚至列車的運行安全.因此，亞音速曲線纖維變剛度壁板氣動彈性穩(wěn)定性問題將是車體新型復合材料應用中的一個關鍵問題.

曲線纖維復合材料最早由Hyper等[2]提出，G?rdal等[1,3]則明確提出了變剛度復合材料的概念.隨后，學者們對于曲線纖維變剛度壁板力學問題進行廣泛研究：Hamed等[4]對曲線纖維變剛度壁板進行大變形和應力分析；馬洪濤[5]開展了曲線纖維變剛度壁板的力學性能研究；聶國雋等[6]建立了曲線纖維增強復合材料層合板自由振動問題的基本方程，得到了層合板的自振頻率及相應的振型；馬成[7]通過對纖維曲線鋪放層合板阻尼比的研究，探究纖維曲線鋪放層合板的減振效果；Groh等[8]研究了橫向剪切效應對變剛度層合板屈曲性能的影響；Hao等[9]研究了復合材料變剛度板的屈曲及優(yōu)化問題，提出了復合材料變剛度結(jié)構(gòu)的精確建模、分析與結(jié)構(gòu)優(yōu)化一體化設計框架；孫士平等[10]研究了復合載荷作用下變剛度復合材料回轉(zhuǎn)殼的屈曲優(yōu)化問題.

迄今為止，有關曲線纖維變剛度壁板氣動彈性問題的研究較少，但已經(jīng)引起了國內(nèi)外學者的關注：Vahid等[11]研究了高速流場中的曲線纖維變剛度層合壁板顫振問題；歐陽小穗和劉毅[12]研究了高速流場中的曲線纖維變剛度層合壁板非線性顫振響應；Touraj等[13]將曲線纖維變剛度壁板應用于飛機機翼承力結(jié)構(gòu)，研究了機翼-引擎系統(tǒng)的氣動彈性特性.

基于此，本文以新一代新型復合材料高速列車壁板結(jié)構(gòu)為背景，基于目前列車設計時速范圍，研究曲線纖維變剛度壁板的亞音速氣動彈性穩(wěn)定性問題，考慮壁板可能出現(xiàn)的黏彈性效應，分析復合材料關鍵參數(shù)對復合變剛度壁板氣動彈性穩(wěn)定性的影響規(guī)律.

1 曲線纖維路徑表征

圖1為曲線纖維復合材料層合板示意，以層合板中第k層單層變剛度鋪層為研究對象(圖1（b）)，圖中：zk和zk+1分別為該鋪層上、下表面在坐標系xOz中的坐標值；hk為該鋪層厚度；V∞為來流速度；L、H、h分別為矩形變剛度復合材料層合板的長度、寬度、厚度；在局部坐標系x′Oy′下，T0為纖維在板中心處與x′軸方向的夾角；T1為纖維在邊界(x′= ±L/2)處與x′軸方向的夾角；?為x′軸與x軸的夾角，表示該鋪層的方向角.該鋪層曲線纖維方向角用 ＜T0｜T1＞表示.假設纖維方向從板的中心位置開始呈線性變化，則該鋪層在局部坐標系下任意位置處纖維方向角可表示為

圖1 曲線纖維層合板Fig.1 Curvilinear fibers composite panels

2 復合變剛度壁板顫振方程

2.1 壁板變形幾何關系

結(jié)構(gòu)方面，考慮厚度方向上的剪切變形，忽略厚度方向上法向變形，采用Mindlin厚板理論描述曲線纖維變剛度層合壁板，其應變-位移關系為

式中： ε 為線應變； ε0為壁板中面面內(nèi)位移產(chǎn)生的應變向量，如式（3）； γ 為橫向剪切應變向量，如式（3）；κ為彎曲時壁板的曲率向量，如式（3）；z為壁板厚度方向的坐標.

式中：u、 υ 分別為中面上的點沿x軸和y軸方向的位移；w為z軸方向的位移； θx、 θy分別為中面繞x軸和y軸方向的轉(zhuǎn)角.

2.2 變剛度壁板彈性/黏彈性本構(gòu)關系

對于正交各向異性鋪層材料，采用kelvin-Voigt黏彈性本構(gòu)模型，則其應力-應變關系[14]可寫為

式中： η 為材料黏彈性阻尼系數(shù)，當 η =0 時，鋪層材料就退化為彈性材料； σ 、τ、γ、˙ 分別為正應力、剪應力、切應變、線應變率；Qm、Qs分別為面內(nèi)剛度和剪切剛度，其元素與彈性本構(gòu)關系一致，在此不再贅述，如（5）.

由于曲線纖維角度影響，單層板內(nèi)本構(gòu)關系隨壁板平面是變化的，當多個單層板形成層合板后，則曲線纖維角度和各層鋪層角共同影響壁板本構(gòu)關系，第k層本構(gòu)關系為

式 中 ： σk、τk分 別 為 該 鋪 層 的 正 應 力 和 切 應 力 ；εk、γk分別為該鋪層的線應變和切應變；Qmk、Qsk分別為偏軸面內(nèi)剛度矩陣和剪切剛度矩陣，=，其中，Tmk、Tsk如式（7）.

式中：Tk為曲線纖維方位角.

根據(jù)復合材料層合理論，對于n層的復合變剛度壁板本構(gòu)關系可寫為

式中：N、M、Fs分別為復合變剛度壁板的膜力、彎矩、橫向剪力，矩陣A、B、D、As分別為

2.3 亞音速氣動力模型

氣動力方面，由于高速列車馬赫數(shù)較小時，氣體的可壓縮性可以忽略，因此，采用Dowell基于線性無黏勢流理論提出的亞音速氣動力模型[15]，如式（9）.

式中：A(x) 為壁板內(nèi)氣動力相互影響效應，如式（10）；D1(x)、D2(x)為壁板邊界條件對氣動力的影響效應，如式（10）， ρ∞為空氣密度.

2.4 氣動彈性有限元方程

基于復合變剛度壁板黏彈性本構(gòu)關系、幾何關系以及氣動力模型，可以寫出其虛動能 δT、虛應變能 δU、外力虛功 δW為

采用板單元對復合變剛度壁板進行網(wǎng)格劃分，根據(jù)Hamilton原理，通過變分可得到壁板的有限元顫振方程為

3 算法驗證與結(jié)果分析

3.1 正確性驗證

首先，對本文方法及程序進行正確性驗證.采用文獻[12]中曲線纖維變剛度復合材料層合壁板算例，通過退化氣動力相關矩陣，選取鋪層方式為[0/90＜0|45°＞/＜0|-45°＞]s的變剛度復合壁板進行了固有頻率的網(wǎng)格收斂性分析，具體結(jié)果見表1.分析時壁板采用四邊固支約束邊界條件.為方便對比，固有頻率按文獻[12]進行無量綱處理.

表1 變剛度復合壁板固有頻率的網(wǎng)格收斂性Tab.1 Grid convergence of natural frequencies of composite panels with variable stiffness

從表1中可以看到：隨著壁板網(wǎng)格規(guī)模從5 ×5增加至30 × 30，變剛度復合壁板前六階固有頻率逐漸收斂，且收斂后的各階固有頻率與文獻[12]的結(jié)果最大誤差不超過3.56%.

圖2給出了6種鋪層方式下變剛度復合壁板的固有頻率，6種鋪層方式分別為鋪層A1[0/90＜0|45°＞/＜0|-45°＞]s、鋪層 A2[0/90＜15°|45°＞/＜-15°|-45°＞]s、鋪層 A3[0/90＜30°|45°＞/＜-30°|-45°＞]s、 鋪層 A4[0/90＜45°|40°＞/＜-45°|-60°＞]s、 鋪層 A5 [0/90＜45°|75° ＞/＜-45°|-75°＞]s、 鋪層A6[0/90＜90°|45°＞/＜-45°|-90°＞]s.壁板采用30 × 30的網(wǎng)格劃分，四邊固支約束邊界條件.從圖中對比可以看出：各種鋪層方式下，本文前三階固有頻率結(jié)果與文獻[12]的結(jié)果吻合得都比較好.因此，本文后續(xù)壁板穩(wěn)定性分析均采用30 × 30的網(wǎng)格劃分.

圖2 曲線纖維壁板固有頻率結(jié)果對比Fig.2 Comparison of natural frequencies of curved fiber composite laminates

其次，采用文獻[16]中的兩邊固支鋁制壁板，將本文程序退化為各向同性材料壁板進行氣動彈性穩(wěn)定性計算，并分析驗證，結(jié)果如表2.從表2中可以看到，本文方法計算結(jié)果與文獻[16]解吻合很好.

表2 兩端固支壁板發(fā)散穩(wěn)定性結(jié)果對比Tab.2 Divergence stability of the plate with bilateral fixation

3.2 復合變剛度壁板發(fā)散穩(wěn)定性分析

1） 失穩(wěn)速度計算

采用復模態(tài)理論求解復合變剛度彈性、黏彈性壁板的氣動彈性發(fā)散失穩(wěn)速度.圖3給出了鋪層方式為[0/90/＜0|45＞/＜0|-45＞]s的彈性/黏彈性變剛度壁板在四邊固支、四邊簡支條件下，前兩階頻率隨來流速度變化情況.黏彈性材料的黏性阻尼系數(shù)η=0.002，下文中不特別注明，均取此值.

從圖3中可以看到：無論變剛度壁板是彈性材料還是黏彈性材料，其一階固有頻率隨著來流速度增大均是減小的，二階固有頻率隨著來流速度先減小后增大；變剛度壁板材料的黏彈性效應會導致壁板二階固有頻率明顯降低；當一階固有頻率減小至0時，壁板就出現(xiàn)發(fā)散失穩(wěn)，據(jù)此可判斷，四邊固支的變剛度彈性、黏彈性壁板發(fā)散失穩(wěn)速度分別為108 m/s和91 m/s，四邊簡支彈性、黏彈性變剛度壁板發(fā)散失穩(wěn)速度分別為72 m/s和66 m/s.由此可知，與彈性變剛度壁板相比，壁板材料的黏彈性效應會導致其失穩(wěn)速度降低.從圖中失穩(wěn)前壁板固有頻率值變化劇烈程度可以看到，黏彈性壁板發(fā)散失穩(wěn)出現(xiàn)得更突兀.

圖3 黏彈性和彈性變剛度壁板頻率隨氣流速度變化Fig.3 Change of the two frequencies of viscoelastic and elastic variable-stiffness panels with air velocity

2） 曲線鋪設和直線鋪設的比較

圖4為彈性、黏彈性壁板分別采用直線和曲線纖維鋪設情況下，四邊固支纖維復合彈性壁板的發(fā)散穩(wěn)定特性.直線鋪設與曲線鋪設的鋪層角考慮了7種組合方式，分別為鋪層 B1[0/15/45/60]、鋪層B2[0/30/45/75]、鋪層 B3[0/15/30/60]、鋪層 B4[30/45/60/75]、鋪層 B5[45/15/30/60]、鋪層 B6[30/15/45/60]、鋪層B7[45/30/60/75].其中，曲線纖維鋪設時，纖維方向角T0=0°，T1=45°.從圖中可以看到：無論是彈性壁板還是黏彈性壁板，在纖維曲線鋪設下的失穩(wěn)速度相比直線纖維鋪設都有提高.采用鋪層B7時，曲線纖維壁板失穩(wěn)速度相比直線纖維壁板可提高將近50%.

圖4 直線鋪設與曲線鋪設對變剛度壁板發(fā)散臨界速度的影響Fig.4 Comparison of variable-stiffness panel instability with straight and curved fiber laying

3） 鋪層主方向角的影響

圖5為鋪層主方向?qū)η€纖維變剛度壁板發(fā)散臨界速度的影響.7種不同的鋪層方式為鋪層C1[0/0]s、 鋪 層 C2[0/15]s、 鋪 層 C3[0/30]s、 鋪 層C4[0/45]s、 鋪 層 C5[0/60]s、 鋪 層 C6[0/75]s、 鋪 層C7[0/90]s等，壁板采用四邊固支約束.從圖中可以看出，隨著鋪層主方向角從 0°～90° 增大，無論是變剛度彈性壁板還是變剛度黏彈性壁板，壁板發(fā)散失穩(wěn)速度呈增大的趨勢.由此可見，通過增大鋪層主方向角可以提高復合材料變剛度壁板發(fā)散速度.

圖5 鋪層主方向?qū)η€纖維變剛度壁板發(fā)散臨界速度影響Fig.5 Influence of ply direction on divergence critical speed of variable-stiffness panels with curved fibers

4） 曲線纖維方向角的影響

進一步研究曲線纖維方向角對彈性、黏彈性變剛度復合壁板發(fā)散穩(wěn)定性的影響.壁板為四邊固支約束，其鋪層形式為[0/90/＜T0|T1＞/＜-T0|-T1＞]s.考慮T0和T1單獨變化的兩種情況.圖6為T1不變，T0=-90°～90°（間隔 15°）變剛度壁板發(fā)散失穩(wěn)特性隨T0的變化規(guī)律.圖7 為T0不變，T1= -90°～90°（間隔15°）變剛度壁板發(fā)散失穩(wěn)特性隨T1的變化規(guī)律.

從圖6中可以看出：當T1不變、T0變化時，變剛度彈性、黏彈性壁板發(fā)散速度隨著T0的增大均呈先減小后增大的趨勢，呈“凹”形分布；對變剛度彈性壁板，在T0從-90°～-60° 時，壁板在亞音速已不發(fā)生失穩(wěn)，T0從 15°～45° 時，壁板發(fā)散失穩(wěn)速度出現(xiàn)極小值范圍，基本關于T0= 30° 對稱分布；對于變剛度黏彈性壁板，其發(fā)散失穩(wěn)速度分布規(guī)律與彈性壁板類似，只是變剛度黏彈性壁板發(fā)散失穩(wěn)速度極小值相比變剛度彈性壁板的小.

圖6 曲線纖維變剛度壁板失穩(wěn)速度隨T0的變化（T1不變）Fig.6 Changes of divergence characteristics with T0 for variable-stiffness plate with curved fibers (T1 unchanged)

從圖7中可以看出：當T0不變、T1變化時，變剛度彈性、黏彈性壁板壁板發(fā)散速度隨著T1從-90°～90° 也呈“凹”形分布；壁板發(fā)散失穩(wěn)速度關于T0=0° 對稱分布，發(fā)散失穩(wěn)速度變化相對平緩.

圖7 曲線纖維變剛度壁板失穩(wěn)速度隨T1的變化（T0不變）Fig.7 Changes of flutter characteristics with T1 for variablestiffness plate with curved fibers (T0 unchanged)

由此可見，復合變剛度壁板曲線纖維參數(shù)T0、T1對變剛度彈性、黏彈性壁板發(fā)散穩(wěn)定性均具有明顯影響，而且T1影響更為明顯一些.此外，曲線纖維復合變剛度壁板在發(fā)散穩(wěn)定性方面存在較大的優(yōu)化空間，通過調(diào)整曲線纖維的路徑可以提高復合材料變剛度壁板的發(fā)散速度.

5） 黏彈性材料阻尼系數(shù)的影響

圖8給出了黏彈性材料阻尼系數(shù)對曲線纖維復合壁板發(fā)散穩(wěn)定性的影響.從圖可以看到：隨著黏彈性材料阻尼系數(shù)增大，曲線纖維復合壁板的失穩(wěn)速度減小.

圖8 黏彈性阻尼對曲線纖維變剛度壁板發(fā)散臨界速度影響Fig.8 Influence of viscoelastic damp on divergence critical speed of variable-stiffness panels with curved fibers

6） 邊界條件影響

圖9給出了不同約束情況下，變剛度彈性、黏彈性壁板的發(fā)散穩(wěn)定性情況.壁板鋪層形式為[0/90/＜T0|T1＞/＜-T0|-T1＞]s.從圖中可以看出：約束條件對變剛度壁板失穩(wěn)速度影響很明顯，邊界約束越強，壁板的穩(wěn)定性越好，發(fā)散失穩(wěn)臨界速度越大.

圖9 約束對曲線纖維變剛度壁板發(fā)散失穩(wěn)臨界速度影響Fig.9 Influence of boundary conditions on divergence critical speed of variable-stiffness panels with curved fibers

4 結(jié) 論

本文建立了亞音速流場中曲線纖維變剛度彈性、黏彈性壁板氣動彈性穩(wěn)定性分析模型，與文獻[12]、文獻[16]結(jié)果進行對比，驗證了本文模型及算法的正確性，進而采用復模態(tài)理論求解復合變剛度壁板發(fā)散臨界速度，在此基礎上進行了關鍵參數(shù)影響分析，得出的主要結(jié)論如下：

1） 變剛度壁板材料的黏彈性效應會導致其失穩(wěn)速度降低，與彈性壁板相比，黏彈性壁板失穩(wěn)前固有頻率值變化更劇烈，發(fā)散失穩(wěn)出現(xiàn)得更突兀；

2） 通過調(diào)整鋪層主方向角可以實現(xiàn)復合材料變剛度彈性、黏彈性壁板的發(fā)散速度的提高，通過調(diào)整曲線纖維的路徑也可以提高復合材料變剛度壁板的發(fā)散速度，因此，曲線纖維復合變剛度壁板在發(fā)散穩(wěn)定性方面存在較大的優(yōu)化設計空間；

3） 彈性、黏彈性壁板發(fā)散速度隨著曲線纖維路徑參數(shù)T0、T1從 -90° ～ 90° 變化呈現(xiàn)“凹”形分布，且參數(shù)T1對壁板發(fā)散穩(wěn)定性的影響相比T0更明顯；

4） 邊界條件對曲線纖維復合材料彈性、黏彈性壁板的發(fā)散臨界速度有較大影響，邊界約束越強，壁板的穩(wěn)定性越好，發(fā)散失穩(wěn)臨界速度越大.

致謝：民航航空器適航審定技術重點實驗室開放基金（SH2020112705）.